第一章 勾股定理 单元练习题 培优卷 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章《勾股定理》 单元练习题 一．选择题 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝17，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为（　　） A．225 B．289 C．324 D．170 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2＝（c﹣b）（c+b） B．a＝1，b＝2，c＝3 C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 5．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地（　　） A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．28 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 9．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A．B． C． D． 10．课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2+b2＝c2的是（　　） A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 11．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是11，15，8，11，则最大正方形E的面积为（　　） A．346 B．530 C．531 D．532 12．以直角三角形a、b、c为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 二．填空题 13．直角三角形的三边长为3，4，m，则m2的值为　 　 ． 14．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 　 　 海里． 15．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝　 　 ． 16．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 　 　 ． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 　 　 ． 18．如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数是　 　 °． 19．矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝　 　 cm． 三．解答题 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8，BC＝6．求斜边上的高CD的长． 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AC的长为 　 　 ； （2）求点A到BC边的距离． 22．为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB＝26米，AD＝24米，BD＝10米，AC比DC长12米． （1）求△ABD的面积； （2）求小路DE的长． 23．西安辅轮中学于11月13日对全校师生组织了一场应急疏散演练主题教育，本次活动中同学们加强了消防安全意识、提升了火灾预防和应急处置能力同学们通过消防员们的介绍了解到消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险，如图2，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA′＝BB′＝25m），消防车高4m（即AH＝BG＝4m），救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A′处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B′处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 24．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC＝90°． （1）若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m，BD＝1.5m，求秋千OB的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 25．勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连结BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a． ∵， 又∵， ∴ ∴a2+b2＝c2． 请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A D B C D C C C C 题号 12 答案 A 二．填空题 13．25或7． 14．16． 15．45°． 16．4． 17．3． 18．∠DAB＝135°． 19．． 三．解答题 20．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵CD为斜边AB上的高， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴10CD8×6， ∴CD， ∴斜边上的高CD的长为． 21．解：（1）略 （2）BC边上的高h的长度为2． 22．解：（1）∵AB＝26米，AD＝24米，BD＝10米， ∴AB2＝BD2+AD2， ∴∠ADB＝90°， ∴S△ABD •BD•AD ＝120（米2）． 答：△ABD的面积是120米2； （2）由（1）知，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AC比DC长12米， ∴AC＝CD+12． 由勾股定理知：CD2+AD2＝AC2，即CD2+242＝（CD+12）2． ∴CD＝18米． ∴AC＝30米 ∵DE⊥AC， ∴S△ADCAD•CDAC•DE， ∴DE（米）， 答：小路DE的长为米． 23．解：由题意可知，DM＝4m，AA′＝BB′＝25m，A′M＝19m，B′M＝24m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线， ∴A′D＝A′M﹣DM＝19﹣4＝15（m），B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△AA′D中，由勾股定理得：， 在Rt△BB′D中，由勾股定理得：， ∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）． 答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m． 24．解：（1）设OB＝x m，则OA＝OC＝x m， ∵点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m， ∴DA＝1﹣0.5＝0.5（米）， 则OD＝x﹣0.5， ∵∠ODB＝90°，BD＝1.5（米）， ∴OB2＝DB2+OD2， ∴x2＝1.52+（x﹣0.5）2，解得x＝2.5． 答：秋千OB的长度为2.5m． （2）∵∠BOC＝90°，∠OEC＝90°， ∴∠BOE+∠EOC＝∠EOC+∠OCE＝90°， ∴∠BOE＝∠OCE， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°，BO＝OC， ∴△BDO≌△OEC（AAS）， ∴BD＝OE， 则EA＝OA﹣OE＝1（米）， 那么C距离地面的高1+0.5＝1.5（m）． 答：爸爸在距离地面1.5m高的地方接住小丽的． 25．证明：连接BD，过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，如图所示： ∴∠F＝90° ∵∠DAB＝90°，∠C＝∠AED＝90°， ∴∠EAD+∠BAE＝90°， ∵△ABC≌ADE， ∴∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAB+∠BAE＝90°， 即∠CAE＝90°， ∴∠C＝∠CAE＝∠F＝90°， ∴四边形ACFB是矩形， ∴AC＝EF＝b，AE＝CF＝b， ∴BF＝b﹣a， ∴S△ADEab，S△ABEb2，S△ABDc2，S△BDEa（b﹣a）， ∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝S△ABD+S△BDE， ∴b2abc2a（b﹣a）， 整理得：a2+b2＝c2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/10 14:22:14；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $