1.4 数学归纳法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦数学归纳法核心应用，以题组分层设计构建从基础证明到综合应用的巩固路径，强化推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|等式证明|选择题考查归纳假设步骤，夯实数学归纳法基本流程| |题组二|不等式证明|结合具体案例辨析推理逻辑，提升数学思维严谨性| |题组三|整除问题|填空题与证明题结合，强化代数变形与整除判定应用| |题组四|数列问题|通过归纳-猜想-证明完整链条，培养模型观念与综合应用能力|

*1.4　数学归纳法 基础过关练 题组一　利用数学归纳法证明等式 1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2)为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证(　　) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 2.(2024北京中国人民大学附属中学期中)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是(　　) A.2k+2　　　　　 B.2(k+1)+1 C.(2k+2)+(2k+3)　　　　　 D.[(k+1)+1][2(k+1)+1] 3.(2025甘肃武威期中)用数学归纳法证明×…×=(n≥2,n∈N+). 题组二　利用数学归纳法证明不等式 4.(2025上海高桥中学期中)用数学归纳法证明++…+>1(n∈N+),在验证n=1时,左边的代数式为(　　) A.++　　　　　B.+ C.　　　　　D.1 5.(2024江西宜春丰城东煌学校期中)对于不等式<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即<k+1, 则当n=k+1时, =< ==(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式成立. 则上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n=1时的验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 6.(2025甘肃白银第八中学阶段测试)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n∈N+,n>1)”的过程中,从n=k(k∈N+,k>1)到n=k+1,左边增加的项数为(　　) A.k　　　　　B.2k　　　　　 C.2k-1　　　　　D.2k-1 7.用数学归纳法证明:++…+>1-+-+…+-(n∈N+). 题组三　用数学归纳法解决整除问题 8.(2025甘肃庆阳第一中学阶段练习)若f(n)=1+2+22+23+…+25n-1,用数学归纳法证明1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数(n∈N+),在验证n=1成立时,原式为　　　　　　　　　.  9.用数学归纳法证明:n3+5n(n∈N+)能被6整除. 题组四　归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,且an=Sn-2n-1(n∈N+). (1)求,,; (2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. 11.(2024四川眉山仁寿一中月考)在数列{an}中,a1=,an+1=. (1)求出a2,a3,猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想; (2)令bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn. 答案与分层梯度式解析 第1章　数列 *1.4　数学归纳法 基础过关练 1.B　因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2. 2.C　当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 3.证明　(1)当n=2时,左边=1-=,右边==,等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立, 即×…×=, 那么当n=k+1时, ×…×·=·=·==,即当n=k+1时,等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+,等式恒成立. 4.A　 5.D　在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法. 6.B　由题意知,当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…++++…+,所以从n=k到n=k+1,左边增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k. 7.证明　(1)当n=1时,左边=1,右边=1-=,左边>右边,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即++…+>1-+-+…+-. 则当n=k+1时, ++…++ >1-+-+…+-+ >1-+-+…+-+ =1-+-+…+-+-, 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)(2)知,不等式对任何n∈N+都成立. 8.答案　f(1)=1+2+22+23+24 9.证明　①当n=1时,13+5=6,显然能被6整除,结论成立; ②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即k3+5k能被6整除, 则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6, 因为k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除, 又k3+5k能被6整除,所以当n=k+1时,结论成立. 由①②可知,n3+5n(n∈N+)能被6整除. 10.解析　(1)∵an=Sn-2n-1(n∈N+), ∴当n=1时,a1=S1=S1-1,解得S1=2,则=1; 当n=2时,a2=S2-2=14,解得S2=16,则=4; 当n=3时,a3=S3-S2=S3-22,解得S3=72,则=9. (2)由(1)猜想数列的通项公式为=n2(n∈N+). 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,由(1)可得=1,结论成立. 当n=2时,由(1)可得=4,结论成立. ②假设当n=k(k∈N+,k≥2)时结论成立,即=k2, 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1-2k+1-1, 即Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2-1)·2k, 则Sk+1=(k+1)(k-1)·2k. 因为k≥2,所以Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1, 即=(k+1)2,所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②可知,对任意n∈N+,=n2恒成立.故=n2. 11.解析　(1)∵a1=,an+1=, ∴a2===,a3===, 因此可猜想:an=(n∈N+). 用数学归纳法证明如下:当n=1时,a1==,猜想成立; 假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即ak=, 则当n=k+1时,根据题干有ak+1====,即当n=k+1时,猜想也成立. 综上所述,对任意n∈N+,an=. (2)bn===(n+5)3n-1, 则Tn=6×30+7×31+8×32+…+(n+5)×3n-1①, 3Tn=6×31+7×32+…+(n+4)×3n-1+(n+5)×3n②, ①-②得-2Tn=6+31+32+…+3n-1-(n+5)×3n =-(n+5)×3n+6=×3n+, ∴Tn=×3n-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $