浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期数学强化练习1

2025学年第一学期高三数学强化练习1 班级： 姓名： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） 2．在复平面内，对应的点位于（ ） 3．曲线与坐标轴的交点个数为（ ） 4．已知菱形的边长为，，是的中点，与相交于点，则（ ） 5．将圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点、恰好重合），设圆锥的顶点为，底面的直径为，则（ ） 6．已知、终边不重合，，则（ ） 7．已知直线是曲线（）的一条切线，则的最小值为（ ） 8．设函数，若存在实数，使得，则的最大值为（ ） 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的不得分。 9．已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ） ， 若，则 10．如图所示，直三棱柱中，底面是正三角形，，，为棱上的一个动点，设，则（ ） 三棱锥的体积为 当时，∥平面 当时，到直线的距离为 当时，到平面的距离为 11．加密运算广泛应用在信息传输，统计编码等工程中，加密运算分为基础加密和密钥加密两类对于一 基础加密得到的数据为，，，，通过密钥加密得到的数据为，，，，满足：， ，，，，现有一组数据，，，，，，则（ ） 这组数据的基础算子是 这组数据通过密钥加密得到的新数据的第百分位数是 这组数据通过密钥加密得到的新数据的极差大于通过基础加密得到的新数据的极差 这组数据通过密钥加密得到的新数据的方差大于通过基础加密得到的新数据的方差 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，项的系数为 13．已知公比不为的等比数列的首项，若不等式对任意正整数成立，则数列的公比为 14．设双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，圆是以的实轴为直径的圆，过点作的切线，与的左、右支分别交于、两点，且，则的离心率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，已知 （1）求； （2）若的周长为，，求的面积 （分） 已知为数列的前项和，满足 （1）设，证明：； （2）对任意的正整数，令，求数列的前项和 （分） 如图所示，在四棱锥中，∥，，，平面平面， 点为的中点． （1）证明：； （2）若，与平面所成角的正弦值为， 求四棱锥的体积 （分） 已知椭圆（）的上顶点为，右顶点为，直线 （）与椭圆相交于点、（构成凸四边形） （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值； （3）用含的代数式表示凸四边形的面积，并求的最大值 （分） 已知函数有一个零点，有一个零点 （1）比较与的大小； （2）当时，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 答案 [单项选择题解析] 8．【解析】 设，则，即，得， 考虑方程， ①当时，解得， 由韦达定理，此时， 需要满足无解， 即，解得， 又，得 ②当时，， 综上所述，的取值范围是 [多项选择题解析] 11．【解析】 计算可得，基础算子，密钥算子， 数据通过基础加密到的新数据为，，，，，， 数据通过密钥加密到的新数据为，，，，， [填空题解析] 12． 13． 14． 14．【解析】 设直线l与圆C的切点为，则，， 由，得， 过点作于点Q，则∥， 由O为的中点，得，， 因为，为锐角，所以， 有，得， 所以， 由双曲线的定义知，，即，解得， 又，所以，所以双曲线的离心率为    [解答题解析] 【解析】 （1）由正弦定理，可知， 可知，， （2）由题意，，，则，， 由余弦定理，， 解得，则的面积 【解析】 （1）当时，，解得 当时，， ， 做差可得， 即证 （2）又，可知， 因此，， 所以 【解析】 （1）因为，，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以 （2）取，的中点分别为、，连接，， 则∥，因为，所以， 而平面，所以平面， 因为，，所以， 以为坐标原点，分别以直线、、所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 设，则，，，， 故，可取为平面的一个法向量， 由与平面所成角的正弦值为， 可得，解得 设为平面的一个法向量，，， 则，即，令，则， 又，故B到平面的距离为， 所以四棱锥的体积 【解析】 （1）由题意，，，椭圆 （2）联立直线与椭圆：，设，， 有韦达定理：， 则 ，为定值 （3）联立直线与椭圆：， 则 （方法一）设（）， 则， 当且仅当时同时取等，即当时，的最大值为 （方法二）设，， ，设， 当时，； 当时，注意到函数单调递减，函数单调递增， 可知单调递减，又， 可知当时，，当时时，， 因此，即的最大值为 【解析】 （1）函数的定义域为，， 要比较与的大小，即比较与的大小 由题意，，则， 又，， 当时，； 当时，，， 此时，； 当时，，， 此时， （2）由（1）可知，， ，可知，， 则， 设，则 ，可知在上单调递减，在上单调递增， 当时，由（1）可知，， ，可知，， 此时，， 又，则， 在上单调递增，因此成立； 当时，由（1）可知，， ，可知，， 此时，， 又，则， 在上单调递减，因此成立 综上可知成立 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $