1.1.3 集合的交与并 学案-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学学案聚焦集合的交集与并集核心知识点，通过生活情境（如买水果、运动会报名）导入，衔接集合基本概念，构建从具体到抽象的学习支架，为后续补集运算奠定基础。 资料特色在于情境化与直观化结合，利用Venn图和数轴辅助理解，培养数学抽象与直观想象素养。合作探究问题链引导主动推理，分层习题（判断、应用、变式）强化数学运算，有效提升逻辑思维与知识应用能力。

1.1.3　集合的交与并 【学习目标】 1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.(数学抽象、数学运算) 2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象、数学运算) 3.掌握交集与并集的相关性质并会应用.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.两个集合的交集与并集的含义是什么? 2.如何用Venn图表示集合的交集和并集? 3.交集和并集有哪些性质? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素. (　 　) (2)若A∪B=A，B≠∅，则B中的每个元素都属于集合A. (　 　) (3)并集定义中的“或”能改为“和”. (　 　) (4)若A∩B=C∩B，则A=C. (　 　) 2.已知集合P={x|x<3}，Q={x|-1≤x≤4}，那么P∪Q=(　 　). A.{x|-1≤x<3}　　　　　　　B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1} 3.若集合A={x|-3<x<4}，B={x|x>2}，C={x|x≤-3}，则A∩B=　　　　，A∩C=　　　　.  4.已知集合M={x|2x-4=0}，集合N={x|x2-3x+m=0}.若M∩N=M，则实数m的值为　　　　.  【合作探究】 探究1　两个集合的交 妈妈去超市买水果，洋洋喜欢吃葡萄、圣女果、苹果、橙子、枇杷，哥哥喜欢吃圣女果、香梨、苹果、樱桃. 问题1：妈妈哪些水果要多买一些? 问题2：若将洋洋喜欢吃的水果构成的集合记为A，哥哥喜欢吃的水果构成的集合记为B，两人都喜欢吃的水果构成的集合记为C，如何表达这三个集合之间的关系? 问题3：如何用Venn图表示上述三个集合的关系? 交集的概念 1.自然语言：把所有既属于集合A　　　　属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).  2.符号语言：A∩B=　　　　.  3.图形语言： 例1　(1)设集合M={m∈Z|-3<m<2}，N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N=(　 　). A.{0，1}　 B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2} (2)已知集合A={(x，y)|y=2x2-x}，B={(x，y)|y=2(x+1)}，则A∩B=　　　　　　.  【方法总结】1.离散型集合交集的运算，多借助定义或Venn图求解. 2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解A∩B，取它们的公共部分.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示. 已知M={(x，y)|x+y=2}，N={(x，y)|x-y=4}，则M∩N=(　 　). A.x=3，y=-1 B.(3，-1) C.{3，-1} D.{(3，-1)} 已知A=(1，6)，B=(4，8)，则A∩B=　　　　.  探究2　两个集合的并 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛. 问题1：若没有人两项都报，你能算出高一(1)班参赛的人数吗? 问题2：若两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛的人数吗? 问题3：如何用Venn图表示问题2中的案例? 并集的概念 1.自然语言：把集合A，B中的元素　　　　组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).  2.符号语言：A∪B=　　　　.  3.图形语言： 例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8}，N={-1，4，5，7}，则M∪N=(　 　). A.{4，5，7} B.{1，2，3，4，5，6，7} C.{-1，4，5，7} D.{-1，1，2，3，4，5，6，7} (2)已知集合A=，B={x|3>2x-1}，则A∪B=　　　　.  【方法总结】1.离散型集合并集的运算，多借助定义或Venn图求解. 2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解A∪B.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示. 已知集合M={x|-3<x≤6}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N=(　 　). A.{x|-5<x<5} B.{x|x<-5或x>-3} C.{x|-3<x≤5} D.{x|x<-3或x>5} 探究3　交、并、补集的综合运算 例3　已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合U(A∪B)=(　 　). A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 【方法总结】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 已知全集U=R，A=[-4，2)，B=(-1，3]，P=(-∞，0]∪，求A∩B，(UB)∪P，(A∩B)∩(UP). 探究4　集合交与并的运算性质 1.交集的性质 (1)A∩A=A，A∩⌀=⌀，A∩B=B∩A； (2)A∩B⊆A； (3)A∩B=A⇔A⊆B. 2.并集的性质 (1)A∪A=A，A∪⌀=A，A∪B=B∪A； (2)A⊆A∪B； (3)A∪B=B⇔A⊆B. 例4　 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　 　). A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 【变式探究1】例题中“A∪B=R”，变成“A∪B=A”，求实数a的取值范围. 【变式探究2】例题中“B={x|a<x<4}”变为“B={x|a<x≤4-a}”，且“A∪B=R”变成“A∩B=⌀”，求实数a的取值范围. 【方法总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法：(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B=A，A∪B=B等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系进行分析，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，那么运算时要考虑B=⌀的情况，切不可漏掉. 已知集合A={1，2，2a}，B={1，a2+1}，若A∪B=A，则实数a的值为(　　). A.1或-1 B.1 C.0 D.-1 (2)若集合A={x|-3≤x≤5}，B={x|2m-1≤x≤2m+9}，A∪B=B，则实数m的取值范围是　　　　.  【随堂检测】 1.设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩(UB)=(　 　). A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{x|x>1} 2.(多选题)设A={x|x2-8x+12=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以是(　 　). A.0 B. C. D.2 3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是(　 　). A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}. (1)求A∩B，A∪B； (2)若C∪A=A，求实数a的取值范围. 参考答案 1.1.3　集合的交与并 自主预习 预学忆思 1.把所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集；把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，叫作A与B的并集. 2.两个集合A，B交集的Venn图如图1所示，两个集合A，B并集的Venn图如图2所示. 图 1　　　　　　　　　　图 2 3.交集和并集的性质如下： A∩A=A，A∩⌀=⌀，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪⌀=A，A∪B=B∪A. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.C　【解析】在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q={x|x≤4}. 3.{x|2<x<4}　⌀　【解析】由数轴法可知，A∩B={x|2<x<4}，A∩C=⌀. 4.2　【解析】由题意得M={2}， ∵M∩N=M，∴M⊆N. ∵M={2}，∴2∈N，∴4-6+m=0， 解得m=2. 合作探究 探究1　情境设置 问题1：两人都喜欢吃的水果是圣女果、苹果，所以这两种水果要多买一些. 问题2：洋洋喜欢吃的水果构成的集合A={葡萄，圣女果，苹果，橙子，枇杷}，哥哥喜欢吃的水果构成的集合B={圣女果，香梨，苹果，樱桃}，两人都喜欢吃的水果构成的集合C={圣女果，苹果}，则集合C为集合A和集合B的公共部分. 问题3： 新知生成 1.又 2.{x|x∈A且x∈B} 新知运用 例1　(1)B　(2)，(2，6)　【解析】(1)易知M={-2，-1，0，1}，N={-1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N={-1，0，1}，故选B. (2)由得或 ∴A∩B=，(2，6). 巩固训练1　D　【解析】由得故M∩N={(3，-1)}. 巩固训练2　(4，6)　【解析】借助数轴得A∩B=(4，6). 探究2　情境设置 问题1：能，高一(1)班参赛的人数为10+12=22. 问题2：能，19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10+12-3=19(人). 问题3： 新知生成 1.放在一起 2.{x|x∈A或x∈B} 新知运用 例2　(1)D　(2){x|x<3}　【解析】(1)易知M={1，2，3，4，5，6，7}，则M∪N={-1，1，2，3，4，5，6，7}. (2)解不等式组得-2<x<3，则A={x|-2<x<3}. 解不等式3>2x-1，得x<2，则B={x|x<2}. 用数轴表示集合A和B，如图所示， 则A∪B={x|x<3}. 巩固训练　B　【解析】如图，在数轴上标出集合M，N，阴影部分即为M∪N，则M∪N={x|x<-5或x>-3}. 探究3 例3　D　【解析】A∪B={x|x≤0或x≥1}，则U(A∪B)={x|0<x<1}. 巩固训练　【解析】将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示： 因为U=R，A=[-4，2)，B=(-1，3]， 所以A∩B=(-1，2)， UB=(-∞，-1]∪(3，+∞). 又P=(-∞，0]∪， 所以(UB)∪P=(-∞，0]∪. 又UP=， 所以(A∩B)∩(UP)=(-1，2)∩=(0，2). 探究4 新知运用 例4　C　【解析】利用数轴，如图，若A∪B=R，则a≤-1. 变式探究1　【解析】当a≥4时，集合B为空集，满足题意； 当a<4时，若要满足A∪B=A，必有{a|a≥3}. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥3}. 变式探究2　【解析】当a≥2时，集合B为空集，满足题意； 当a<2时，则有a≥-1且4-a<3，故有1<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|a>1}. 巩固训练　(1)D　(2){m|-2≤m≤-1}　【解析】(1)∵集合A={1，2，2a}，B={1，a2+1}，A∪B=A，∴B⊆A， ∴a2+1=2或a2+1=2a，解得a=±1， 当a=1时，2a=2，不满足集合中元素的互异性； 当a=-1时，A={1，2，-2}，B={1，2}，符合题意. ∴实数a的值为-1.故选D. (2)∵A∪B=B， ∴A⊆B，如图所示， ∴解得-2≤m≤-1， ∴实数m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}. 随堂检测 1.B　【解析】∵B={x|x>1}，∴UB={x|x≤1}，∴A∩(UB)={x|0<x≤1}. 2.ABC　【解析】由题意得，A={2，6}，因为A∩B=B，所以B⊆A. 若B=⌀，则a=0，满足题意； 若B≠⌀，则a≠0，此时B=，因为B⊆A，所以=2或=6，解得a=或a=. 综上，a=0或a=或a=.故选ABC. 3.D　【解析】由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定含有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共4个.故选D. 4.【解析】(1)由题意得，A∩B={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥1}. (2)因为C∪A=A，所以C⊆A， 所以a-1≥3，即a≥4， 故a的取值范围为[4，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $