2.1.2 基本不等式 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

2.1.2　基本不等式 【学习目标】 1.通过具体实例抽象出基本不等式的内容，能理解及证明基本不等式.(数学抽象、逻辑推理) 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算) 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理) 【自主预习】 1.如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式? 2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的条件是否相同?若不同，请举例说明. 3.基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab. (　 　) (2)当n∈N+时，n+>2. (　 　) (3)当x≠0时，x+≥2. (　 　) 2.已知a≠0，则下列不等式正确的是(　 　). A.a+≥2　　　　　B.(-a)+-≤-2 C.a2+≥2 D.(-a)2+-2≤-2 3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为　　　　.  4.已知a，b，c都是正数，求证：a+b+c---≥0. 【合作探究】 探究1　基本不等式的证明与理解 问题1：如图，这是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出了什么样的结论吗? 问题2：现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论? 问题3：问题2中得到的结论是否对所有的a>0，b>0都成立?请给出证明. 定理：对任意a，b∈R，a2+b2≥　　　　，当且仅当a=b时等号成立.  推论：对任意正数a，b，≥，当且仅当a=b时等号成立. 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.把不等式≥(a>0，b>0)称为基本不等式. 注意点：不等式a2+b2≥2ab与≥的适用范围和等号成立的条件. 例1　“0<a<b”是“<”的(　 　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【方法总结】对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义：当a=b时，≤的等号成立，即a=b⇒=；仅当a=b时，≥的等号成立，即=⇒a=b. (多选题)下列不等式恒成立的是(　 　). A.a2+9≥6a B.若a≠0，则a+≥2 C.若+≥2，则a>0，b>0 D.若a>0，b>0，则ab≤2 探究2　利用基本不等式求最值 例2　(1)已知0<x<1，则当x(4-3x)取得最大值时x的值为　　　　.  (2)已知x>2，则x+的最小值为　　　　.  【方法总结】在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项符号均为正；二是恰当变形，合理拆分项或配凑因式；三是考虑等号成立的条件是否具备.三点缺一不可. (1)若0<x<4，则有(　 　). A.最小值0 B.最大值2 C.最大值2 D.不能确定 (2)已知t>0，则函数y=的最小值为　　　　.  探究3　利用基本不等式证明 例3　已知a，b，c>0，求证：++≥a+b+c. 【方法总结】利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中需证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中含有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，证明：++≥9. 【随堂检测】 1.若0<a<b，则下列不等式正确的是(　 　). A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 2.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　 　). A.x+≥2 B.x+≤-2 C.≥ D.≥2 3.已知0<x<1，则函数y=x(1-x)的最大值为　　　　.  4.(1)已知x>0，求4x+的最小值； (2)已知x>0，求2-3x-的最大值； (3)已知x<，求4x-2+的最大值. 参考答案 2.1.2　基本不等式 自主预习 预学忆思 1.a+b≥2. 2.成立的条件不同，前者成立的条件是a与b都为实数；而后者成立的条件是a与b都为非负数.例如，(-1)2+(-2)2≥2×(-1)×(-2)是成立的，而≥是不成立的. 3.可以. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)× 2.C　【解析】当a<0时，a+<0，(-a)+->0，故A，B错误. 当a≠0时，由基本不等式的性质可得a2+≥2，(-a)2+-2≥2，故C正确，D错误. 3.x>2y　【解析】因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以x-2y>0，即x>2y. 4.【解析】∵a，b，c都是正数， ∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2， ∴a+b+b+c+a+c≥2(++)， ∴a+b+c≥++， 即a+b+c---≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：正方形的边长AB=，故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 问题2：用，分别替换上式中的a，b，可得到a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤. 问题3：(法一：作差法)-===≥0， 即≥，当且仅当a=b时，等号成立. (法二：几何法)如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=，由于CD小于或等于圆的半径，故≤. 新知生成 2ab 新知运用 例1　A　【解析】a>0，b>0时，≥，当且仅当a=b时，等号成立， ∴当b>a>0时，>成立， 当>时，有a≠b，但a与b的大小关系不确定，故不能推出0<a<b. 巩固训练　AD　【解析】a2+9=a2+32≥2·a·3=6a，故A正确； 当a<0时，a+<0，故B不正确； 当a=b=-1时，+≥2，故C不正确； 当a>0，b>0时，≥，两边平方即得ab≤2，故D正确. 探究2 例2　(1)　(2)6　【解析】(1)∵0<x<1，∴4-3x>0，∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤2=， 当且仅当3x=4-3x，即x=时，等号成立，故x=. (2)∵x>2，∴x-2>0，∴x+=(x-2)++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=，即x=4时，等号成立. 巩固训练　(1)C　(2)-2　【解析】(1)由基本不等式，得=·≤·=2，当且仅当x=4-x，即x=2时，等号成立，故有最大值2. (2)由基本不等式，得y=t+-4≥2-4=-2， 当且仅当t=1时，等号成立. 探究3 例3　【解析】∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，∴+++a+b+c≥2a+2b+2c，故++≥a+b+c，当且仅当a=b=c时，等号成立. 巩固训练　【解析】++=++ =3+++ ≥3+2+2+2 =3+2+2+2=9， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 随堂检测 1.B　【解析】(法一)∵0<a<b，∴由基本不等式可知a<<<b. (法二)取a=2，b=8，则=4，=5，∴a<<<b.故选B. 2.D　【解析】因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x+≥2，当x<0时，-x>0，所以x+=--x+≤-2，所以A，B都错误；又因为x2+1≥2|x|，所以≤，所以C错误.故选D. 3.　【解析】∵0<x<1，∴0<1-x<1， ∴x(1-x)≤2=， 当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立. 4.【解析】(1)因为x>0，所以4x+≥2=4，当且仅当4x=，即x=时，等号成立.故4x+的最小值为4. (2)因为x>0，所以2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立.故2-3x-的最大值为2-4. (3)因为x<，所以5-4x>0， 所以4x-2+=-5-4x++3≤-2+3=1，当且仅当5-4x=，即x=1时，等号成立.故4x-2+的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $