1.2.3 课时2 含量词命题的否定 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

1.2.3　课时2　含量词命题的否定 【学习目标】 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象) 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(逻辑推理) 【自主预习】 1.回忆命题的否定的表述. 2.写出命题“若α=，则tan α=1”的否定. 3.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题的否定形式是唯一的. (　 　) (2)命题􀱑p的否定是p. (　 　) (3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，􀱑p(x)的真假性相反. (　 　) 2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是　　　　.  3.已知命题p：∀x>2，x-2>0，则􀱑p是　　　　.  【合作探究】 探究1　含有量词命题的否定 问题1：写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x+|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 问题2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 1.含有一个量词的命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) 　　　　　　  全称量词命题的否定是　　　　量词命题  存在量词命题∃x∈M，p(x) 　　　　　　  存在量词命题的否定是　　　　量词命题  2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 例1　写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x-2≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2+2x+3≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3+1=0. 【方法总结】写含量词命题的否定的方法：(1)一般地，写含量词命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，将命题改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假. (1)存在某个整数a，使得a2=a； (2)任意实数都可以写成平方和的形式； (3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数； (4)∀m>0，方程x2+x-m=0有实数根； (5)∃m>0，方程x2+x+m=0有实数根. 探究2　根据命题的否定求参数 例2　若命题“∀x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  【方法总结】根据命题的真假求参数的取值范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化. (2)求参数的取值范围问题，通常是根据有关全称量词命题或存在量词命题的意义列不等式求解. 已知命题p：∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且¬p是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  【随堂检测】 1.命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　 　). A.∀x∉R，x2≠x B.∀x∈R，x2=x C.∃x∉R，x2≠x D.∃x∈R，x2=x 2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　 　). A.对任意实数x，都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 3.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.  4.命题p：∀x∈R，x2-2x-3≥0的否定¬p是　　　　　　　，¬p是一个　　　　(填“真”或“假”)命题.  参考答案 1.2.3　课时2　含量词命题的否定 自主预习 预学忆思 1.如果p是一个命题，那么“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作􀱑p，读作“非p”，显然p也是¬p的否定，在p和¬p两者之中，一定有一个为真，有一个为假. 2.若α=，则tan α≠1. 3.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 自学检测 (1)×　(2)√　(3)√ 2.对任意的x∈R，2x>0　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.∃x>2，x-2≤0 合作探究 探究1　情境设置 问题1：上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式.命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x+|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 问题2：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式.命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说，∀x∈R，x2-2x+3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 新知生成 1.∃x∈M，¬p(x)　存在　∀x∈M，¬p(x)　全称 新知运用 例1　【解析】(1)¬p：∃x∈R，x-2<0. 因为∀x∈R，x-2≥0恒成立，所以¬p是假命题. (2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形. 因为所有的正方形都是矩形，所以¬q是假命题. (3)¬r：∀x∈R，x2+2x+3>0. 因为∀x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立，所以¬r是真命题. (4)¬s：∀x∈R，x3+1≠0. 因为当x=-1时，x3+1=0， 所以¬s是假命题. 巩固训练　【解析】(1)对于任意的整数a，都有a2≠a；假命题. (2)存在实数不可以写成平方和的形式；真命题. (3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数；假命题. (4)∃m>0，方程x2+x-m=0没有实数根；假命题. (5)∀m>0，方程x2+x+m=0没有实数根；假命题. 探究2 例2　{a|a≤4}　【解析】∵命题“∀x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题， ∴“∃x∈R，x2-4x+a=0”是真命题， ∴方程x2-4x+a=0有实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4. 巩固训练　{a|-3≤a≤1}　【解析】因为􀱑p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}， 所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}， 则 解得-3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. 随堂检测 1.D　【解析】此全称量词命题的否定为“∃x∈R，x2=x”.故选D. 2.C　【解析】“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C. 3.{a|a≤1}　【解析】∵命题p的否定是假命题，∴p是真命题，即“存在x∈R，x2+2x+a=0”为真命题，∴Δ=4-4a≥0，∴a≤1. 4.∃x∈R，x2-2x-3<0　真　【解析】命题p是一个全称量词命题，其否定形式为“∃x∈R，x2-2x-3<0”.因为x2-2x-3<0有解，所以¬p为真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $