第1章 1.4 数学归纳法（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦数学归纳法，通过“袋子取球”引出不完全归纳法局限，结合“多米诺骨牌”游戏类比递推原理，搭建“问题情境—原理抽象—步骤应用—拓展证明”的学习支架，衔接从概念理解到等式证明、归纳猜想的知识脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，用骨牌游戏类比发展数学思维，通过规范证明步骤强化数学语言。如数列通项“归纳—猜想—证明”案例，既训练逻辑推理又提升表达严谨性，助力学生构建逻辑框架，也为教师提供含例题、练习和小结的完整教学资源。

*§1.4 数学归纳法 第1章　数列 <<< 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 学习目标 一、数学归纳法的理解 二、利用数学归纳法证明等式 课时对点练 三、归纳—猜想—证明 随堂演练 内容索引 数学归纳法的理解 一 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 问题1 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确. 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 问题2 提示　要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下. 一般地，在证明一个与正整数n有关的命题时，可按下列步骤进行： (1)证明 时命题成立； (2)假设 (k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数n，命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法. n=n0(n0∈N+) n=k n=k+1 n0 知识梳理 初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择. 注 意 点 <<< 8 　 (1)用数学归纳法证明：1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)，在验证n=1成立时，左边所得的代数式是 A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 例 1 √ 当n=1时，2n+1=2×1+1=3，所以左边为1+2+3. 解析 9 (2)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，等式左边应在n=k的基础上加上 　. (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 当n=k时，等式左边=1+2+3+…+k2， 当n=k+1时， 等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2，所以在n=k时的左边应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 解析 10 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 反 思 感 悟 11 对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，左边=，右边1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1，那么当n=k+1时，=< ==(k+1)+1， 跟踪训练1 所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 √ 12 在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法. 解析 13 二 利用数学归纳法证明等式 　 (课本例2) 　用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=(n∈N+). 例 2 15 (1)当n=1时，左边=12=1，右边==1，等式成立. (2)假设当n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2=， 那么，当n=k+1时，12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2===. 这表明，当n=k+1时，等式也成立. 由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立. 证明 16 　用数学归纳法证明：++…+=(n∈N+). 例 2 17 (1)当n=1时，左边==， 右边==， 左边=右边，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时等式成立， 即++…+=， 那么当n=k+1时， ++…++ 证明 18 =+= ===. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，等式对一切n∈N+都成立. 证明 19 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n=n0时，等式的结构. (2)n=k到n=k+1时，两个式子的结构：n=k+1时的代数式比n=k时的代数式增加(或减少)的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项. ②代数式相邻两项之间的变化规律. ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 反 思 感 悟 20 　用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+ (n∈N+). 跟踪训练 2 21 (1)当n=1时，左边=1-=，右边=，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立，即 1-+-+…+-=++…+， 那么当n=k+1时， 1-+-+…+-+- =++…++- =++…++. 证明 22 上式表明当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对一切n∈N+均成立. 证明 23 归纳—猜想—证明 三 　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且Sn++2=an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法加以证明. 例 3 25 S1=a1=-， S2++2=S2-⇒S2=-， S3++2=S3-S2⇒S3=-， S4++2=S4-S3⇒S4=-. 猜想：Sn=-(n∈N+). 下面用数学归纳法证明. 解 26 (1)当n=1时，左边=S1=a1=-， 右边=-=-. 左边=右边，等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，Sk=-成立，那么当n=k+1时，由Sk+1++2=Sk+1-Sk，得 =-Sk-2=-2===-， ∴Sk+1=-=-， 解 27 ∴当n=k+1时，等式也成立. 综合(1)(2)得，Sn=-对一切n∈N+都成立. 解 28 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 反 思 感 悟 29 　设数列{an}满足a1=2，an+1=-nan+1，n=1，2，3，…. (1)求a2，a3，a4； 跟踪训练 3 由a1=2得a2=-a1+1=3， a3=-2a2+1=4， a4=-3a3+1=5. 解 30 (2)猜想出{an}的一个通项公式，并用数学归纳法加以证明. 31 由此猜想{an}的一个通项公式为an=n+1(n∈N+)， 下面用数学归纳法证明， ①当n=1时，左边=a1=2，右边=1+1，左边=右边，等式成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时等式成立， 即ak=k+1， 那么当n=k+1时，ak+1=-kak+1 =(k+1)2-k(k+1)+1 =k+2=(k+1)+1， 也就是说，当n=k+1时，ak+1=(k+1)+1也成立， 根据①②知，an=n+1对于一切n∈N+都成立. 解 32 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念. (2)用数学归纳法证明等式. (3)“归纳—猜想—证明”问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n=k到n=k+1的凸n边形的内角和增加 A. B.π C. D.2π √ 1 2 3 4 如图， 由n=k到n=k+1时， 凸n边形的内角和增加∠1+∠2+∠3=π. 解析 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N+)时，若记f(n)=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)，则f(k+1)-f(k)等于 A.3k-1 B.3k+1 C.8k D.9k 因为f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)，f(k+1)=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1) +3k+(3k+1)，则f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k. 解析 √ 1 2 3 4 3.以下是一个证明的全部过程：假设当n=k(k∈N+)时等式成立，即2+4+…+2k=k2+k，则当n=k+1时，2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)，即当n=k+1时，等式也成立.因此等式对于任何n∈N+都成立. 则用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N+)”的过程中的错误为 　 　　　　　　　.  缺少当n=1时命题成立的证明 1 2 3 4 4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n=k时，等式为1×4+2×7+…+ k(3k+1)=k(k+1)2，则当n=k+1时，等式为____________________________ 　　　　　　　　　 .  当n=k+1时， 等式左边为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)，等式右边为(k+1)(k+2)2， 则当n=k+1时，等式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2. 解析 1×4+2×7+…+k(3k+1)+ (k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B B A C D 3 题号 8 11 12 13 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 AD D ++…+ 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 14 15 答案 　　 1+2+22+23+24　25k+25k+1+…+25k+4 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n=2时，左边=1-=， 右边==，左边=右边. 等式成立. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立， 即…=. 那么当n=k+1时，有 … ==·==， 即当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，等式对任何n≥2，n∈N+恒成立. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为a1=1，an+1=f(an)， 所以a2=f(a1)=f(1)=， a3=f(a2)=f ==， a4=f(a3)=f==， 猜想an=(n∈N+). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)①易知当n=1时，等式成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，猜想成立，即ak=. 则当n=k+1时，ak+1=f(ak)====， 即当n=k+1时，等式也成立. 由①②知，an=对一切n∈N+都成立. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵对任意n∈N+，都有Sn=+成立， ∴a1=S1=+，解得a1=1， S2=+，即a1+a2=2+，解得a2=2， S3=+，即a1+a2+a3=+，解得a3=3. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)猜想an=n. 证明：①当n=1时，a1=1，显然成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，ak=k成立，则 当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk =+--=+--， ∴ak+1=k+1，即当n=k+1时，等式也成立， 由①②可知，an=n对任意n∈N+都成立. 基础巩固 1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为 A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 当n=1时，2n+2=23， 所以左边=1+2+22+23. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假假设再证 A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为n为正偶数， 所以当n=k时，下一个偶数为k+2. 解析 3.在数列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N+)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为 A.B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=2，a2=，a3=，a4=，…， 可推测an=. 解析 √ 4.已知经过同一点的n(n∈N+，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分.现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n=k到n=k+1时，应证明增加的空间个数为 A.2k B.2k+2 C. D.k2+k+2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当n=3时，这三个平面将空间分成了8部分， 当n=k时，平面将空间分成f(k)个部分，则当再添加1个面时，与其他k个面共有k条交线，这k条交线过同一个点，将该平面分成2k个部分， 每一部分将所在的空间一分为二，故f(k+1)=f(k)+2k，即增加的空间个数为2k. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若等式A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立，则有n=k+1时等式也成立.现知等式对n=n0(n0∈N+)成立，则有 A.等式对所有正整数都成立 B.等式对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.等式对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数 都成立 D.以上说法都不正确 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得当n=n0(n0∈N+)时等式成立， 则有n=n0+1时等式成立. 在n=n0+1时等式成立的前提下， 又可推得n=(n0+1)+1时等式也成立，依此类推，可知选C. 解析 6.已知f(n)=+++…+，则 A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=++ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，所以项数为n2-n+1，f(2)=++. 解析 √ 7.用数学归纳法证明>对任意的n≥k(n，k∈N+)都成立，则k的最小值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 依次检验，易得k的最小值为3. 解析 8.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是____________ _______________. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(k)=12+22+…+(2k)2， f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2， 所以f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2， 即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 解析 f(k+1)=f(k)+ (2k+1)2+(2k+2)2 9.用数学归纳法证明： …=(n≥2，n∈N+). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n=2时，左边=1-=， 右边==，左边=右边. 等式成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立， 即…=. 那么当n=k+1时，有 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … ==· ==， 即当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，等式对任何n≥2，n∈N+恒成立. 证明 10.设a>0，f(x)=，令a1=1，an+1=f(an)，n∈N+. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=1，an+1=f(an)， 所以a2=f(a1)=f(1)=， a3=f(a2)=f ==， a4=f(a3)=f==， 猜想an=(n∈N+). 解 (2)用数学归纳法证明你的结论. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①易知当n=1时，等式成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，猜想成立，即ak=. 则当n=k+1时，ak+1=f(ak)====， 即当n=k+1时，等式也成立. 由①②知，an=对一切n∈N+都成立. 解 11.(多选)已知一个命题p(k)，k=2n(n∈N+)，若当n=1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n=1 001时也成立，则下列判断中正确的是 A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意知p(k)对k=2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立. 解析 12.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3…·(2n-1)(n∈N+)时，将“n=k→n=k+1”两边同乘一个代数式，它是 A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=k时，(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1)；当n=k+1时，(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=2k+1·1·3·…·[2(k+1)-1].通过对比可知，增加了两项(2k+1)，(2k+2)，减少了一项(k+1). 解析 √ 13.已知f(n)=1+++…+(n∈N+)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)-f(2k)=　　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++…+ f(2k+1)=1+++…++++…+=f(2k)+++…+， ∴f(2k+1)-f(2k)=++…+. 解析 14.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+成立，那么a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c， 可得 整理并解得 解析 15.用数学归纳法证明：1+2+22+23+…+25n-1(n∈N+)是31的倍数，当n=1时，原式为　　　　　　，从n=k到n=k+1时需增添的项是　　　　　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1+2+22+23+24 25k+25k+1+…+25k+4 当n=1时，1+2+22+…+25×1-1=1+2+22+23+24； 从n=k到n=k+1时，需增添的项为1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)= 25k+25k+1+…+25k+4. 解析 16.设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有Sn=+成立. (1)求a1，a2，a3； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵对任意n∈N+，都有Sn=+成立， ∴a1=S1=+，解得a1=1， S2=+，即a1+a2=2+，解得a2=2， S3=+，即a1+a2+a3=+，解得a3=3. 解 (2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)猜想an=n. 证明：①当n=1时，a1=1，显然成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，ak=k成立，则 当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk =+--=+--， ∴ak+1=k+1，即当n=k+1时，等式也成立， 由①②可知，an=n对任意n∈N+都成立. 解 第1章　数列 <<< $