1.2.3 课时1 含有量词的命题 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学学案聚焦“含有量词的命题”核心知识点，涵盖全称量词与存在量词的定义、命题识别及真假判断。通过自主预习的预学问题引导学生回顾常见量词，结合自学检测题衔接已有命题知识，以探究问题、例题解析和巩固训练为支架，为后续逻辑推理学习奠定基础。 资料突出数学抽象与逻辑推理素养，自主预习与合作探究紧密结合，例题从基础判断到参数取值分层设计，方法总结明确真假判断及含参问题思路，帮助学生形成严谨思维，习题覆盖选择、填空等题型，有效提升知识应用能力，助力高效课堂学习。

1.2.3　课时1　含有量词的命题 【学习目标】 1.理解全称量词和全称量词命题的定义.(数学抽象) 2.理解存在量词和存在量词命题的定义.(数学抽象) 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(逻辑推理) 【自主预习】 1.常见的全称量词有哪些?如何表示?全称量词命题的定义是什么? 2.常见的存在量词有哪些?如何表示? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. (　 　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. (　 　) (3)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可省略. (　 　) (4)全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题. (　 　) 2.下列全称量词命题为真命题的是(　 　). A.所有的质数是奇数 B.∀x∈R，x2+1≥1 C.对每一个无理数x，x2也是无理数 D.所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 3.下列命题是假命题的是(　 　). A.∀x∈R，|x|≥0 B.∀x∈N+，(x-1)2>0 C.∃x∈R，x+2 024<1 D.∃x∈R，2x>2 4.下列命题中，是全称量词命题的是　　　　；是存在量词命题的是　　　　.  ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数. 【合作探究】 探究1　含有量词的命题 问题1：命题p：任何一个实数除以1都等于这个数；q：等边三角形的三边都相等.它们各使用了什么量词? 问题2：下列命题使用了什么量词? p：存在实数x，使x2-3>0； q：有的实数既不是质数也不是合数. 1.量词 “每一个”和“有一个”等叫作量词. 2.全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等叫作全称量词，用符号“　　　　”表示.  3.存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等叫作存在量词，用符号“　　　　”表示.  4.全称量词命题 语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题.可用符号简记为“　　　　　　　　”.  5.存在量词命题 语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作存在量词命题.可用符号简记为“　　　　　　　　”.  例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a-b|=|a|+|b|. 【方法总结】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. 指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)所有实数x都能使|x|+1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax+b=0恰有一个解； (3)存在整数x，y，使得3x-2y=10成立； (4)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于1. 探究2　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 问题：命题“车间今天生产的零件都合格”是真命题还是假命题?如何判断呢? 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 1.对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”： (1)要证明它是真命题，需对集合M中的　　　　，证明p(x)成立；  (2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到　　　　，使p(x0)不成立即可.(通常举反例)  2.对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”： (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到　　　　，使p(x0)成立即可.(通常举正例)  (2)要判断它是假命题，需对集合M中　　　　，证明p(x)不成立.  例2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x+1是奇数； (2)存在一个x∈R，使=0； (3)对任意实数a，|a|>0； (4)有一个角α，使sin α=. 判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)∀x∈N，x2>0. 探究3　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围 例3　(1)已知集合A={x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y=x+m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.  (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.  【方法总结】利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 已知命题p：∀x∈R，mx2≥0是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.  若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.  【随堂检测】 1.(多选题)下列量词是全称量词的是(　 　). A.任意一个 B.所有的 C.每一个 D.很多 2.(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则(　　). A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 3.(多选题)下列命题是全称量词命题并且是真命题的是(　 　). A.∀x∈R，x2-x+1≥0 B.∃x∈Z，y∈Z，2x+4y=3 C.菱形的对角线互相垂直 D.每个正方形都是轴对称图形 4.若对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  参考答案 1.2.3　课时1　含有量词的命题 自主预习 预学忆思 1.常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等，用符号“∀”表示.设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题. 2.常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“某一个”“有的”等，用符号“∃”表示. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.B　【解析】A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2+1≥1，B正确；C中，x=是无理数，x2=2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确.故选B. 3.B　【解析】当x=1时，(x-1)2=0，所以B项为假命题.故选B. 4.①②③　④　【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”. 问题2：命题p使用了存在量词“存在”，命题q使用了存在量词“有的”. 新知生成 2.∀ 3.∃ 4.∀x∈M，p(x) 5.∃x∈M，p(x) 新知运用 例1　【解析】(1)该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”， 故为全称量词命题. (2)该语句可以改为“所有矩形的对角线都不相等”， 故为全称量词命题. (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形， 故为全称量词命题. (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题. 巩固训练　【解析】(1)“所有”是全称量词；表示：∀x∈R，|x|+1>0. (2)“所有”是全称量词；表示：∀a，b∈R，方程ax+b=0恰有一个解. (3)“存在”是存在量词；表示：∃x，y∈Z，3x-2y=10. (4)“存在”是存在量词；表示：∃m∈R，m+=1. 探究2　情境设置 问题：如果生产的每一个零件都是合格的，那么这个命题就是真命题；只要有一个零件不合格，这个命题就是假命题. 新知生成 1.(1)每一个元素x　(2)一个元素x0 2.(1)一个元素x0　(2)每一个元素x 新知运用 例2　【解析】(1)是全称量词命题.因为∀x∈N，2x+1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使=0成立，所以该命题是假命题. (3)是全称量词命题.因为|0|=0，所以|a|>0不恒成立，所以该命题是假命题. (4)是存在量词命题.因为当α=30°时，sin α=，所以该命题是真命题. 巩固训练　【解析】(1)因为-1∈Z，且(-1)3=-1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)因为0∈N，02=0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 探究3 例3　(1){m|m>-1}　(2){a|a≥-1}　【解析】(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m，因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，所以1+m>0，即m>-1，所以实数m的取值范围是{m|m>-1}. (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根，当a=0时，方程为2x-1=0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0.综上，实数a的取值范围是{a|a≥-1}. 巩固训练1　{m|m≥0}　【解析】当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0. 巩固训练2　{m|m≤5}　【解析】当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题. 随堂检测 1.ABC　【解析】很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词.故选ABC. 2.B　【解析】取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，􀱑p是真命题； 取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，􀱑q是假命题. 综上，􀱑p和q都是真命题，故选B. 3.ACD　【解析】对于A，∀x∈R，x2-x+1=x-2+≥>0，是真命题，是全称量词命题，故A正确； 对于B，∃x∈Z，y∈Z，2x+4y=3，是存在量词命题，故B错误； 对于C，根据菱形的性质知菱形的对角线互相垂直，是真命题，是全称量词命题，故C正确； 对于D，每个正方形都是轴对称图形，是全称量词命题，是真命题，故D正确. 故选ACD. 4.{a|a≤8}　【解析】∵对任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8. 学科网（北京）股份有限公司 $