2.2.3 课时2直线的方向向量与法向量导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的方向向量与法向量，通过自主预习问题引导学生回顾方向向量定义、与斜率关系及法向量与方向向量的垂直关系，衔接斜率、直线方程等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链驱动学习，自主预习设判断、选择等基础题，合作探究分方向向量与法向量分层设计推导问题，结合例题与巩固训练，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，随堂检测针对性强，便于学生自主学习与教师教学评估。

2.2.3　课时2　直线的方向向量与法向量 【学习目标】 1.了解直线的方向向量与法向量.(数学抽象、直观想象) 2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.什么是直线l的方向向量?它与斜率k有什么关系? 2.直线l的方向向量v唯一吗?为什么? 3.直线的法向量与直线的方向向量有什么关系?直线的法向量是唯一的吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y=kx+b的全体方向向量为(k，1). (　　) (2)直线y=kx+b的一个法向量为(k，-1). (　　) 2.若直线过A(0，1)，B(2，-1)两点，则下列不是直线的方向向量的是(　　). A.(2，-2) B.(-2，2) C.(0，1) D.(1，-1) 3.在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角是60°，则直线l的全体方向向量为(　　)(其中λ≠0). A.λ(，1) B.λ(1，) C.λ，-1 D.λ-1， 4.已知直线l的一个方向向量为(3，4)，且过点(-1， 2)，则直线l的点斜式方程为　　　　.  【合作探究】 探究1　直线的方向向量 问题1：求直线y=-2x+1的全体方向向量. 问题2：求直线Ax+By+C=0(A，B不能同时为0)的全体方向向量. 1.直线的方向向量 与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量，用它们来表示直线的方向. 直线l的方向向量v并不唯一，v的所有的非零实数倍λv都是方向向量.反过来，所有的方向向量都与 l 平行，因此它们相互平行，互为实数倍. 2.斜率为k的直线的方向向量 斜率为k的直线的方向向量为(1， k)的非零实数倍. 3.直线一般式的方向向量 直线Ax+By+C=0的全体方向向量为λ(-B，A)，其中λ为任意非零实数. 例1　(1)求直线2x+2y-1=0的全体方向向量. (2)已知直线l的一个方向向量为，且经过点P(2，-1)，求直线l的方程. 【方法总结】求直线的方向向量可以化为点斜式，也可以根据一般式的直线的方向向量公式求解.此外，倾斜角为α的直线的一个方向向量为(cos α， sin α).已知方向向量求直线方程，可根据方向向量与直线的关系，求出斜率，再根据条件写出直线方程. 写出直线2x+y+1=0的一个方向向量：m=　　　　.  探究2　直线的法向量 问题1：求直线y=kx+b的法向量. 问题2：类比直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的方向向量，推导直线l的法向量. 1.直线的法向量 与直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的非零向量(A，B)称为直线l的一个法向量. 2.点斜式与一般式的法向量 (1)斜率为k的直线的一个法向量为(k，-1). (2)直线方程 Ax+By+C=0 (A， B不同时为0)的法向量为(A，B). 例2　过点(2，-1)且法向量为(2，-1)的直线方程是　　　　.  【方法总结】过点P(x0，y0)，且其一个法向量为(A，B)的直线方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0. 已知点A(3，2)和点B(-1，-4)，则线段AB的垂直平分线方程为　　　　.  【随堂检测】 1.若直线l的倾斜角等于135°，则直线l的一个方向向量是(　　). A.(1，-1) B.(1，1) C.(2，-) D.(3，) 2.直线3x+4y-1=0的一个单位方向向量是(　　). A.(3，-4) B.(-4，3) C.- D.，- 3.过点A(-1，5)且以n=(-2，-1)为法向量的直线方程为　　　　.  4.已知直线l过点P(-1，2)，Q(2，-2)，求直线l的法向量及方程. 参考答案 课时2　直线的方向向量与法向量 自主预习 预学忆思 1. 与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量；斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍. 2. 直线l的方向向量v并不唯一，因为v的所有非零实数倍λv都是方向向量. 3. 直线的法向量与直线的方向向量垂直；直线的法向量不唯一. 自学检测 1.(1)×　(2)√ 2.C　【解析】若直线过A(0，1)，B(2，-1)两点，则=(2，-2)，则(0，1)不是直线的方向向量，故选C. 3.B　【解析】因为直线l的倾斜角是60°，所以该直线的斜率k=，所以直线l的全体方向向量为λ(1，)，故选B. 4.y-2=(x+1)　【解析】因为直线l的一个方向向量为(3，4)，所以直线l的斜率为， 所以直线l的点斜式方程为y-2=(x+1). 合作探究 探究1　情境设置 问题1：由题意知，直线的斜率k=-2，所以直线y=-2x+1的全体方向向量为λ(1，-2)(其中λ≠0，且λ∈R). 问题2：直线上任意两点P(x0，y0)，Q(x，y)的坐标满足等式： Ax0+By0+C=0，　① Ax+By+C=0.　② 由②-①得A(x-x0)+B(y-y0)=0.　③ 当P，Q两点不重合时，=(x-x0，y-y0)代表了直线的全体方向向量，将③式的左边写成数量积的形式，得(A，B)·(x-x0，y-y0)=0.　④ 由④可知，与向量(A，B)垂直，因此这条直线与向量(A，B)垂直. 又向量(-B，A)与向量(A，B)垂直，所以(-B，A)是直线的一个方向向量，故直线的全体方向向量为λ(-B，A)，其中λ为任意非零实数. 新知运用 例1　【解析】(1)(法一)直线方程2x+2y-1=0可变形为y=-x+， 所以直线的斜率k=-， 所以向量(1，-)为直线的一个方向向量， 故该直线的全体方向向量为λ(1，-)(λ为任意非零实数). (法二)根据一般式的方向向量可得直线2x+2y-1=0的全体方向向量为λ(-2，2)(λ为任意非零实数). (2)由直线l的一个方向向量为-，1，得直线l的斜率k=-2， 故直线l的方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0. 巩固训练　(1，-2)(答案不唯一)　【解析】由题意可知，直线2x+y+1=0可以化为y=-2x-1， 所以直线的斜率为-2，故所求直线的一个方向向量可以为(1，-2). 探究2　情境设置 问题1：若直线上任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1 ≠x2)的坐标满足k=，即y2-y1=k(x2-x1)， 则方向向量=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))=(x2-x1)(1，k)=λ(1，k)， 其中，λ=x2-x1可以取任意非零实数. 因为(k，-1)·(1，k)=0，所以斜率为k的直线的一个法向量为(k，-1). 问题2：因为直线l：Ax+By+C=0的一个方向向量为(-B，A)，根据垂直关系可知直线l的一个法向量为(A，B). 新知运用 例2　2x-y-5=0　【解析】设(x，y)是所求直线上的任意一点，则2(x-2)-(y+1)=0， 即所求直线方程为2x-y-5=0. 巩固训练　2x+3y+1=0　【解析】设线段AB的中点为C，则点C的坐标为，，即(1，-1). =(-1-3，-4-2)=(-4，-6)， 表示线段AB垂直平分线的一个法向量，代入直线的点法式方程，得-4(x-1)-6(y+1)=0，即2x+3y+1=0. 随堂检测 1.A　【解析】∵直线l的倾斜角等于135°，∴直线l的斜率k=-1， ∴直线l的一个方向向量为(1，-1). 2.C　【解析】由题意得，直线3x+4y-1=0的斜率k=-，则直线的一个方向向量为(1，k)=1，-，所以直线的一个单位方向向量为e=-，. 3.2x+y-3=0　【解析】设B(x，y)是所求直线上不与点A重合的一点，则直线的方向向量为a==(x+1，y-5)，又直线的一个法向量n=(-2，-1)，由a·n=0得-2(x+1)-(y-5)=0，即2x+y-3=0. 4.【解析】由已知得=(3，-4)，则直线l的一个法向量n=(4，3)， 故直线l的方程为4(x+1)+3(y-2)=0，即4x+3y-2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $