1.4 数学归纳法导学案-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.4*　数学归纳法 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理) 2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理) 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理) 【自主预习】 对于数列{an}，已知a1=1，an+1=(n=1，2，3，…)，通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，猜出其通项公式为an=.而在教材第39页中，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　　) (3)用数学归纳法证明等式时，由n=k到n=k+1的推导过程中，等式的项数不一定增加了一项. (　　) 2.用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d，假设当n=k时，公式成立，则Sk=(　　). A.a1+(k-1)d B. C.ka1+d D.(k+1)a1+d 3.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”，第一步验证当n=1时，左边应取的项是　　　　.  4.用数学归纳法证明：++…+>-，假设当n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是　　　　　　.  【合作探究】 探究1　数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n=k(k≥n0，k∈N+)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 例1　(1)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1，n∈N+)，在验证n=1成立时，左边计算所得的项是(　　). A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 (2)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，等式左边应在n=k的基础上加上　　　　　　.  【方法总结】 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，左边=<1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1，则当n=k+1时，=<==(k+1)+1，所以当n=k+1时，不等式成立. 上述证法(　　). A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 探究2　用数学归纳法证明等式 例2　求证：12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+). 【方法总结】 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明当n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 用数学归纳法证明：++…+=(n∈N+). 探究3　用数学归纳法证明不等式 例3　已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+(n∈N+)，用数学归纳法证明：an<an+1(n∈N+). 【方法总结】 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值n0时，要注意n0不一定为1，若不等式成立的条件为n>k(k为正整数)，则n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，因为不运用归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由当n=k时成立得出当n=k+1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等. 用数学归纳法证明：1+++…+<2-(n∈N+，n≥2). 探究4　“归纳—猜想—证明”问题 例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=，且a1=. (1)求a2，a3的值； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明. 【方法总结】“归纳—猜想—证明”的一般步骤 已知函数y=f(n)(n∈N+)，设f(1)=2，且对任意的n1，n2∈N+，都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2). (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明. 【随堂检测】 1.用数学归纳法证明“对任意的n∈N+，都有1-+-+…+-=+++…+”，第一步应该验证的等式是(　　). A.1-+-=+ B.1-+=+ C.1=+ D.1-= 2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”时，从“n=k到n=k+1”左端需增乘的代数式为(　　). A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 3.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证明当n=k+1时，f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)=　　　　.  4.已知数列{an}满足a1=，an+1=(n∈N+). (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)根据(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 参考答案 1.4*　数学归纳法 自主预习 预学忆思 ①验证当n=1时，猜想成立；②假设当n=k(k∈N+)时，猜想成立，然后证明当n=k+1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.C　【解析】假设当n=k时，公式成立，只需把公式中的n换成k，即Sk=ka1+d. 3.1+2+3+4　【解析】当n=1时，左边=1+2+3+4. 4.++…++>- 合作探究 探究1　情境设置 问题：使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 新知运用 例1　(1)C　(2)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 【解析】(1)由题意知1+a+a2+…+an+1=， 当n=1时，左边=1+a+a1+1=1+a+a2.故选C. (2)当n=k时，等式左边=1+2+3+…+k2； 当n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2，所以在n=k时的左边应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 巩固训练　D　【解析】在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法. 探究2 例2　【解析】①当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-3，等式成立. ②假设当n=k时，等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)， 当n=k+1时，左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)-(4k+3) =-(2k2+5k+3) =-(k+1)(2k+3) =-(k+1)[2(k+1)+1]=右边， 所以当n=k+1时，等式也成立. 综上所述，等式对一切n∈N+都成立. 巩固训练　【解析】①当n=1时，左边==， 右边==， 左边=右边，等式成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时等式成立， 即++…+=， 那么当n=k+1时， ++…++ =+= ===. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，等式对一切n∈N+都成立. 探究3 例3　【解析】①当n=1时，a2=1+=，a1<a2， 所以当n=1时，不等式成立； ②假设当n=k(k∈N+)时，ak<ak+1成立，则当n=k+1时， ak+2-ak+1=1+-ak+1 =1+-1+ =>0，即ak+1<ak+2， 所以当n=k+1时，不等式成立. 由①和②可知，不等式an<an+1(n∈N+)成立. 巩固训练　【解析】①当n=2时，1+=<2-=，命题成立. ②假设当n=k(k≥2，且k∈N+)时，命题成立，即1+++…+<2-. 则当n=k+1时，1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-，命题成立. 由①和②知，原不等式在n∈N+，n≥2时成立. 探究4 例4　【解析】(1)a2==，a1=， 则a2=，同理可得a3=. (2)由a1=，a2=，a3=，…，猜想an=. 证明：①当n=1时，等式成立； ②假设当n=k(k∈N+)时，猜想成立，即ak=，那么，当n=k+1时，由题设an=，得ak=，ak+1=， 所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·=，Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1， 所以ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-. 因此k(2k+3)ak+1=，所以ak+1==. 所以当n=k+1时，猜想成立. 由①②可知，猜想对一切n∈N+都成立. 巩固训练　【解析】(1)因为f(1)=2，f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)， 所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4， f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8. f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16. (2)猜想：f(n)=2n(n∈N+). 用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，f(1)=21=2，猜想正确. ②假设当n=k(k∈N+)时，猜想正确，即f(k)=2k， 那么当n=k+1时，f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1， 所以当n=k+1时，猜想正确. 由①②知，对任意的n∈N+，都有f(n)=2n. 随堂检测 1.D　【解析】在等式1-+-+…+-=+++…+，n∈N+中， 当n=1时，等式左边为1-，右边为， 所以第一步应该验证的等式是1-=. 故选D. 2.B　【解析】当n=k时，左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+k)(k+1+k)(k+k+2)， 所以从“n=k到n=k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1). 3.+-　【解析】∵f(k)=+++…+，f(k+1)=++…+++，∴f(k+1)-f(k)=+-. ∵f(k+1)=f(k)+g(k)，∴g(k)=+-. 4.【解析】(1)因为a1=，an+1=(n∈N+)，所以a2==，a3==，a4==. (2)猜想：an=(n∈N+).用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，a1==，猜想成立； ②假设当n=k(k∈N+)时猜想成立，即ak=，那么当n=k+1时，ak+1====，故当n=k+1时，猜想也成立. 由①②知，an=对一切n∈N+成立. 学科网（北京）股份有限公司 $