专题03 倍数与因数（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年北师大版数学五年级上册专项培优讲练

专题03 倍数与因数 【原卷版】 课题1：倍数与因数的基本概念 易错知识点01：概念理解偏差 倍数和因数是相互依存的关系，不能孤立地说一个数是倍数或因数。例如，在3×4=12这个式子中，应表述为3和4是12的因数，12是3和4的倍数，而不能简单说12是倍数，3是因数。 易错知识点02：范围界定不清 在研究倍数和因数时，所涉及的自然数不包括0。因为若考虑0，很多问题会变得复杂且无意义。例如，0乘任何数都为0，若把0纳入，任意非零自然数都是0的因数，0是任意非零自然数的倍数，这就使因数和倍数的讨论失去了原本的意义。 易错知识点03：“倍”与“倍数”混淆 “倍”的概念范围更广，可用于小数、整数、分数；而倍数是相对于因数而言的，仅适用于非000自然数。比如可以说1.5是0.5的3倍，但不能说1.5是0.5的倍数。 课题2：5、3的倍数特征 易错知识点01：特征记忆混淆 2的倍数特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征是个位上是0或5；3的倍数特征是一个数各个数位上的数字之和是3的倍数。学生容易将3的倍数特征与2、5的倍数特征混淆，错误地认为个位上是3、6、9的数就是3的倍数，例如13、26、49都不是3的倍数。 对于同时是多个数倍数的特征也容易出错比如同时是2和5的倍数，个位上一定是0；同时是2、3的倍数，个位上是0、2、4、6、8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数，个位上是0或5且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数，个位上是0且各个数位上数字之和是3的倍数。学生在判断时可能会遗漏部分条件。 易错知识点02：特征运用错误 在判断一个较大数是否是3的倍数时，可能会出现计算数字之和错误的情况。例如判断3456是否是3的倍数，需要计算3+4+5+6=18，因为18是3的倍数，所以3456是3的倍数，但在计算过程中可能会出现加法运算错误。 课题3：奇数和偶数 易错知识点01：概念理解有误 能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。学生可能会将奇数和偶数与质数和合数的概念混淆，认为奇数就是质数，偶数就是合数。实际上，2是偶数但它是质数，9、15等是奇数但它们是合数。 易错知识点02：计算结果判断错误 在进行奇数和偶数的运算时，容易出错。例如奇数 + 奇数 = 偶数，奇数 + 偶数 = 奇数，偶数 + 偶数 = 偶数等。在实际计算和判断时，可能会出现逻辑错误，比如错误地认为两个奇数相加还是奇数。 课题4：质数和合数 易错知识点01：概念判断失误 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数；1既不是质数也不是合数。学生可能会将1错误地判断为质数，或者对一些数的因数判断不准确，导致质数和合数判断错误。例如91，它除了1和91外，还有因数7和13，所以91是合数，但学生可能会误判为质数。 易错知识点02：分解质因数出错 把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。在分解质因数时，可能会出现分解不彻底或者使用非质数进行分解的情况。例如将24分解质因数，正确的是24=2×2×2×3，但可能会错误地写成24=4×6，其中4和6都不是质数。 课题5：找因数和倍数 易错知识点01：找因数不全 找一个数的因数时，方法是列乘法算式，从1开始一对一地找，看哪两个自然数的积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数；也可以列除法算式。但在实际操作中，容易出现遗漏因数的情况。例如找12的因数，可能会遗漏3和4，只找到1、12、2、6。 易错知识点02：倍数表示错误 一个数的倍数的个数是无限的，用这个数分别乘1、2、3、4…所得的积都是这个数的倍数。在表示一个数的倍数时，可能会忘记用省略号表示无限性。例如表示3的倍数写成3、6、9，而正确的表示应该是3、6、9…。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（2025六年级下·全国·专题练习）奇思的爸爸有一个密码箱，他忘记了密码，请你根据提示帮助他找到密码。密码是（    ）。 提示：密码是一个三位数。百位上是最小的质数，十位上的数比百位上的数多3，这个三位数既有因数5，又是3的倍数。 A．140 B．145 C．250 D．255 2．（本题2分）（24-25五年级上·山西晋城·期末）用5、6、7三个数字组成的三位数中（每个三位数中都没有重复数字），是（    ）的倍数的最多。 A．2 B．3 C．5 3．（本题2分）（24-25五年级上·广东深圳·期中）下列说法中，正确的是（    ）。 A．正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。 B．一个数是10的倍数，就一定是5的倍数。 C．两个不同的质数的积，一定是奇数。 D．两个奇数的和一定是偶数，两个奇数的积一定是合数。 4．（本题2分）（19-20五年级上·辽宁·期末）一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．8 5．（本题2分）（2019五年级上·全国·专题练习）建湖钟庄小学有位老师的小灵通号码设置成了如图的密码：建湖是6开头，B既不是质数也不是合数，C加上1是最小的合数，D是2和3的公倍数，E是最小的质数的4倍，F是质数又是偶数，G是10以内最大的质数．你能破译出这位老师的小灵通号码是（  ）． A．6183617 B．6156817 C．6136807 D．6136827 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（23-24五年级上·四川成都·期中）因为3×0.6＝1.8，所以3是1.8的因数。( ) 7．（本题2分）（23-24五年级上·陕西咸阳·期中）要使三位数48□同时是2、3、5的倍数，则□里填0。( ) 8．（本题2分）（23-24五年级上·广东惠州·期中）除了质数以外，其余的数至少有三个因数。( ) 9．（本题2分）（20-21五年级上·陕西西安·期中）既是2的倍数又是5的倍数的数是10的倍数。( ) 10．（本题2分）（18-19五年级上·广东清远·期末）13，51，47，97这几个数既是奇数又是质数。( ) 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共14分． 11．（本题1分）（24-25五年级上·陕西渭南·期末）《水浒传》成功塑造了水泊梁山108位好汉的形象。108的最大因数是( )，比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有( )。 12．（本题3分）（24-25五年级上·四川成都·期中）用质数填空。 26＝( )×( )            26＝( )＋( )           26＝( )－( ) 13．（本题1分）（24-25五年级上·陕西西安·期中）在五位数25□7□的空格处分别填上( )，才能使它既是3的倍数，又是含有因数5的最小五位数。 14．（本题4分）（24-25五年级上·陕西西安·期中）293至少减去( )才是2的倍数，至少加上( )才是5的倍数，至少加上( )才是3的倍数，至少加上( )才是2和5的共同倍数。 15．（本题1分）（24-25五年级上·浙江衢州·期中）一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有( )个。 16．（本题1分）（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个三位数43，如果能被3和5整除，里应该填( )。 17．（本题1分）（2023五年级上·辽宁·专题练习）一个数（如13）和其反序数（如31）都是质数，我们就称它们都为绝对质数。100以内的两位数中，共有( )个像13、31这样的绝对质数。 18．（本题2分）（19-20五年级上·四川成都·期末）有两个质数( )与( )，小明发现它们的和既是小于100的奇数，又是17的倍数。 四、应用题（本题共12小题，共66分） 19．（本题5分）（23-24五年级下·新疆和田·期中）小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 20．（本题5分）（23-24五年级下·辽宁·假期作业）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次正面朝下，翻动2次正面朝上。翻动99次后，哪个面朝上？翻动100次后，哪个面朝上？ 21．（本题5分）（23-24五年级下·福建莆田·期中）用105个边长为1厘米的小正方形拼成的长方形中，周长最长是多少？最短是多少？ 22．（本题5分）（23-24六年级下·辽宁·课后作业）为了庆祝中国共产党成立102周年，合唱队40名同学演唱了《唱支山歌给党听》。如果这些同学演出时至少排成2行，每行人数相同，有多少种不同的排法？ 23．（本题5分）（23-24五年级上·陕西西安·期末）2023年12月12日是西安事变87周年。黄老师买了30枚纪念章，现在要把这些纪念章都装进盒子里，要求每个盒了装的数量一样多，至少有两个盒子，一共有多少种不同的装法？ 24．（本题5分）（23-24五年级上·广东深圳·期中）星梅小学开展劳动实践活动，五（1）班的同学有一部分人负责种月季花，每人种的棵数相同。一年级有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的棵数，如下表。 姜小丫 马子希 陶丹丹 涂欣欣 棵数 79 83 87 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请说明理由。 （2）从上面信息请推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 25．（本题6分）（23-24五年级上·陕西宝鸡·期中）王老师买了3个完全相同的篮球，不小心把墨水染到发票上了，只能看到总价的个位上是个0，已知篮球总价在250~300元（不包括300元）之间，请你仔细推算一下，总价是多少元？ 26．（本题6分）（23-24五年级上·广东深圳·阶段练习）妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？ 27．（本题6分）（23-24五年级下·辽宁·假期作业）用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 28．（本题6分）欣欣幼儿园要给同一天过生日的四位小朋友订蛋糕，需要在蛋糕上插蜡烛，只知道他们的年龄一个比一个大一岁，以及他们的年龄的乘积是120，你知道幼儿园需要准备多少根蜡烛吗？ 29．（本题6分）7个连续奇数的和是147，其中最小的一个奇数是多少？ 30．（本题6分）甲、乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，甲数是12，乙数不是60，乙数是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 倍数与因数 【解析版】 课题1：倍数与因数的基本概念 易错知识点01：概念理解偏差 倍数和因数是相互依存的关系，不能孤立地说一个数是倍数或因数。例如，在3×4=12这个式子中，应表述为3和4是12的因数，12是3和4的倍数，而不能简单说12是倍数，3是因数。 易错知识点02：范围界定不清 在研究倍数和因数时，所涉及的自然数不包括0。因为若考虑0，很多问题会变得复杂且无意义。例如，0乘任何数都为0，若把0纳入，任意非零自然数都是0的因数，0是任意非零自然数的倍数，这就使因数和倍数的讨论失去了原本的意义。 易错知识点03：“倍”与“倍数”混淆 “倍”的概念范围更广，可用于小数、整数、分数；而倍数是相对于因数而言的，仅适用于非000自然数。比如可以说1.5是0.5的3倍，但不能说1.5是0.5的倍数。 课题2：5、3的倍数特征 易错知识点01：特征记忆混淆 2的倍数特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征是个位上是0或5；3的倍数特征是一个数各个数位上的数字之和是3的倍数。学生容易将3的倍数特征与2、5的倍数特征混淆，错误地认为个位上是3、6、9的数就是3的倍数，例如13、26、49都不是3的倍数。 对于同时是多个数倍数的特征也容易出错比如同时是2和5的倍数，个位上一定是0；同时是2、3的倍数，个位上是0、2、4、6、8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数，个位上是0或5且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数，个位上是0且各个数位上数字之和是3的倍数。学生在判断时可能会遗漏部分条件。 易错知识点02：特征运用错误 在判断一个较大数是否是3的倍数时，可能会出现计算数字之和错误的情况。例如判断3456是否是3的倍数，需要计算3+4+5+6=18，因为18是3的倍数，所以3456是3的倍数，但在计算过程中可能会出现加法运算错误。 课题3：奇数和偶数 易错知识点01：概念理解有误 能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。学生可能会将奇数和偶数与质数和合数的概念混淆，认为奇数就是质数，偶数就是合数。实际上，2是偶数但它是质数，9、15等是奇数但它们是合数。 易错知识点02：计算结果判断错误 在进行奇数和偶数的运算时，容易出错。例如奇数 + 奇数 = 偶数，奇数 + 偶数 = 奇数，偶数 + 偶数 = 偶数等。在实际计算和判断时，可能会出现逻辑错误，比如错误地认为两个奇数相加还是奇数。 课题4：质数和合数 易错知识点01：概念判断失误 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数；1既不是质数也不是合数。学生可能会将1错误地判断为质数，或者对一些数的因数判断不准确，导致质数和合数判断错误。例如91，它除了1和91外，还有因数7和13，所以91是合数，但学生可能会误判为质数。 易错知识点02：分解质因数出错 把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。在分解质因数时，可能会出现分解不彻底或者使用非质数进行分解的情况。例如将24分解质因数，正确的是24=2×2×2×3，但可能会错误地写成24=4×6，其中4和6都不是质数。 课题5：找因数和倍数 易错知识点01：找因数不全 找一个数的因数时，方法是列乘法算式，从1开始一对一地找，看哪两个自然数的积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数；也可以列除法算式。但在实际操作中，容易出现遗漏因数的情况。例如找12的因数，可能会遗漏3和4，只找到1、12、2、6。 易错知识点02：倍数表示错误 一个数的倍数的个数是无限的，用这个数分别乘1、2、3、4…所得的积都是这个数的倍数。在表示一个数的倍数时，可能会忘记用省略号表示无限性。例如表示3的倍数写成3、6、9，而正确的表示应该是3、6、9…。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.45（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（2025六年级下·全国·专题练习）奇思的爸爸有一个密码箱，他忘记了密码，请你根据提示帮助他找到密码。密码是（    ）。 提示：密码是一个三位数。百位上是最小的质数，十位上的数比百位上的数多3，这个三位数既有因数5，又是3的倍数。 A．140 B．145 C．250 D．255 【答案】D 【易错思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】百位上数字是最小的质数即2； 十位上的数比百位上的数多3，即十位上是2＋3＝5； 这个三位数既有因数5，又是3的倍数：个位是0时，2＋5＋0＝7，7不是3的倍数； 个位上是5时，2＋5＋5＝12，12是3的倍数，所以个位上是5； 这个三位数是255。 所以，密码是（255）。 故答案为：D 2．（本题2分）（24-25五年级上·山西晋城·期末）用5、6、7三个数字组成的三位数中（每个三位数中都没有重复数字），是（    ）的倍数的最多。 A．2 B．3 C．5 【答案】B 【易错思路引导】先根据2、5、3的倍数特征，列举出用5、6、7组成的分别是2、5、3的倍数的三位数，再数一数个数，找出个数最多的倍数即可得解。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】A．组成2的倍数有：576、756，共有2个； B．5＋6＋7＝18，18是3的倍数，则组成3的倍数有：567、576、657、675、756、765，共有6个； C．组成5的倍数有：675、765，共有2个； 6＞2 所以，用5、6、7三个数字组成的三位数中（每个三位数中都没有重复数字），是3的倍数的最多。 故答案为：B 3．（本题2分）（24-25五年级上·广东深圳·期中）下列说法中，正确的是（    ）。 A．正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。 B．一个数是10的倍数，就一定是5的倍数。 C．两个不同的质数的积，一定是奇数。 D．两个奇数的和一定是偶数，两个奇数的积一定是合数。 【答案】B 【易错思路引导】根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数；是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此逐一分析各项即可。 【规范解答】A．正方形、长方形、圆都是轴对称图形，而平行四边形不是轴对称图形。该项说法不正确。 B．因为10是5的倍数，所以一个数是10的倍数，就一定是5的倍数。该项说法正确。 C．2和3都是质数，2×3＝6，6是偶数；所以“两个质数的积一定是奇数”的说法是错误的。 D．两个奇数的和一定是偶数，该说法正确，而两个奇数的积一定是合数的说法不正确，因为，1和3是奇数，但它们的积3是质数。 故答案为：B 4．（本题2分）（19-20五年级上·辽宁·期末）一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【规范解答】假设这个数＝a×b×c， 则这个数的因数为：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，一共有8个． 故选：D． 5．（本题2分）（2019五年级上·全国·专题练习）建湖钟庄小学有位老师的小灵通号码设置成了如图的密码：建湖是6开头，B既不是质数也不是合数，C加上1是最小的合数，D是2和3的公倍数，E是最小的质数的4倍，F是质数又是偶数，G是10以内最大的质数．你能破译出这位老师的小灵通号码是（  ）． A．6183617 B．6156817 C．6136807 D．6136827 【答案】D 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（23-24五年级上·四川成都·期中）因为3×0.6＝1.8，所以3是1.8的因数。( ) 【答案】× 【易错思路引导】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此判断即可。 【规范解答】在3×0.6＝1.8中，0.6和1.8是小数，所以不能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。原题干说法错误。 故答案为：× 7．（本题2分）（23-24五年级上·陕西咸阳·期中）要使三位数48□同时是2、3、5的倍数，则□里填0。( ) 【答案】√ 【易错思路引导】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；则要是这个数是2、3、5的倍数，这个数的个位数字一定是0且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此判断即可。 【规范解答】由分析可知： 要使三位数48□同时是2、3、5的倍数，则□里填0。原题干说法正确。 故答案为：√ 8．（本题2分）（23-24五年级上·广东惠州·期中）除了质数以外，其余的数至少有三个因数。( ) 【答案】× 【易错思路引导】根据质数的意义可知，一个质数有2个因数，1既不是质数也不是合数，据此判断即可。 【规范解答】因为1既不是质数也不是合数，并且1的因数是它本身，1只有1个因数，所以原题说法错误。 故答案为：× 9．（本题2分）（20-21五年级上·陕西西安·期中）既是2的倍数又是5的倍数的数是10的倍数。( ) 【答案】√ 【易错思路引导】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数一定是5的倍数，既是2的倍数，又是5的倍数，个位上一定是0，那么这个数也是10的倍数，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，既是2的倍数又是5的倍数的数是10的倍数。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握2的倍数特征、5的倍数特征是解答本题的关键。 10．（本题2分）（18-19五年级上·广东清远·期末）13，51，47，97这几个数既是奇数又是质数。( ) 【答案】× 【易错思路引导】不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；据此进行判断即可。 【规范解答】13，51，47，97这几个数都是奇数，但51不是质数，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查奇数和质数，明确奇数和质数的定义是解题的关键。 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共14分． 11．（本题1分）（24-25五年级上·陕西渭南·期末）《水浒传》成功塑造了水泊梁山108位好汉的形象。108的最大因数是( )，比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有( )。 【答案】 108 102 【易错思路引导】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】108的最小因数是1，最大因数是108。 比108小的三位数有：100、101、102、103、104、105、106、107； 其中是偶数的有：100、102、104、106； 偶数中又是3的倍数的有：102。 填空如下： 108的最大因数是（108），比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有（102）。 12．（本题3分）（24-25五年级上·四川成都·期中）用质数填空。 26＝( )×( )   26＝( )＋( )    26＝( )－( ) 【答案】 2 13 7 19 29 3 【易错思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，据此解答。 【规范解答】26＝2×13 26＝7＋19 26＝29－3 最后四个空答案不唯一。 13．（本题1分）（24-25五年级上·陕西西安·期中）在五位数25□7□的空格处分别填上( )，才能使它既是3的倍数，又是含有因数5的最小五位数。 【答案】1、0 【易错思路引导】5的倍数特征：个位是0或5的数。 由题意知“含有因数5的最小五位数”，则这个五位数一定是5的倍数，又要“最小”，则个位一定是0。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。则2＋5＋□＋7＋0的和要是3的倍数。据此解答即可。 【规范解答】五位数25□7□，含有因数5且满足最小，则最后一个方框里一定是0。 2＋5＋□＋7＋0＝14＋□，要是3的倍数且最小，即为14＋1，所以第一个方框里一定是1，这个五位数是25170。 所以在五位数25□7□的空格处分别填上1、0，才能使它既是3的倍数，又是含有因数5的最小五位数。 14．（本题4分）（24-25五年级上·陕西西安·期中）293至少减去( )才是2的倍数，至少加上( )才是5的倍数，至少加上( )才是3的倍数，至少加上( )才是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 1 7 【易错思路引导】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数；3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0，据此解答。 【规范解答】293－1＝292，则293至少减去1才是2的倍数；293＋2＝295，则至少加上2才是5的倍数；2＋9＋3＋1＝15，则至少加上1才是3的倍数；293＋7＝300，则至少加上7才是2和5的共同倍数。 15．（本题1分）（24-25五年级上·浙江衢州·期中）一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有( )个。 【答案】8 【易错思路引导】根据题意，可设这个数＝a×b×c，找出a×b×c的因数即可；据此解答即可。 【规范解答】设这个数＝a×b×c（a、b、c是3个不同的质数），则这个数的因数为：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，共有8个； 所以一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有8个。 16．（本题1分）（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个三位数43，如果能被3和5整除，里应该填( )。 【答案】5 【易错思路引导】3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征是个位上是5或0。若这个三位数能被3和5整除，方框里的数可能是0或5，也就是这个数可能是430或435。再判断这两个数是否是3的倍数即可。 【规范解答】4＋3＋0＝7，7不是3的倍数。 4＋3＋5＝12，12是3的倍数。 个位上是5，同时12是3的倍数，则435符合题意，里应该填5。 17．（本题1分）（2023五年级上·辽宁·专题练习）一个数（如13）和其反序数（如31）都是质数，我们就称它们都为绝对质数。100以内的两位数中，共有( )个像13、31这样的绝对质数。 【答案】9 【易错思路引导】质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；根据绝对质数的定义将满足条件的所有情况写出来即可。 【规范解答】由分析可得：100以内的两位数中绝对质数为：11、13、31、17、71、37、73、79、97共9个。 【点睛】本题考查了质数与合数的知识，解题的关键是仔细读懂题意并了解绝对质数的定义，难点是能够不重不漏，难度不大。 18．（本题2分）有两个质数( )与( )，小明发现它们的和既是小于100的奇数，又是17的倍数。 【答案】 2 83 【易错思路引导】两个奇数相加的和是偶数，奇数加偶数的和是奇数，题目中两个质数之和是奇数，说明其中一个质数是偶数，进而可以确定这个数是2。小于100又是17的倍数的奇数有17、51、85三个，其中85＝2＋83，83是质数符合题意。据此解答。 【规范解答】由分析可知，这两个质数是2和83，它们的和既是小于100的奇数，又是17的倍数。 【点睛】此题考查了质数、奇数与倍数的综合应用能力。应该牢记100以内的质数可以提高做题效率。 四、应用题（本题共12小题，共66分） 19．（本题5分）（23-24五年级下·新疆和田·期中）小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【答案】84322496 【易错思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，即可写出这个八位数。 【规范解答】10以内最大的偶数是8；4的最小倍数是4；只有因数1和3的数是3；既是偶数又是质数的数是2；最小的质数是2；最小的合数是4；一位数中最大的合数是9；6的最大因数是6，因此这个八位数是：84322496。 答：这个号码是84322496。 20．（本题5分）（23-24五年级下·辽宁·假期作业）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次正面朝下，翻动2次正面朝上。翻动99次后，哪个面朝上？翻动100次后，哪个面朝上？ 【答案】翻动99次后：反面朝上；翻动100次后：正面朝上 【易错思路引导】一张扑克牌正面朝上放在桌上，翻动1次正面朝下，翻动2次正面朝上，翻动3次正面朝下，翻动4次正面朝上……也就是扑克牌翻动1次、3次……正面朝下，翻动2次、4次……正面朝上，即翻动奇数次后，扑克牌的正面朝下，翻动偶数次后，扑克牌的正面朝上；结合奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；判断99和100分别是奇数还是偶数，即可判断扑克牌是哪个面朝上。 【规范解答】扑克牌翻动奇数次后，扑克牌的正面朝下，翻动偶数次后，扑克牌的正面朝上。 99是奇数，因此翻动99次后，扑克牌的正面朝下，反面朝上； 100是偶数，因此翻动100次后，扑克牌的正面朝上。 答：翻动99次后，反面朝上；翻动100次后，正面朝上。 21．（本题5分）（23-24五年级下·福建莆田·期中）用105个边长为1厘米的小正方形拼成的长方形中，周长最长是多少？最短是多少？ 【答案】212厘米；44厘米 【易错思路引导】长方形的面积不变为105平方厘米，求出乘积是105的两个整数，作为长方形的长和宽。当长与宽的长度相差最大时，周长最长，长与宽的长度相差最小时，周长最短。 拼成1×105的长方形，周长最长；拼成15×7的长方形，周长最短；据此解答即可。 【规范解答】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 拼成1×105的长方形，周长最长： （1×1＋1×105）×2 ＝106×2 ＝212（厘米） 拼成15×7的长方形，周长最短： （1×7＋1×15）×2 ＝22×2 ＝44（厘米） 答：周长最长是212厘米；最短是44厘米。 22．（本题5分）（23-24六年级下·辽宁·课后作业）为了庆祝中国共产党成立102周年，合唱队40名同学演唱了《唱支山歌给党听》。如果这些同学演出时至少排成2行，每行人数相同，有多少种不同的排法？ 【答案】6种 【易错思路引导】根据题意，40名同学排队，每行人数相同，那么每行的人数一定是40的因数；先列举出40的所有因数，要求至少排成2行，从中找到符合要求的因数，有几个因数，就有几种不同的排法。 【规范解答】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 有6种不同的排法：①每行2人，排20行；②每行20人，排2行；③每行4人，排10行；④每行10人，排4行；⑤每行5人，排8行；⑥每行8人，排5行。 答：有6种不同的排法。 23．（本题5分）（23-24五年级上·陕西西安·期末）2023年12月12日是西安事变87周年。黄老师买了30枚纪念章，现在要把这些纪念章都装进盒子里，要求每个盒了装的数量一样多，至少有两个盒子，一共有多少种不同的装法？ 【答案】6种 【易错思路引导】每个盒子的数量必须是30的因数，先求出30的所有因数，盒子至少有2个，则找到大于1小于30的因数，是每个盒子装的个数；纪念章的总数÷每个盒子装的个数＝需要的盒子数量，据此解答。 【规范解答】30因数：1、2、3、5、6、10、15、30，其中2、3、5、6、10、15这6个数符合要求。 30÷2＝15（个） 30÷15＝2（个） 30÷3＝10（个） 30÷10＝3（个） 30÷5＝6（个） 30÷6＝5（个） 一种是一盒装2枚，需要15个盒子； 一种是一盒装15枚，需要2个盒子； 一种是一盒装3枚，需要10个盒子； 一种是一盒装10枚，需要3个盒子； 一种是一盒装5枚，需要6个盒子； 一种是一盒装6枚，需要5个盒子。 答：一共有6种不同的装法。 24．（本题5分）（23-24五年级上·广东深圳·期中）星梅小学开展劳动实践活动，五（1）班的同学有一部分人负责种月季花，每人种的棵数相同。一年级有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的棵数，如下表。 姜小丫 马子希 陶丹丹 涂欣欣 棵数 79 83 87 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请说明理由。 （2）从上面信息请推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 【答案】（1）陶丹丹数对了；理由见详解 （2））29人；3棵 【易错思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。因为总棵数＝每人种的棵数×人数，总棵数的因数除了1和本身，还有每人种的棵数和人数，根据实际情况，总棵数应该是合数，据此分析。 （2）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出总棵数的所有因数，根据总棵数＝每人种的棵数×人数，结合实际情况确定人数和每人种的棵数。 【规范解答】（1）陶丹丹数对了；因为79、83、89都是质数，只有1和本身两个因数。要么每人只种一棵，那么人数就不符合实际人数。如果只有一个同学种，那么和有些同学负责种月季花不符合。所以只有87棵是对的。 （2）87＝1×87＝3×29 根据实际情况3和29是人数和每人种的棵数。 答：五（1）班种月季花的有29人，平均每人种3棵或有3人，平均每人种29棵。 25．（本题6分）（23-24五年级上·陕西宝鸡·期中）王老师买了3个完全相同的篮球，不小心把墨水染到发票上了，只能看到总价的个位上是个0，已知篮球总价在250~300元（不包括300元）之间，请你仔细推算一下，总价是多少元？ 【答案】270元 【易错思路引导】根据单价×数量＝总价，可知3个篮球的总价一定是3的倍数；已知总价的个位上是个0，且篮球总价在250~300元（不包括300元）之间，所以百位上一定是2；根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数，可知总价上十位和百位的数字和一定是3的倍数。据此可知250~300之间符合3的倍数且个位上是0的数只有270。 【规范解答】根据分析可知，已知篮球总价在250~300元（不包括300元）之间，且个位上的数字是0； 2＋5＝7 比7大的3的倍数有9、12… 十位上是9－2＝7 所以在250~300之间符合3的倍数且个位上是0的数只有270。 答：总价是270元。 26．（本题6分）（23-24五年级上·广东深圳·阶段练习）妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？ 【答案】8种；具体见详解 【易错思路引导】先找出36的所有因数，再根据哪两个因数相乘的积是36，来确定每种装法需要几个盒子，每个盒子里装多少块月饼。 【规范解答】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，装法有： 36＝1×36，即装1盒，每盒装36块，但是这种装法不能体现出每个盒子装同样多，所以不可以这样装；只能装36盒，每盒装1块； 36＝2×18，即装2盒，每盒装18块；或装18盒，每盒装2块； 36＝3×12，即装3盒，每盒装12块；或装12盒，每盒装3块； 36＝4×9，即装4盒，每盒装9块；或装9盒，每盒装4块； 36＝6×6，即装6盒，每盒装6块； 答：有8种不同的装法。用36个盒子，每盒装1块；用2个盒子，每盒装18块；用18个盒子，每盒装2块；用3个盒子，每盒装12块；用12个盒子，每盒装3块；用4个盒子，每盒装9块；用9盒子，每盒装4块；用6个盒子，每盒装6块。 27．（本题6分）（23-24五年级下·辽宁·假期作业）用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 【答案】351 【易错思路引导】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。 【规范解答】 ＝34×10＋11 ＝340＋11 ＝351 答：这5个两位数的和是351。 【点睛】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。 28．（本题6分）欣欣幼儿园要给同一天过生日的四位小朋友订蛋糕，需要在蛋糕上插蜡烛，只知道他们的年龄一个比一个大一岁，以及他们的年龄的乘积是120，你知道幼儿园需要准备多少根蜡烛吗？ 【答案】14根 29．（本题6分）（18-19五年级上·辽宁·单元测试）7个连续奇数的和是147，其中最小的一个奇数是多少？ 【答案】15 30．（本题6分）甲、乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，甲数是12，乙数不是60，乙数是多少？ 【答案】20 【规范解答】60的全部因数是：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30 乙数不是12的因数，所以不是1，2，3，4，6，12． 乙数是4的倍数，所以不是5，10，15，30． 乙数不是60，所以，乙数是20． 答：乙数是20． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $