专题01 数的开方（18大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期华东师大版2024

专题01 数的开方 题型1 平方根和立方根的定义判断选项是否正确 题型10平方根和立方根的综合 题型2 利用算术平方根的非负性求解（重点） 题型11 利用无理数的定义判断是否为无理数 题型3 算术平方根非负性和数轴结合化简求值（重点） 题型12 实数的分类 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分 题型13 实数的混合运算（必考点） 题型5 求一个数的平方根（常考点） 题型14 实数与数轴综合（常考点） 题型6 已知一个正数的平方根求解 题型15 实数比较大小 题型7 立方根的实际应用 题型16 与实数相关的规律问题（压轴题） 题型8 利用开平方和开立方解方程（重点） 题型17 实数运算的实际应用（常考点） 题型9 与立方根有关的规律探索问题 题型18 新定义下的实数运算 题型一 平方根和立方根的定义判断选项是否正确（共3小题） 1.（24-25八年级·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 2.（24-25八年级·全国·期中）下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 1的平方根是，该选项错误，不符合题意； B.负数没有平方根，该选项错误，不符合题意； C. ，的平方根是，该选项正确，符合题意； D. 0的平方根为0，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3.（24-25八年级·湖北荆州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，掌握相关定义是解题关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、0有算术平方根，原说法不正确，符合题意； 故选：D． 题型二 利用算术平方根的非负性求解（共4小题） 1.（25-26八年级·全国·期中）已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 根据得，，求出、的值，再代入求解即可． 【详解】解：，，且 ，， ，， ，， ． 故选：D． 2.（24-25八年级·湖北荆州·期中）已知则的值是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值与算术平方根的非负性，以及利用二元一次方程组求解未知数． 根据非负数的性质，绝对值与平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必须为零，从而建立方程组求解，即可解题． 【详解】由题意可得，， 解方程组： 由可得：③， ③代入：，解得， 代入③得：， 因此，，则． 故选：B． 3.（24-25八年级·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 4.（2025八年级·湖北·期中）已知非零实数a，b满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，将式子变形为，由算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出，再化简式子可得出，再根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可得出，，进而代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， 解得，，， 则， 故答案为：2． 题型三 算术平方根的非负性和数轴结合化简求值（共4小题） 1.（24-25八年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 2.（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴．先判断，进而得到，，再化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得 ， ∴，， ∴ ． 3.（24-25八年级·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 【答案】(1)C； (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，解题的关键是根据数轴确定，，，． （1）根据A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等可以确定中间的一个为原点，根据，，求出，得出点E表示的数，然后求出结果即可； （2）根据数轴求出，，，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等，且， ∴原点是点C， ∵，， ∴， ∴点E表示的数为， ∵点A，E对应的数的绝对值相等， ∴点A对应的数为； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∵，， ∴，， ∴ ． 4.（24-25八年级·甘肃天水·期中）实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值和立方根的化简．先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根的性质得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且， ∴，， ∴ ． 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分（共4小题） 1.（24-25八年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的小数部分是， ∴， 故答案为：． 2.（24-25八年级·西藏昌都·期中）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 3.（24-25八年级·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 4.（24-25八年级·河北廊坊·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 题型五 求一个数的平方根（共4小题） 1.（24-25八年级·山东济南·期中）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根，解题的关键是正确理解平方根的概念． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2.（24-25八年级·湖南邵阳·期中）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义：如果，那么叫做的平方根是解题的关键．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 3.（25-26八年级·全国·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 /4和 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键； 根据平方根，算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 16的平方根是：， 6的算术平方根是：， 故答案为：，． 4.（25-26八年级·全国·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ∴的平方根是， ， ∴的算术平方根是3． 故答案为：；3． 题型六 已知一个正数的平方根求解（共4小题） 1.（24-25八年级·吉林·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 【答案】49 【分析】本题考查平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．根据平方根定义得到，然后解方程求得a值即可解答． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 故答案为：49． 2.（24-25八年级·广西桂林·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 【答案】4 【分析】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．通过互为相反数的两个数的和为0，列式计算，求出未知字母的值，从而求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， 解得， ∴， 则这个正数为． 3.（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 4.（24-25八年级·陕西西安·期中）已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根． 设正数的一个平方根为，则另一个平方根为，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正数的一个平方根为，则另一个平方根为， 根据题意得， 解得， ∴， 解得． 题型七 立方根的实际应用（共4小题） 1.（25-26八年级·全国·期中）根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 2.（24-25八年级·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 3.（2025八年级·全国·期中）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【答案】 【分析】本题考查实数的实际应用，先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方形水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方形的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 4.（24-25八年级·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 题型八 利用开平方和开立方解方程（共4小题） 1.（24-25八年级·江苏盐城·期中）求下列各式中的x的值∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根进行解方程． （1）先求得，然后依据平方根的定义求解即可； （2）依据立方根的性质得到，求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ． 2.（24-25八年级·广东茂名·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用平方根与立方根的定义解方程，掌握这两个概念是解题的关键． （1）先把方程化为，再由平方根的定义即可求解； （2）先把方程化为，再由立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ， ∴． 3.（24-25八年级·贵州毕节·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查运用平方根和立方根解方程，灵活掌握一个数的平方根和立方根是解答本题的关键． （1）方程两边同除以9，再开方即可得解； （2）方程移项后，两边同乘以2，再开立方，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， 开方得，或； （2）解：， ， ， ， 解得，． 4.（24-25八年级·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平方根解方程和立方根的实际应用是解题的关键：利用平方根解方程的方法：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；利用立方根的概念解方程的方法：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，的立方根是；在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体来处理． （1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【详解】（1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 题型九 与立方根有关的规律探索问题（共4小题） 1.（24-25八年级·全国·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 2.（24-25八年级·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 3.（24-25八年级·辽宁大连·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 4.根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 题型十 平方根和立方根的综合（共3小题） 1.（24-25八年级·陕西安康·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 2.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 3.（24-25八年级·四川成都·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 题型十一 利用无理数的定义判断是否为无理数（共4小题） 1.（24-25八年级·上海·期中）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数． 根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数． 【详解】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数， 无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）， ∴无理数的个数为． 故选：C． 2.（24-25八年级·山东聊城·期中）在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数，熟练掌握无理数、有理数的定义是解题的关键． 先化简，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在，，，，，，2.010010001…中， 有理数有：，，，，，共5个， 故选：B． 3.（24-25八年级·河南郑州·期中）在下列实数3.1415926，，，，，中无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，， ∴在所列的6个数中，无理数有，这2个， 故选：A． 4.（24-25八年级·江苏南京·期中）在，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）五个数中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的识别、算术平方根等知识点，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无限不循环小数叫做无理数以及算术平方根的知识逐个判断即可． 【详解】解：是有限小数，是分数，它们不是无理数； ，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：B． 题型十二 实数的分类（共4小题） 1.（24-25八年级·江苏徐州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 【答案】(1)，2013 （每两个5之间多一个0），， (2)，0， (3)（每两个5之间多一个0）， (4)，， 【分析】本题考查了实数的分类，正数，负数，无理数的定义等知识，根据各个定义进行准确分类为解题关键． （1）根据正数的定义进行解答即可； （2）根据非正整数的定义解答即可； （3）根据无理数的定义解答即可； （4）根据分数的定义解答即可． 【详解】（1）解：正数集合：，2013，（每两个5之间多一个0），，； （2）非正整数集合：，0，， （3）无理数集合：（每两个5之间多一个0），， （4）分数集合：，，． 2.（25-26八年级·全国·期中）把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 【答案】，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 【分析】本题考查了正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正分数集合{，，，，}； 非负整数集合{ ，，}； 无理数集合{，（相邻两个之间依次多一个），}； 有理数集合{，，，，，，，，}； 故答案为：，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 3.（24-25八年级·安徽六安·期中）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 【答案】(1)，，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查了实数的分类，立方根的求解，平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据立方根，平方根的求解求出结果，再根据定义分类即可； （2）根据分数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【详解】（1）解：，，， 整数有：，，0，； （2）分数有：，，； （3）无理数有：，，． 4.（24-25八年级·河南漯河·期中）将下列各数填入相应的集合内． ，，，0，，，，，3.14，， (1)有理数集合{                         } (2)无理数集合{                         } (3)负实数集合{                         } 【答案】(1)，，0，，，3.14，， (2)，，， (3)，，，， 【分析】此题主要考查了有理数、无理数及实数的定义，用到的知识点为：有理数和无理数统称实数；整数和分数统称有理数；无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【详解】（1）解：，， ∴有理数集合{，，0，，，3.14，}； （2）无理数集合{，，，} （3）负实数集合{，，，，} 题型十三 实数的混合运算（共4小题） 1.（24-25八年级·广西钦州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用立方根的定义计算后再算加减即可； （2）先去括号及绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2.（24-25八年级·吉林·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的性质是解题的关键．先根据实数的性质去绝对值，然后化简即可． 【详解】解： ． 3.（24-25八年级·全国·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算乘方和开方，绝对值，后算加减． 【详解】 解： ． 4.（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值，乘方，算术平方根及立方根等知识与运算，熟练进行运算是解题的关键； （1）先计算绝对值，再进行加减运算即可； （2）分别计算乘方，平方根与立方根，再进行加减乘的运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十四 实数与数轴综合（共4小题） 1.（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．由数轴可得，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴正确的是A选项； 故选：A． 2.（24-25八年级·四川广安·期中）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 3.（24-25八年级·全国·期中）如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴正确判断相关式子的符号是解题的关键．根据数轴可得，，，再利用绝对值的性质即可化简． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ，，， ． 故答案为：． 4.（24-25八年级·贵州铜仁·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 题型十五 实数比较大小（共4小题） 1.（24-25八年级·广西柳州·期中）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据负数小于正数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（24-25八年级·山东青岛·期中）比较大小 ； （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握利用平方法，不等式的基本性质比较实数的大小是解题的关键．对于两个正数，若，则，利用此结论可比较的大小，先比较，再利用不等式的基本性质可比较，的大小，从而可得答案． 【详解】解：， 而， ； ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 3.（24-25八年级·上海·期中）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故答案为：>． 4.（25-26八年级·全国·期中）比较下列各组数的大小（填“>”“<”或“=”） ， 0， ， 5． 【答案】 < > < > 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，先估算得出，，，再根据实数的大小比较方法即可得解． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：<， >，<，>． 题型十六 与实数相关的规律问题（共3小题） 1.（24-25八年级·云南大理·期中）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 2.（23-24八年级·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 3.（24-25八年级·山西大同·期中）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 题型十七 实数运算的实际应用（共3小题） 1.（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）解：巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 2.（24-25八年级·湖北咸宁·期中）小芳有一块长宽之比为3：2，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小宁见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” (1)这个长方形纸片的周长是多少？ (2)你同意小宁的说法吗？请通过计算进行说明． 【答案】(1)这个长方形纸片的周长是100cm (2)不同意小宁的说法，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）长方形纸片的长和宽分别为和，根据题意列方程，解方程即可求解； （2）求出面积为的正方形纸片的边长为，与长方形纸片的宽比较大小即可． 【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，则宽为，依题意得： 长方形纸片的长为正值 负值舍去 ． 长方形纸片的长为30cm，宽为20cm 长方形的周长是 答：这个长方形纸片的周长是100cm． （2）解：不同意小宁的说法．理由如下： 要裁出面积为的正方形纸片 正方形纸片的边长为 不能裁出一块面积为的正方形纸片． 不同意小宁的说法． 3.（24-25八年级·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 题型十八 新定义下的实数运算（共4小题） 1.（25-26八年级·云南曲靖·期中）定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得： ． 故选：D． 2.（24-25八年级·河南南阳·期中）对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果，，则的值是（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和有理数的混合运算，利用已知的新定义对等式进行化简，求出a和b的值，原式再利用新定义化简后，将a与b的值代入计算即可求解． 【详解】解：根据新定义，由，得， ， 解得， 则， 故选：C． 3.（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：．如：．则不等式的非负整数解是 ． 【答案】0、1、2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算．根据题意，列出不等式，然后求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 不等式，即为：， 解得， ∴不等式的非负整数解是0、1、2． 故答案为：0、1、2． 4.（24-25八年级·湖南邵阳·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目规定的运算方法，直接代入计算即可； （2）根据题目规定的运算方法求出的值，再进一步作差比较即可． 【详解】（1）解：由定义可知： （2）解：由定义可知： ； ∵ ∴ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方 题型1 平方根和立方根的定义判断选项是否正确 题型10平方根和立方根的综合 题型2 利用算术平方根的非负性求解（重点） 题型11 利用无理数的定义判断是否为无理数 题型3 算术平方根非负性和数轴结合化简求值（重点） 题型12 实数的分类 题型4求算术平方根的整数部分和小数部分 题型13 实数的混合运算（必考点） 题型5 求一个数的平方根（常考点） 题型14 实数与数轴综合（常考点） 题型6 已知一个正数的平方根求解 题型15 实数比较大小 题型7 立方根的实际应用 题型16 与实数相关的规律问题（压轴题） 题型8 利用开平方和开立方解方程（重点） 题型17 实数运算的实际应用（常考点） 题型9 与立方根有关的规律探索问题 题型18 新定义下的实数运算 题型一 平方根和立方根的定义判断选项是否正确（共3小题） 1.（24-25八年级·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 2.（24-25八年级·全国·期中）下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 3.（24-25八年级·湖北荆州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性求解（共4小题） 1.（25-26八年级·全国·期中）已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 2.（24-25八年级·湖北荆州·期中）已知则的值是（    ） A． B． C．9 D． 3.（24-25八年级·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 4.（2025八年级·湖北·期中）已知非零实数a，b满足，则 ． 题型三 算术平方根的非负性和数轴结合化简求值（共4小题） 1.（24-25八年级·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 2.（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．    3.（24-25八年级·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 4.（24-25八年级·甘肃天水·期中）实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分（共4小题） 1.（24-25八年级·内蒙古呼伦贝尔·期中）设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 2.（24-25八年级·西藏昌都·期中）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 3.（24-25八年级·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 4.（24-25八年级·河北廊坊·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 题型五 求一个数的平方根（共4小题） 1.（24-25八年级·山东济南·期中）的平方根是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25八年级·湖南邵阳·期中）的平方根是（　　） A． B． C． D． 3.（25-26八年级·全国·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 4.（25-26八年级·全国·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 题型六 已知一个正数的平方根求解（共4小题） 1.（24-25八年级·吉林·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 2.（24-25八年级·广西桂林·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 3.（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 4.（24-25八年级·陕西西安·期中）已知是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 题型七 立方根的实际应用（共4小题） 1.（25-26八年级·全国·期中）根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 2.（24-25八年级·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 3.（2025八年级·全国·期中）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 4.（24-25八年级·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 题型八 利用开平方和开立方解方程（共4小题） 1.（24-25八年级·江苏盐城·期中）求下列各式中的x的值∶ (1) (2) 2.（24-25八年级·广东茂名·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 3.（24-25八年级·贵州毕节·期中）解方程： (1)； (2)． 4.（24-25八年级·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 题型九 与立方根有关的规律探索问题（共4小题） 1.（24-25八年级·全国·期中）已知，，则 ． 2.（24-25八年级·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 3.（24-25八年级·辽宁大连·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 4.根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 题型十 平方根和立方根的综合（共3小题） 1.（24-25八年级·陕西安康·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 2.（24-25八年级·湖北黄冈·期中）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 3.（24-25八年级·四川成都·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 题型十一 利用无理数的定义判断是否为无理数（共4小题） 1.（24-25八年级·上海·期中）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2.（24-25八年级·山东聊城·期中）在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 3.（24-25八年级·河南郑州·期中）在下列实数3.1415926，，，，，中无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.（24-25八年级·江苏南京·期中）在，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）五个数中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十二 实数的分类（共4小题） 1.（24-25八年级·江苏徐州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 2.（25-26八年级·全国·期中）把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 3.（24-25八年级·安徽六安·期中）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 4.（24-25八年级·河南漯河·期中）将下列各数填入相应的集合内． ，，，0，，，，，3.14，， (1)有理数集合{                         } (2)无理数集合{                         } (3)负实数集合{                         } 题型十三 实数的混合运算（共4小题） 1.（24-25八年级·广西钦州·期中）计算： (1)； (2)． 2.（24-25八年级·吉林·期中）计算： 3.（24-25八年级·全国·期中）计算：． 4.（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 题型十四 实数与数轴综合（共4小题） 1.（2024·河北·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级·四川广安·期中）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级·全国·期中）如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ． 4.（24-25八年级·贵州铜仁·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 题型十五 实数比较大小（共4小题） 1.（24-25八年级·广西柳州·期中）比较大小： （填“”或“”） 2.（24-25八年级·山东青岛·期中）比较大小 ； （填“”或“”） 3.（24-25八年级·上海·期中）比较大小： ． 4.（25-26八年级·全国·期中）比较下列各组数的大小（填“>”“<”或“=”） ， 0， ， 5． 题型十六 与实数相关的规律问题（共3小题） 1.（24-25八年级·云南大理·期中）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级·河北沧州·期中）观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级·山西大同·期中）将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 题型十七 实数运算的实际应用（共3小题） 1.（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 2.（24-25八年级·湖北咸宁·期中）小芳有一块长宽之比为3：2，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小宁见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” (1)这个长方形纸片的周长是多少？ (2)你同意小宁的说法吗？请通过计算进行说明． 3.（24-25八年级·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 题型十八 新定义下的实数运算（共4小题） 1.（25-26八年级·云南曲靖·期中）定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级·河南南阳·期中）对于有理数x，y，定义新运算，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果，，则的值是（   ） A． B．12 C． D．24 3.（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：．如：．则不等式的非负整数解是 ． 4.（24-25八年级·湖南邵阳·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $