2.3.1 课时2 一元二次不等式及其解法（二） 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

2.3.1　课时2　一元二次不等式及其解法(二) 【学习目标】 1.会解简单的分式不等式.(数学运算) 2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系? 2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件? 3.不等式 <0与(x-3)(x+2)<0的解集相同吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　 　) (2)若a<0，则一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要条件是Δ=b2-4ac≥0. (　 　) 2.不等式≥0的解集为　　　　.  3.已知关于x的不等式x2+x+k>0恒成立，则实数k的取值范围为　　　　.  【合作探究】 探究1　分式不等式的解法 问题：>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将>0变形为(x-3)(x+2)>0，有什么好处? 1.解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，再注意含等号的分式不等式的分母不为零. 2.分式不等式的4种形式及解题思路 令y1=a1x+b1，y2=a2x+b2， (1)>0⇔y1y2>0； (2)<0⇔y1y2<0； (3)≥0⇔y1y2≥0且y2≠0⇔y1y2>0或y1=0； (4)≤0⇔y1y2≤0且y2≠0⇔y1y2<0或y1=0. 3.不等式与不等式组的等价关系 (1)y1y2≥0⇔或 (2)y1y2≤0⇔或 (3)y1y2>0⇔或 (4)y1y2<0⇔或 例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. 【方法总结】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后用上述方法求解. 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 探究2　不等式恒成立问题 问题1：若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的? 问题2：若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，则a，b，c应满足什么关系? 一般地，“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集. 令y=ax2+bx+c，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题，即k≥y恒成立⇔k≥ymax；k≤y恒成立⇔k≤ymin. 例2　已知对任意的x∈R，关于x的不等式mx2-mx-1<0恒成立，求实数m的取值范围. 【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解. 若关于x的不等式kx2+3kx+k-2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　 　). A.k-≤k<0 B.k-≤k<0 C.k-≤k≤0 D.k-≤k≤0 探究3　一元二次不等式在给定区间上的恒(能)成立问题 例3　(1)当1≤x≤2时，关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. (2)当1<x<2时，关于x的不等式x2+mx+4>0有解，求实数m的取值范围. 【方法总结】结合函数的图象将问题转化为对函数图象的对称轴、端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系的求解.也可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. 已知函数y=x2+mx-1. (1)若对任意的x∈[m，m+1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的不等式x2+mx-1≤有解，求实数m的取值范围. 【随堂检测】 1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B=，则A∩B=(　 　). A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1} 2.不等式≥1的解集是(　 　). A.x≤x≤2 B.x≤x<2 C.xx>2或x≤ D.xx≥ 3.若不等式x2-2x+a-8≤0对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  4.若不等式ax2+2x+2>0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案 2.3.1　课时2　一元二次不等式及其解法(二) 自主预习 预学忆思 1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac的三种取值情况来确定.当Δ>0时，二次函数图象与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数图象与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数图象与x轴无交点. 2.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R，则解得a∈⌀，所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R. 3.相同. 自学检测 1.(1)×　(2)√ 2.{x|-1≤x<1}　【解析】≥0⇔解得-1≤x<1. 3.kk>　【解析】由题意知Δ<0，即1-4k<0， 得k>，即实数k的取值范围为kk>. 合作探究 探究1　情境设置 问题：等价，好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式. 新知运用 例1　【解析】(1)<0⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4<x<， ∴原不等式的解集为. (2)∵≤1，∴-1≤0， ∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0，解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. 巩固训练　【解析】(1)不等式≥0可转化成不等式组解得x≤-1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)由<3，得-3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0， 解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 探究2　情境设置 问题1：二次函数y=ax2+bx+c的图象有两种情况，如图所示. 问题2：a<0且Δ=b2-4ac≤0. 新知运用 例2　【解析】 由题意知不等式mx2-mx-1<0(x∈R)恒成立， 若m=0，显然-1<0，满足题意； 若m≠0，则即-4<m<0. 综上所述，实数m的取值范围为-4<m≤0. 巩固训练　D　【解析】当k=0时，-2≤0恒成立，符合题意； 当k≠0时，有k<0且9k2-4k(k-2)=5k2+8k≤0，解得-≤k<0. 综上，-≤k≤0. 探究3 例3　【解析】(1)令y=x2+mx+4.∵当1≤x≤2时，y<0恒成立， ∴关于x的方程x2+mx+4=0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，得解得m<-5， 故实数m的取值范围是(-∞，-5). (2)当1<x<2时，关于x的不等式x2+mx+4>0有解的反面为 当1<x<2时，不等式x2+mx+4≤0恒成立， ∴解得m≤-5. ∴当1<x<2时，不等式x2+mx+4>0有解的m的取值范围为(-5，+∞). 巩固训练　【解析】(1)由题意得即解得-<m<0， 所以实数m的取值范围是-，0. (2)(法一)由题意得≥(x2+mx-1)min=-2+m--1=--1，解得m≤-4或m≥-1，所以实数m的取值范围是(-∞，-4]∪[-1，+∞). (法二)由题意得x2+mx-1-≤0有解，所以Δ≥0，即m2+5m+4≥0，解得m≤-4或m≥-1，所以实数m的取值范围是(-∞，-4]∪[-1，+∞). 随堂检测 1.B　【解析】由题意得A={x|-1≤x≤1}，B={x|0<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤1}. 2.B　【解析】对不等式≥1， 移项得-1≥0， 即≤0，可化为 解得≤x<2， 则原不等式的解集为x≤x<2.故选B. 3.{a|a≤5}　【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0可转化为a≤-x2+2x+8，其对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y=-x2+2x+8，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5，所以a≤5. 4.【解析】若a=0，显然2x+2>0不能对任意x∈R都成立. 所以a≠0，故只有当二次函数y=ax2+2x+2的图象与x轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得a>. 故实数a的取值范围是aa>. 学科网（北京）股份有限公司 $