2.3.2 两条直线的交点坐标导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.3.2　两条直线的交点坐标 【学习目标】 1.进一步巩固两条直线的位置关系的相关知识.(数学抽象) 2.掌握两条直线相交位置关系的判定，学会求其交点坐标.(逻辑推理、数学运算) 3.理解直线系方程.(逻辑推理) 【自主预习】 1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系? 2.由两条直线l1，l2的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不论m取何值，x-y+1=0与x-2my+3=0必相交. (　　) (2)两条直线l1与l2有无数个公共点，则l1∥l2. (　　) (3)在两条直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两条直线相交. (　　) 2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　). A.(2，2) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，1) 3.下列各直线中，与直线2x-y-3=0相交的是(　　). A.2ax-ay+6=0(a≠0) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 【合作探究】 探究1　两条直线的交点坐标 观察图形，思考下列问题： 问题1：在两条直线方程联立的方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解表示什么? 问题2：如何求上述两条直线的交点坐标? 问题3：两条直线相交的条件是什么? 方程组的解与两条直线的交点个数 方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1与l2的位置关系 相交 平行 重合 例1　(1)(多选题)下列选项中，正确的有(　　). A.直线l1：x-y+2=0和l2：2x+y-5=0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x-2y+4=0和l2：2x-4y+8=0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x+y+2=0和l2：y=-2x+3的交点坐标为(-2，2) D.直线l1：x-2y+1=0，l2：y=x，l3：2x+y-3=0两两相交 (2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为(　　). A.-24 B.24 C.6 D.±6 判断下列各组中的直线l1与l2是否相交.若相交，求出它们的交点. (1)l1：x-4y-1=0，l2：x+2y-4=0. (2)l1：x-y-2=0，l2：x+y+2=0. (3)l1：x-3y-2=0，l2：2x-3y+1=0. 当k为何值时，直线l1：y=kx+3k-2与直线l2：x+4y-4=0的交点P在第一象限? 探究2　经过两条直线交点的直线方程 问题：怎样表示经过两条直线交点的直线系方程? 直线系方程 一般地，经过两条相交直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程可表示为： (1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)； (2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m，n不同时为零). 一、求过交点的直线方程 例2　求过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 【方法总结】经过两条直线交点的直线方程的求法： (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 已知直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点，则直线l的方程为(　　). A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0 二、直线系过定点 例3　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一点P，求点P的坐标. 【方法总结】解含参数的直线过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点是否是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)若含有一个参数的二元一次方程能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ是参数)的形式，就说明它表示的直线必过定点，该定点坐标可由方程组解得.若能整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). 已知直线(a-2)y=(1+a)x-a，求证：无论a为何值，直线总经过第四象限. 【随堂检测】 1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(　　). A.(4，1) B.(1，4) C. D. 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过点(　　). A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 3.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x-y=10相交于一点，则实数a的值为　　　　.  4.斜率为-2，且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0的交点的直线方程为　　　　.  参考答案 2.3.2　两条直线的交点坐标 自主预习 预学忆思 1.直线l上每一个点的坐标都满足其直线方程，也就是说直线l上的点的坐标都是其方程的解.反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标. 2.①若方程组无解，则l1∥l2； ②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交； ③若方程组有无数个解，则l1与l2重合. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.C　【解析】由得两直线的交点坐标为(1，2).故选C. 3.D　【解析】直线2x-y-3=0的斜率为2，A，B，C选项中的直线斜率均为2，D选项中的直线的斜率为-2，故D符合题意. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：两条直线的公共部分，即交点. 问题2：将两条直线的方程联立，求方程组的解即可. 问题3：两条直线相交的条件：①将两条直线方程联立，解方程组，当方程组只有一个解时，两条直线相交.②设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0，B2≠0).③若两条直线的斜率都存在，设两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 新知运用 例1　(1)AD　(2)A　【解析】(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)，A正确； 方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解为所以三条直线两两相交且交于同一点(1，1)，D正确. (2)因为两条直线相交，所以k≠-. 由解得因为直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，所以y==0，解得k=-24. 巩固训练1　【解析】(1)由题设，l1中A1=1，B1=-4，l2中A2=1，B2=2，则A1B2-A2B1=1×2-1×(-4)=6≠0， 所以l1与l2相交，由方程组解得即交点坐标为3，. (2)由题设，l1中A1=，B1=-1，l2中A2=1，B2=，则A1B2-A2B1=×-1×(-1)=4≠0， 所以l1与l2相交，由方程组解得即交点坐标为(1，-). (3)由题设，l1中A1=，B1=-3，l2中A2=2，B2=-3，则A1B2-A2B1=×(-3)-2×(-3)=0， 又当y=0时，l1中x=，l2中x=-，所以l1与l2不重合， 所以l1与l2平行. 巩固训练2　【解析】当k=-时，l1与l2平行，不符合题意. 当k≠-时，由 解得∴P，. ∵点P在第一象限，∴解得<k<1. ∴当<k<1时，l1与l2的交点P在第一象限. 探究2　情境设置 问题：经过直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程). 新知运用 例2　【解析】(法一)由 解得所以两条直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x+y-1=0平行，所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线的方程为y+=-3，即15x+5y+16=0. (法二)设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0， 即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.　① 因为所求直线与直线3x+y-1=0平行， 所以有解得λ=. 代入①式，得x+y+=0，即15x+5y+16=0. 巩固训练　B　【解析】设所求直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0，即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0，因为l过原点，所以λ=8，则所求直线的方程为2x-y=0. 例3　【解析】∵(m+1)x-y-7m-4=0， ∴m(x-7)+(x-y-4)=0. 由解得 ∴点P的坐标为(7，3). 巩固训练　【解析】将直线方程整理为(x+2y)+a(x-y-1)=0. 由解得 所以直线(a-2)y=(1+a)x-a过第四象限内的定点，-， 所以无论a为何值，直线总经过第四象限. 随堂检测 1.C　【解析】由方程组解得即直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是. 2.C　【解析】直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0， 由解得 所以直线l恒过点(-3，1).故选C. 3.-1　【解析】由解得又点(4，-2)在直线ax+2y+8=0上，所以4a+2×(-2)+8=0，解得a=-1. 4.2x+y-4=0　【解析】设所求直线的方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0，λ∈R， 即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0， ∴k==-2，解得λ=5， ∴所求直线的方程为2x+y-4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $