第2章章末小结导学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

第2章章末小结

【知识导图】

【题型突破】

不等式性质的应用

例1　(多选题)设a>b>0，c≠0，则(　 　).

A.ac2<bc2 B.<

C.a2->b2- D.a2+>b2+

　不等式是否成立要依据其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，符合题意的不一定对，不符合题意的一定错，故特例只能否定选项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.

利用基本不等式求最值

例2　(1)(-6<a<3)的最大值为(　 　).

A.9 B. C.3 D.

(2)若x>0时，ax+的最小值为5，则正实数a=　　　　. 

(3)设a>0，x+(x>-2)的最小值为6，则a=　　　　. 

　基本不等式的关注点

(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.

(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.

解一元二次不等式

例3　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=(　 　).

A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2}

C.{-2} D.{2}

(2)不等式<0的解集为　　　　. 

　本题(1)考查的是有关集合的问题，涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算；本题(2)考查简单分式不等式的解法.解题过程渗透了数学运算和逻辑推理的核心素养.

含参数的一元二次不等式的解法

例4　求关于x的不等式>1的解集.

 

 

 

 

　解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.若含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

不等式恒成立问题

例5　已知不等式mx2-mx-1<0，当1≤x≤3时，该不等式恒成立，求实数m的取值范围.

 

 

 

 

　对于不等式恒成立求参数范围的问题，常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断.

不等式在实际问题中的应用

例6　某企业有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加竞争力，企业决定优化产业结构，从原有的员工中调整出x(x∈N+)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-0.8x%)(a>0)万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业?

(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少?

 

 

 

 

 

 

　解决实际问题的步骤

(1)准确审题，初步建模；

(2)设出变量，列出函数关系式；

(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.

【拓展延伸】

融入不等式中的数学文化

数学文化是人类从历史、运用、欣赏等角度对数学进行的思考，它比知识更能直接地、深刻地揭示数学的本质及价值.多角度地呈现数学文化的价值，不停留在只把数学当作冷冰冰的纯知识，而是将数学融入整个文化元素中去积极思考，主动探究，从而感悟数学的魅力所在.本文借助典型实例揭示融入不等式中的数学