精品解析：2025年广东省深圳市南山外国语学校（集团）第二实验学校中考数学三模试卷

2025年广东省深圳市南山外国语学校（集团）第二实验学校中考数学三模试卷 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 学 B. 以 C. 广 D. 才 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （ ） A. B. C. D. 8. 数学课上，老师让同学们以“矩形折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是__________(写出一个即可)． 11. 如图所示，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点F，连接．若，则的度数______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为12，则的值为_____． 13. 如图，在中，，D中点，，，则_____． 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 15. 先化简，再求值：，其中. 16. 为了解学生科学素养状况，某校举办了科学知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的竞赛成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：83，85，86，86，87，87，87，87，88，89．八年级20名学生的竞赛成绩是： 67，69，70，74，75，78，82，83，85，88， 88，89，89，89，90，93，95，98，98，100． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表七年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 88 众数 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科学知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有500名学生、八年级有450名学生参加了此次科学知识竞赛．估计该校七、八年级参加此次科学知识竞赛成绩为“优秀”（）的学生人数总共是多少？ 17. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 18. 【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 19. 综合与实践 问题情境】 数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片，然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时，直线分别交射线于点，探究线段和的数量关系： 【特例猜想】 （1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点和点重合时，线段和的数量关系为______． 【数学思考】 （2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由． 【拓展探究】 （3）在旋转过程中，当正方形的边长为，的面积也为6时，请直接写出的面积． 20. 如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市南山外国语学校（集团）第二实验学校中考数学三模试卷 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 学 B. 以 C. 广 D. 才 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查正方体相对两个面上文字的知识；找出正方体的相对面上的汉字解题即可． 【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对； 故选：D． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除， 先判断是否是同类项解答A，再根据合并同类项法则解答B，然后根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解答C，最后根据同底数幂相除底数不变，指数相减解答D． 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 5. 如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 6. 如图，数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的加法，根据作图可知，根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，； ∴点C对应的实数是； 故选C． 7. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 8. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解： “”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是__________(写出一个即可)． 【答案】4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可) 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求参数，根据“关于的一元二次方程有实数解”得出，从而得出a的取值范围，根据这个范围写一个数值即可．掌握一元二次方程的解的情况与根的判别式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得， 所以可以是小于等于4的任意值． 故答案为：4(答案不唯一，写一个小于等于4的数即可) 11. 如图所示，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点F，连接．若，则的度数______． 【答案】30° 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分线段，推出，推出，再根据三角形内角和定理求解即可； 本题考查作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】由作图可知垂直平分线段， , , , , 故答案为：30°． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为12，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为，即可求出的值．本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提． 【详解】解：连接交于， 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得． ∵反比例函数图象在第二象限，则 故答案为：． 13. 如图，在中，，D为中点，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．延长至G，使，连接，证，得，，再由线段垂直平分线的性质得，然后证，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至G，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. 故答案为：4． 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【答案】（1）；（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． （2）①根据解分式方程的方法解答即可； ②根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． 15. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 为了解学生的科学素养状况，某校举办了科学知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的竞赛成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：83，85，86，86，87，87，87，87，88，89．八年级20名学生的竞赛成绩是： 67，69，70，74，75，78，82，83，85，88， 88，89，89，89，90，93，95，98，98，100． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表七年级所抽学生的竞赛成绩统计图 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 88 众数 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科学知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有500名学生、八年级有450名学生参加了此次科学知识竞赛．估计该校七、八年级参加此次科学知识竞赛成绩为“优秀”（）的学生人数总共是多少？ 【答案】（1）， （2）八年级的成绩更好，理由见详解 （3）235人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，由扇形统计图求某项的百分比，求中位数，求众数，运用中位数作决策，运用众数作决策，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据中位数的定义得中位数排在第和名，再结合题干条件以及扇形统计图的信息列式计算，即可作答． （2）七年级和八年级平均数都是分，但八年级竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的学生的高，故八年级的成绩更好， （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，七年级共抽取20名学生的竞赛成绩， ∴中位数排在第和名， 则， ∴， ∴， 在八年级的20名学生的竞赛成绩， 89出现3次，且为次数最多的， 故， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级平均数都是分， ∵， 即八年级竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的学生的高， ∴八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：依题意，（人）． 17. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）15° 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图（1），直线即为所求作的直线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 18. 【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）①；②见解析，相邻刻度线间的距离是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、有理数混合运算的运用、列代数式等知识点，根据题意、列出相关代数式成为解题的关键． （1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可； （2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，得出，，结合求解即可； （3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可； （4）用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以即可． 【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度； 故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度， 故答案为：． （2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是， ∴， ∴，即， ∴该弹簧测力计的量程为； （4）①∵， ∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加， 故答案为：． ②画出对应的刻度线如图所示： 在弹性限度范围内，拉力增大，弹簧伸长， ∴相邻刻度线间的距离是． 19. 综合与实践 问题情境】 数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片，然后将等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，当三角板绕着正方形的顶点顺时针旋转时，直线分别交射线于点，探究线段和的数量关系： 【特例猜想】 （1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点和点重合时，线段和的数量关系为______． 【数学思考】 （2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段和的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由． 【拓展探究】 （3）在旋转过程中，当正方形的边长为，的面积也为6时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）正确，证明见解析；（3）6或30 【解析】 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，继而得到本题答案； （2）连接，证明，利用相似性质得到，继而得到本题答案； （3）分两种情况讨论，当点在线段上时和当点在的延长线上时，对两种情况均利用面积求出，再利用勾股定理求出，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）∵等腰直角三角板的锐角顶点和正方形的顶点重合，三角板旋转到点和点重合时， ∴， ∵正方形纸片， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）正确，证明如下： 连接， ， 由题意知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）根据题意可知可分为两种情况讨论： ①当点在线段上时，过点作于点， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， ， ∵正方形的边长为，的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 20. 如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $