1.2.1 命题 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

1.2.1　命题 【学习目标】 1.理解命题的概念，掌握命题的判断，熟悉命题的结构，能判断命题的真假.(数学抽象、逻辑推理) 2.了解命题的否定，会根据命题的真假求解参数.(逻辑推理) 【自主预习】 1.在初中我们已经学过命题的概念，什么是命题呢? 2.“人类可以在月球上居住”是命题吗? 3.“若p，则q”的命题中，谁是条件，谁是结论? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题. (　 　) (2)一个命题不是真命题就是假命题. (　 　) (3)“一条直线有且只有一条垂线”是假命题. (　 　) 2.下列语句是命题的有(　 　). ①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20. A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 3.命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是　　　　　　　　　　　.  4.判断下列语句是否为命题，并说明理由. (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形. (2)任何集合都是它自己的子集. (3)对顶角相等吗? (4)x>3. 【合作探究】 探究1　命题 观察下列语句的特点： (1)这幅画真漂亮! (2)求证是无理数. (3)菱形是平行四边形吗? (4)等腰三角形的两底角相等. (5)x>2 022. (6)若x2=2 0222，则x=2 022. 问题1：在这些语句中哪些是陈述句?在陈述句中哪些能判断出真假? 问题2：如果一个语句是命题，那么它必须具备什么条件? 问题3：数学中的定义、定理、公理、公式等是否是命题?它们是真命题还是假命题? 1.命题的概念 可以　　　　的陈述句叫作命题.  2.命题的分类 (1)真命题：　　　　的命题叫作真命题.  (2)假命题：　　　　的命题叫作假命题.  (3)猜想：　　　 　　　的命题可以叫作猜想.  例1　判断下列语句是否为命题.若是命题，则判断其真假. (1)是无限循环小数. (2)x2-3x+2=0. (3)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (4)当x=4时，2x+1>0. (5)把门关上. 【方法总结】判断命题真假的策略：(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可. 下列命题： ①若xy=1，则x，y互为倒数； ②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是　　　　.  探究2　命题的否定 问题：“0是自然数”与“0不是自然数”这两个命题有什么区别与联系? 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”. 注意点： (1)p也是¬p的否定，p与¬p互为否定. (2)命题p与¬p一定有一个为真命题，一个为假命题. (3)若判断命题p的真假有难度，可以先判断􀱑p的真假. 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：实数的平方是非负数. (2)p：质数都是奇数. (3)p：方程x2+x+2=0有实数根. (4)p：菱形的对角线互相垂直且平分. 【方法总结】(1)写命题的否定¬p时，要注意一些常见词语的否定.如“都是”的否定是“不都是”，“全”的否定是“不全”，“且”的否定是“或”等. (2)判断命题p或¬p的真假性时，若其中一个命题的真假性不好判断，则可先判断其否定的真假性，再利用p与¬p的真假性相反，判断另一个命题的真假性. 写出下列命题的否定，并判断否命题的真假性. (1)p：两个奇数的和是奇数. (2)p：集合A∩B一定是集合A∪B的子集. (3)p：圆的内接四边形的对角互补. (4)p：面积相等的三角形都全等. 探究3　命题的条件与结论、逆命题 问题：命题p：若a>b，则a2>b2.命题q：若a2>b2，则a>b.这两个命题有什么关系?真假性相同吗? 1.如果将命题写成“若p，则q”的形式，就将p叫作命题的　　　　，q叫作命题的　　　　.当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q，读作“p推出q”；当命题“若p，则q”为假，则记作p⇒/ q，读作“p 推不出q”.  2.如果两个命题的条件和结论互换位置，就称一个命题是另一个命题的　　　　.  注意点： (1)若命题p是命题q的逆命题，那么命题q也是命题p的逆命题. (2)两个命题互为逆命题，它们的真假性无关联. 例3　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题. (1)当ac>bc时，a>b； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等. 【方法总结】写命题的逆命题时，若命题不是以“若p，则q”这种形式出现，首先要确定该命题的条件p和结论q，然后将命题改写成“若p，则q”的形式，再交换条件与结论的位置得到逆命题. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假性. (1)若x=-2，则x2-x-6=0； (2)若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0； (3)平行四边形的对角线互相平分. 【随堂检测】 1.“红豆生南国，春来发几枝?愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是(　 　). A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 2.(多选题)下列命题中，为真命题的是(　 　). A.梯形ABCD的内角和是360° B.若x，y互为倒数，则xy=1 C.若a是有理数，则a2+1≥1 D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 3.已知a，b，c，d是实数，则命题“若a=b，c=d，则a+c=b+d”的否定为　　　　　　　　，逆命题为　　　　　　　.  4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. (1)3是12和18的公约数； (2)当a>-1时，方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知x，y为非零自然数，当y-x=2时，y=4，x=2. 参考答案 1.2.1　命题 自主预习 预学忆思 1.能判断真假的语句叫命题. 2.它是猜想，是暂时不能判断真假的命题. 3.p是条件，q是结论. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)√ 2.B　【解析】①④是命题，且都是假命题. 3.在△ABC中，若A>B，则a≤b. 4.【解析】(1)是陈述句，能判断真假，是命题. (2)是陈述句，能判断真假，是命题. (3)不是陈述句，不是命题. (4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：(2)(4)(5)(6)是陈述句.其中(4)(6)能判断真假. 问题2：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立. 问题3：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题. 新知生成 1.判断成立或不成立 2.(1)成立　(2)不成立　(3)暂时不知道真假 新知运用 例1　【解析】(1)能判断真假，是命题，且是假命题. (2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假. (3)不是陈述句，不是命题. (4)能判断真假，是命题，且是真命题. (5)因为没有作出判断，所以不是命题. 巩固训练　①④　【解析】①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 探究2　情境设置 问题：“0是自然数”是一个真命题，“0不是自然数”是一个假命题.它们说的是同一事件的正反两方面. 新知运用 例2　【解析】(1)¬p：实数的平方不都是非负数.假命题. (2)¬p：质数不都是奇数.因为2是质数，但2是偶数，所以􀱑p为真命题. (3)¬p：方程x2+x+2=0没有实数根.真命题. (4)¬p：菱形的对角线不互相垂直或平分.假命题. 巩固训练　【解析】(1)¬p：两个奇数的和不是奇数.真命题. (2)¬p：集合A∩B不一定是集合A∪B的子集.假命题. (3)¬p：圆的内接四边形的对角不互补.假命题. (4)¬p：面积相等的三角形不都全等.真命题. 探究3　情境设置 问题：命题p的条件是命题q的结论，命题p的结论是命题q的条件.p与q的真假性相同，p，q都为假命题. 新知生成 1.条件　结论 2.逆命题 新知运用 例3　【解析】(1)若ac>bc，则a>b； 逆命题：若a>b，则ac>bc. (2)若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除. (3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上. 巩固训练　【解析】(1)逆命题：若x2-x-6=0，则x=-2.原命题为真命题，逆命题为假命题. (2)逆命题：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0.原命题、逆命题都是真命题. (3)逆命题：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.原命题、逆命题都是真命题. 随堂检测 1.A　【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题.“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.故选A. 2.ABC　【解析】对于A，因为四边形内角和为360°，所以A为真命题； 对于B，因为互为倒数的两个数的乘积为1，所以B为真命题； 对于C，因为a2≥0，所以a2+1≥1，所以C为真命题； 对于D，因为菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，所以D为假命题. 故选ABC. 3.若a=b，c=d，则a+c≠b+d　若a+c=b+d，则a=b，c=d 4.【解析】(1)若一个数是3，则它是12和18的公约数，是真命题. (2)若a>-1，则方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根，是假命题. (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题. (4)已知x，y为非零自然数，若y-x=2，则y=4，x=2，是假命题. 学科网（北京）股份有限公司 $