2.2.1直线的点斜式方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕直线的点斜式与斜截式方程展开，以斜拉桥为情境导入，通过问题链引导学生从确定直线的几何要素出发，结合斜率公式推导方程，衔接旧知并为后续学习铺垫，构建学习支架。 资料特色在于情境化探究与问题链设计，自主预习问题激发主动思考，合作探究结合例题与方法总结帮助构建知识体系，分层练习提升数学运算能力，培养直观想象和逻辑推理等核心素养，便于学生自主学习与教师教学评估。

2.2.1　直线的点斜式方程 【学习目标】 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.(逻辑推理、直观想象) 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(逻辑推理) 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.(数学运算) 【自主预习】 1.确定一条直线的几何要素是什么? 2.已知直线上一点P0(x0，y0)与这条直线的斜率k，我们能否将直线上的一点P(x，y)满足的关系表示出来? 3.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=，对吗? 4.在式子y=kx+b中，k，b的几何意义是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y-3=m(x+1)恒过点(-1，3). (　　) (2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　) (3)经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线的方程为x=x0. (　　) 2.已知直线的方程为y+3=-(x-1)，则(　　). A.该直线过点(-1，-3)，斜率为-1 B.该直线过点(-1，-3)，斜率为1 C.该直线过点(1，-3)，斜率为-1 D.该直线过点(1，-3)，斜率为1 3.已知过点A(，1)的直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为(　　). A.y=-x+4 B.y-1=(x-) C.y=-x-4 D.y-1=(x+) 4.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则直线l的方程为(　　). A.y=x+2 B.y=-x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 【合作探究】 探究1　直线的点斜式方程 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线. 问题1：已知某一斜拉索过索塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗? 问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件?该直线的方程是什么? 问题3：直线的点斜式方程的前提条件是什么? 问题4：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征? 问题5：如果直线l过点P0(x0，y0)且垂直于x轴，此时的直线方程是什么? 1.点斜式：方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式. 2.特殊的直线方程 若直线l过定点P(x0，y0)，当直线l的倾斜角为90°时，l没有斜率，则l不能用点斜式方程表示，此时l与x轴垂直，方程为x=x0. 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)过点B(-1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(-1，2)，且与y轴平行. 【方法总结】(1)求直线的点斜式方程的步骤 (2)当直线的斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x=x0. 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点D(1，1)，且与x轴平行； (2)过A(1，3)，B(2，5)两点. 探究2　直线的斜截式方程 问题：直线l的斜率为k，且过点P(0，b)，求直线l的方程. 我们把直线l：y=kx+b与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与在y轴上的截距b确定，因此我们把方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式. 特别提醒：(1)倾斜角是直角的直线没有斜截式方程. (2)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在. (3)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2. 【方法总结】(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可. 求倾斜角是直线y=-x+1的倾 斜角的，且在y轴上的截距是-5的直线方程. 探究3　含参数的直线方程的几何特征 例3　已知直线l：y=ax+，a∈R.求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限. 【方法总结】含参数k的直线y-y0=k(x-x0)恒过点(x0，y0). 已知直线l：y=kx+k-3，则直线l恒过点(　　). A.(1，3) B.(-1，-3) C.(3，1) D.(-3，-1) 【随堂检测】 1.过点P(0，1)且斜率为2的直线的方程为(　　). A.y=-2x+1 B.y=2x+1 C.y=-x+1 D.y=x+1 2.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　). A.(2，1) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(1，2) 3.经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线的方程是(　　). A.x=-1 B.y=1 C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1) 4.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为　　　　.  参考答案 2.2.1　直线的点斜式方程 自主预习 预学忆思 1.①一点和斜率，可以确定一条直线；②两点，可以确定一条直线. 2.能，当x≠x0时，根据斜率公式=k可知点P(x，y)满足的关系式为y-y0=k(x-x0)；当x=x0时，点P(x，y)满足的关系式为x=x0，y=y0. 3.不对.前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0). 4.k是直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距(纵截距). 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)√ 2.C　【解析】因为直线的方程为y+3=-(x-1)，所以直线的斜率为-1，且当x=1时，y=-3，故直线过点(1，-3). 3.B　【解析】因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k=，又直线过点A(，1)，由直线方程的点斜式可得直线l的方程为y-1=(x-). 4.D　【解析】∵α=60°，∴k=tan 60°=，∴直线l的方程为y=x-2. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：不确定，从一点可引出多条斜拉索. 问题2：满足y-b=kx.该直线的方程为y-b=kx. 问题3：过一点P(x0，y0)和斜率存在.只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程. 问题4：方程y-y0=k(x-x0)表示恒过点(x0，y0)的无数条直线. 问题5：当l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x=x0，如图所示. 新知运用 例1　【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y-3=3[x-(-4)]. (2)由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)]. (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在.由于直线上所有点的横坐标都是-1，故这条直线的方程为x=-1，该直线没有点斜式方程. 巩固训练　【解析】(1)由题意可知直线的斜率为0，∴所求直线的点斜式方程为y-1=0×(x-1)，即y-1=0. (2)∵k==2， ∴所求直线的点斜式方程为y-3=2(x-1). 探究2　情境设置 问题：y=kx+b. 新知运用 例2　【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y=2x+5. (2)因为直线的倾斜角α=150°，所以其斜率k=tan 150°=-，由斜截式可得所求直线的方程为y=-x-2. 巩固训练　【解析】∵直线y=-x+1的斜率k=-，∴其倾斜角α=120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1=α=30°，故所求直线的斜率k1=tan 30°=， 又∵所求直线在y轴上的截距为-5， ∴所求直线的方程为y=x-5. 探究3 例3　【解析】因为y=ax+=ax-+， 所以直线l恒过点，. 因为点，位于第一象限， 所以直线l必经过第一象限. 巩固训练　B　【解析】y=kx+k-3可变形为y+3=k(x+1)，由直线的点斜式方程可得直线l恒过点(-1，-3). 随堂检测 1.B　【解析】已知直线的斜率为2，且直线过点P(0，1)，则用斜截式得到该直线方程为y=2x+1. 2.C　【解析】由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1，-2). 3.C　【解析】因为已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为y-1=(x+1). 4.-9　【解析】由y+=(x-1)，得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 学科网（北京）股份有限公司 $