精品解析：天津市天津市红桥区2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若时，则,因此， 若时，比如，但不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知复数是纯虚数，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先将整理为的形式,再由纯虚数的概念求解即可 【详解】由题,, 因为z为纯虚数,所以,解得, 故选:A 【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用 4. 的展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令通项公式中的幂指数，求得的值，再将代入通项公式即可求解. 【详解】由题意，二项展开式的通项公式为， 令，解得，所以x的系数为 . 故选：C. 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 6. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则即为， 对于任意不等实数，不等式恒成立， 可知在上单调递减，且， 可得，解得. 故选：C. 8. 函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换及对称性求解得，，从而可求最小正值. 【详解】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 由可得，，解得：，， 因为是使变换成立的最小正值，由时，可得． 故选：C． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数， 然后利用性质解题. 【详解】对于选项A，的最小正周期，A选项错误； 对于选项B，由解得，B选项错误； 对于选项C，由解得，当时，，所以的图象关于直线对称，选项C正确； 对于选项D，由解得，当时，，所以，的图象关于点对称，D选项错误. 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知为虚数单位，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解. 【详解】，. 故答案为：. 11. 的展开式中的系数为______. 【答案】40 【解析】 【分析】先根据二项式定理求出展开式的通项公式，再通过令通项公式中的幂次等于，求出的值，最后将的值代入通项公式中关于系数的部分，从而得到的系数. 【详解】根据二项式定理，对于，其展开式的通项公式为. 进行化简， 所以. 令.解得. 将代入到中，所以，即的系数为40. 故答案为：40. 12. 已知，则的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】观察与的积可视为定值，再将与结合使用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2 13. 已知 则 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质进行计算。 【详解】由可得， 所以，. 故答案为：1. 14. 袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出第一次取出白球和第一次取出白球且第二次取出白球的概率，再根据条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出白球， 因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率，此时袋中还剩下个球，其中白球个， 那么第一次和第二次都取出白球的概率为， 由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是. 故答案为： 15. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是B班同学，利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为，利用组合及古典概型求出概率，根据公式得到期望. 【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况： 互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为， ， 所以甲景点恰有2个A班同学的概率. （2）由题知X的取值可能为， ，，， . 故答案为：；. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在 中，内角所对的边分别是，已知 （1）求的值； （2）求角的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得； （2）根据同角三角函数关系求得，再利用正弦定理求得，根据三角形内角关系可得角的值； （3）根据（2）所求三角函数值，利用两角和的余弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 根据余弦定理，， 解得. 【小问2详解】 因为，且，所以， 根据正弦定理，，即，得， 因为，所以或， 又因为，根据大边对大角可知， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以. 17. 在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. （1）求的值； （2）求； （3）若，的周长为， 求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式计算即可得； （3）借助余弦定理及面积公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则，故； 【小问2详解】 由，则，则， ； 【小问3详解】 由余弦定理可得， 又，则， 即，则. 18. 如图，已知四棱锥中，底面为矩形， 平面. （1）求证∶ 当时，平面平面 （2）当 时， ①求二面角的大小； ②求与平面成角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面，且平面，所以， 又因为底面为矩形，，所以底面为正方形，即， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再结合正方形对角线垂直，可证明线面垂直，即证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求法向量，从而可求二面角的大小和线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图建立空间直角坐标系，由， 可得： 则， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 由， 因为，所以， 由图可知二面角是锐角， 则二面角的大小为； ②设与平面成的角为， 则, 即与平面成角的正弦值为. 19. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 【答案】（1）证明：法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 【点睛】 20. 已知函数，，其中，为自然对数的底数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后分及讨论即可得； （3）原命题可转化为证明当时，，构造相应函数后求导研究单调性即可得. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 则函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 若，则在上恒成立，故在上单调递减； 若，令，则（负值舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，要证，即证，即证， 即证，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 故，即，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数是纯虚数，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 4. 的展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 6. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 8. 函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知为虚数单位，则__________ 11. 的展开式中的系数为______. 12. 已知，则的最小值为___________. 13. 已知 则 _______． 14. 袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是______． 15. 某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2个A班同学的概率为______；甲景点A班同学数X的数学期望为_______． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在 中，内角所对的边分别是，已知 （1）求的值； （2）求角的值； （3）求的值． 17. 在中， 内角，，所对的边分别是，，， 已知. （1）求的值； （2）求； （3）若，的周长为， 求的面积． 18. 如图，已知四棱锥中，底面为矩形， 平面. （1）求证∶ 当时，平面平面 （2）当 时， ①求二面角的大小； ②求与平面成角的正弦值． 19. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 20. 已知函数，，其中，为自然对数的底数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $