22..3实际问题与二次函数—拱桥问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测） (2)2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

该初中数学导学案聚焦二次函数在实际问题中的应用，涵盖拱桥、投球、喷水、滑雪、刹车等七大典型场景，通过“问题情境—建模分析—解题验证”的逻辑链条构建知识支架，引导学生从生活现象中抽象出数学模型，逐步掌握建立坐标系、设解析式、求解与验证的完整思维流程。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养的深度融合。以真实情境为载体，强化几何直观与符号意识，如拱桥问题中坐标系选择的策略性思考，凸显数学思维的严谨性；题型设计由浅入深，层层递进，注重实际意义检验，培养理性精神与应用意识；变式训练贴近中考命题趋势，既提升解题能力又发展创新意识，是落实新课标理念的优质教学资源。

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—拱桥问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 拱桥问题 解题步骤: 1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形. 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决 . 2、 根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 要点诠释： 常见难点与易错点 （1）坐标系混淆：需明确对称轴与原点的关系，避免计算错误。 （2）实际意义验证：求解后需检查结果是否符合物理或几何约束（如宽度为正数）。 题型1二次函数中的拱桥拱门问题 例1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 【变式1-1】．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【详解】（1）解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【变式1-2】．一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知， ∴货车可以通过． 【变式1-3】．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的表达式； (2)这艘货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：由题易知，，抛物线的顶点为点， 设抛物线的解析式为， 将分别代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意得，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． 知识点2 投球问题 1.建立坐标系 原则：以出手点为原点或关键点（如最高点、落地点），水平距离为x轴，竖直高度为y轴。。 2.确定抛物线解析式 已知顶点和一点：用顶点式 y=a(x−h)2+k，代入已知点求解 3.分析关键问题 最大高度：顶点纵坐标即为最大高度， 水平距离（成绩）：令y=0，解方程求x的正根，即落地点坐标。 过特定点：如判断球能否越过某高度，需解方程 y=h 并验证x的合理性 4.验证实际意义 合理性检查：水平距离需为正，高度需符合实际（如不能为负）。 边界条件：如篮球是否在篮筐高度范围内，需结合篮筐位置判断 题型2 二次函数中投球、抛物问题 例2．投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 【变式2-1】．图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是多少？ 【答案】铅球推出的水平距离的长是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入得，再求解即可． 【详解】解：将代入得， ， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴铅球推出的水平距离的长是． 【变式2-2】．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【答案】该运动员的成绩是 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键，根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为，设此二次函数的解析式为，将点A的坐标代入解析式中，即可求出二次函数的解析式，然后将代入解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】解：根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为， 设此二次函数的解析式为， 将点A的坐标代入解析式中，得 解得：， ∴此二次函数的解析式为 将代入解析式中，得 解得：（不符合题意，舍去） 即该运动员的成绩是． 【变式2-3】．某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求函数解析式即可； ②把解析式配方为顶点式，得到顶点坐标即可； （）①把点的坐标代入解析式得到和的关系式即可； ②分别求出点、的坐标，代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①由抛物线，过点，， 得， ∴ ∴； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①∵点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴，整理得：； ②∵，圆筐的截面为矩形， ∴，， 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 综上可得：， 知识点3 喷水问题 关键：结合几何图形（如圆形喷泉池、矩形花坛），确定喷水区域是否满足要求。 方法： 求抛物线与边界线的交点，计算覆盖宽度。 若需覆盖特定区域，调整喷头高度或位置。 题型3 二次函数中的喷水、跳水问题 例3．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【变式3-1】．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【变式3-2】．在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． (1)求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 【答案】(1) (2)消防员应至少前进4米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再将点A代入求出a，进而可以判断得解； （2）依据题意，设消防员应至少前进h米，则消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：依题意，点A的坐标为，点的坐标为，第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设此时抛物线的解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴． （2）由题意，设第二次抛物线的解析式， 将点代入，得， 解得或， ∴消防员应至少前进4米． 【变式3-3】．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 知识点4滑雪问题 关键：通过改变起跳高度或初速度，使轨迹满足目标条件。 方法： 设参数为变量（如起跳高度h），建立方程求解。 结合二次函数最值分析最优解。 题型4 二次函数中滑雪问题 例4．跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．如图，某运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离（单位：）与他在水平方向上移动的距离（单位：）近似满足函数关系．已知，直线BC的表达式为，且点． (1)求满足的函数关系式； (2)该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时他的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据函数图象的性质，利用顶点式解析式来确定最值即可． 【详解】（1）解：将、代入，得： ， 解得：， 所以； （2）解：他与着陆坡竖直方向上的距离为： ， ， 时，他与着陆坡竖直方向上的距离取得最大值，最大值为； 所以，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时他的水平距离为． 【变式4-1】．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，．求：    (1)点的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论； （2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点的坐标代入即可得出结论； （3）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点的坐标，由的长为点的横坐标减去的长可得出结论． 【详解】（1）解：米，且点在轴正半轴， ． （2）抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的解析式为：， ， ，解得． 抛物线的解析式为：． （3）在中，，米， 米，米． 点的纵坐标为， 令， 解得，， 在对称轴右侧， ，． 米， 的长约为米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点的坐标是解题关键． 【变式4-2】．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： (1)求该抛物线的解析式． (2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为 【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可； （2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 当时，； 令，则， 解得或（舍去）， ， 他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 【变式4-3】．如图所示，“大跳台滑雪”运动中，运动员的起跳高度OA为86米，在平面直角坐标系xOy中，运动员自“起跳点A”起跳后的运行轨迹（图中虚线部分）的表达式为（a＜0），线段MN为“着落坡”，其表达式为，“着落坡”上的起评分点为“K点”，“K点”离y轴的水平距离是115米．评分规则规定：当运动员的着落点H离y轴的水平距离与“K点”离y轴的水平距离之差为m米时，该运动员所得的“距离分”为． (1)某运动员的“距离分”为69分，求该运动员的着落点H离y轴的水平距离； (2)当运动员的“距离分”为69分时，a的值是多少？ (3)当运动员的“距离分”为69分时，运动员运行的最高点离x轴的距离是多少？ 【答案】(1)120米 (2) (3)90.8米 【分析】（1）根据题意将“距离分”为69分代入代数式求解，然后结合图形即可得； （2）先确定点H的坐标，然后代入求解即可确定； （3）将解析式化为顶点式，即可确定最高点距离． 【详解】（1）解：由，得． 该运动员的着落点H离y轴的水平距离为：115＋5＝120（米）． （2）当时，， ∴． 把H点坐标代入， 得， 解得． （3）由（1）（2）知，当运动员的“距离分”为69分时， 运动员的运行轨迹为抛物线． 配方得， 当时，y取得最大值90.8， 即运动员运行的最高点离x轴的距离是90.8米． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用及二次函数的顶点式的应用，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 题型5行程中刹车问题 例5．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．已知汽车A刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足．当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为． (1)求关于的函数解析式； (2)行驶中的汽车A突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，此时汽车A的速度为，通过计算判断汽车A是否会撞上运输车； (3)若汽车B刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足，当时，在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)不会撞上运输车 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再与进行大小比较，由此即可得； （3）先将问题转化为，令，则问题转化为当时，始终成立，再求出时，或，然后分两种情况：①当时，②当时，结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：∵当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：当时，， 因为， 所以汽车不会撞上运输车． （3）解：由题意得：， 整理得：， 令， ∵当时，在相同的车速下汽车的“刹车距离”始终比汽车的“刹车距离”大， ∴当时，始终成立， 当时，，解得或， ①如图，当，即时， 则在内，始终成立； ②如图，当时， 要使在内，始终成立，则， 解得； 综上，的取值范围是． 【变式5-1】．急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 【变式5-2】．某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以（）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 【答案】(1)， (2)米； (3) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出该无人机着陆滑行停止，再分别求出当和时的路程，作差即可求出答案； （3）有题意可知，，设，得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，将代入得到， 解得， ∴关于的函数表达式为， 设关于的函数表达式，将代入得到 解得 ∴关于的函数表达式 故答案为：， （2）当时，，解得， 即该无人机着陆滑行停止， ∴当时， 当时， ∵， 即该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是米； （3）由题意可得，， 设， 则， ∵ ∴ ∴的对称轴在轴的右侧， ∴，即， 解得，， 故答案为： 【变式5-3】．汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新能源汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得部分数据如表： 车速 0 20 40 60 80 100 刹车距离 0 6 14 24 36 50 (1)刹车距离与车速之间满足二次函数关系，求出刹车距离与车速之间的函数关系； (2)该车进入测试路段，若该路段行车的最高限速为，要求该型新能源汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距至少为多少米？ (3)在某路段上，若该型汽车的刹车距离不超过50米，直接写出车速的控制范围_________． 【答案】(1) (2)应超过米 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，由函数的函数值求自变量的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当车速为时，将代入中，求出刹车距离，进而可得答案； （3）先求出时，v的值，再根据函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）解：设刹车距离与车速之间的函数关系式为， 把代入解析式中， 得， 解得， 刹车距离与车速之间的函数关系式为； （2）当车速为时， 将代入中， 解得刹车距离是， ， 答：安全车距应超过米； （3）． 若该型汽车的刹车距离不超过50米， 则， 不等式变形为：， 解方程， 解得（舍去）， 故车速在． 题型6项目化设计问题 例6．项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】任务一：；；任务二：（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：任务一：设，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，将点代入得， ， 解得：， ∴； 任务二：（1）由，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （2）当时，，解得：， 当时，， ∴． 【变式6-1】．在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， (3)当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，表示出的二次函数，利用二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的图象如图所示． （2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数， 函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数． 由题意可设．把点和点分别代入，得 ， 解得， ； 设．把点和点分别代入，得 ，解得， ； （3）解： ， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克． 【变式6-2】．项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示：    任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过顶点，起始点为，终点与起始点关于直线对称，直接写出左侧抛物线解析式______； 若右侧抛物线与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：_______． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度．    任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______． 【答案】（1），（2）米（3）①②米 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入解答即可；根据对称，顶点坐标变成纵坐标不变，横坐标变成相反数，形状不变，写出解析式即可． （2）左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即；右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即；当时，求两个解析式的自变量值，用最右侧值减去最左侧值解答即可． （3）利用待定系数法，根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵左侧抛物线过顶点， 不妨设抛物线的解析式为， ∵起始点为，终点与起始点关于直线对称， ∴终点坐标为， ∴， 解得， ∴左侧抛物线解析式为， ∵左侧抛物线过顶点， ∴右侧抛物线过顶点， 不妨设抛物线的解析式为， ∵左侧抛物线起始点为， ∴右侧抛物线起始点为， ∴， 解得， ∴右侧抛物线解析式为， 故答案为：，． （2）解：左侧抛物线解析式为，点关于y轴的对称点为；左侧终点坐标为关于y轴的对称点为, 根据题意，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处， 故平移到，平移到， 故左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即； 故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即； 当时，， 解得， 当时，， 解得， 故水平宽度为， 答：水平宽度为米． （2）①解：设，根据题意，射出的光线与地面形成夹角，得到， 设直线的解析式为， 故， 解得， 故直线的解析式为， 要使光线不被无人机队列所遮挡， 确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值， 故， 故， ， 解得， 故无人机上升距离的最小值为； ②解：根据题意，得无人机计划飞到12米才发射光线，此时单侧光线的解析式为， 此时， 由，得， 故直线与x轴的交点坐标为， 故两交点的距离为， 根据题意，射出的光线与地面形成夹角， 故与无人机队列之间的最短距离为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式应用，等腰直角三角形的性质，平行线之间的距离，熟练掌握待定系数法，根的判别式是解题的关键． 【变式6-3】．【项目式学习】放学路上，小刚看到一位老人坐在一辆汽车前面的路上，双方正在激烈争吵，老人说自己被车撞了，开车人说老人碰瓷．①面对这一情况，运用数学的眼光观察，你会想到哪些问题：在事故发生时，汽车是否超速行驶？通过哪些数学手段可以知道汽车刹车时的速度？小刚了解到此路段没有监控，车上也没有行车记录仪，无法直接得到汽车的速度，于是，就和同伴维持秩序保留现场，交警来后测量得刹车距离为17.1米．而此道路限速．②看到交警为难的情绪，运用数学的思维思考，你会考虑哪些情况：刹车距离与汽车型号、汽车性能、汽车重量、路面摩擦系数等等诸多因素都有关系．能否通过模拟实验测出车速？模拟中如果出现不了刹车距离为米，怎么办？③为得到汽车刹车时的速度，运用数学的语言表达，你会怎么表达：应找到该型号汽车在此道路上刹车距离与车速的关系．在确保场地没人时，设置路标来指示将开始刹车的点，进行测量．多次试验并在下列表格中记录结果进行建模分析： 刹车时车速（千米／时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 1 (1)如图，请根据表格中的数据在坐标系中描点，画出第一象限的抛物线的图象； (2)小刚看到抛物线图象经过原点，于是就设抛物线的解析式为，请求出此抛物线的解析式； (3)判断发生事故时，汽车是否超速？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)汽车刹车时的车速为90千米/时，处于严重超速行驶中． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法，理解、的实际意义，能用二次函数解决实际问题是解题的关键； （1）描点、连线，画出图象，即可求解； （2）由待定系数法将和两点代入解析式，即可求解； （3）当时，求出刹车时的速度，进行比较，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：把和两点代入，中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （3）解：当时， ， 解得：，（舍去）， ， 汽车刹车时的车速为90千米/时，处于严重超速行驶中． 题型7生活中其他问题 例7．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是． (1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？ (2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？ 【答案】(1)飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是 (2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）令，进而计算即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， 当时，飞机着陆后滑行的距离最大，滑行的最大距离是． 答：飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是． （2）解：由题意，令， 解得：（不合题意，舍去）或． 答：当飞机滑行距离为时，滑行的时间是． 【变式7-1】．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求抛物线的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)锅盖能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 解得，， 点坐标为，点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 【变式7-2】．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，． (1)求函数关系式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？ (3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为 (3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由当时，．从而，求出后即可判断得解； （2）依据题意，结合（1）．又＜，进而可以判断得解； （3）依据题意，结合（2），从而当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，． ． ． ． （2）由题意，结合（1）． ， 当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为． （3）由题意，结合（）， 当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱． 老师在讲授此类概念所用时间应该控制在分钟左右． 【变式7-3】．春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； (2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 【答案】(1) (2)3把 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出顶点M的坐标，设出顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出函数值为时对应的x的值，再结合椅子宽度即可求解． 【详解】（1）解：，， 结合所建直角坐标系，可得，， 顶点M的坐标为， 设抛物线函数关系式为：， 将代入解析式，得：， 解得， 抛物线函数关系式为； （2）解：，， 令， 解得，， ，， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为3把． 例8．小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 【变式8-1】．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 【变式8-2】．郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． (2)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)与的关系式为；球能过网，它的落点离边界的距离为米； (2)的取值范围为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （）利用待定系数即可解答； 令二次函数解析式函数值，求出的值，即可得出结论； （）根据球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意得，当时，可得顶点坐标为， 设， ∵在抛物线上， ∴，解得：， ∴与的关系式为； 当时，， ∴球能过网； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴它的落点离边界的距离为（米）； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 由于球能越过球网， ∴当时，， 则， 由于不出边界（可压边界）， ∴当时，， 则， ∴的取值范围为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：，且抛物线过点， 故， 解得：， 故选：A. 2．如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：当时，， 解得：（舍），， 该同学掷实心球的成绩是， 故选：C. 3．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度h（m）与水流时间t（s）之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是( ) A.8s B.6s C.4s D.2s 答案：B 解析：在中，令可得， 解得：或， 所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s， 故选：B. 4．如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，当水面下降后，水面的宽度是( )m. A.6 B. C. D. 答案：C 解析：以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为：, ∵抛物线过点， ∴ 又∵当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是， ∴抛物线经过点， ∴， 解得 当水面下降后， 解得：， ∴水面的宽度是米， 故选：C. 5．如图,以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球在时落地,小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系(a为常数,).有下列结论： ①a值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由题意得,解得,①结论正确； 函数关系, ∵, ∴小球的飞行高度最高可达到,②结论错误； 解方程, 得或, ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到,③结论正确. 故选：C. 6．广场上水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是,那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是( ) A.1米 B.2米 C.5米 D.6米 答案：B 解析： ∴当时,y有最大值, ∴水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是2. 故选B. 7．汽车刹车后行驶的距离S(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是.汽车刹车后到停下来前进的距离为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵, ∴当时,S取得最大值, 即汽车刹车后到停下来前进的距离是, 故选：B. 8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离( ) A.3.2 B.0.32 C.2.5 D.1.6 答案：A 解析：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点B与点D关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍）或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：A. 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米.相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为_____米. 答案：3.5 解析：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线解析式为， 当时，， 支柱MN的高度米， 故答案为：3.5. 10．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值.铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为.若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为__________. 答案： 解析：图2二次函数的解析式为，铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值， 图3二次函数的解析式为，即， 故答案为：. 11．如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪,喷水口A距地面,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为,且到地面的距离为,则水流的落地点C到水枪底部B的距离为____________m. 答案：/ 解析：如图,以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立直角坐标系, 由题意知,抛物线的顶点P的坐标为、点, 设抛物线的解析式为, 将点代入,得：, 解得：, 则抛物线的解析式为：, 当时,有, 解得：(舍)或, m, 答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为. 故答案为：. 12．一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：W）与电流I（单位：A），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 ______（填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流. 答案：已 解析：在中，当时，， ∴或（舍去）， ∵， ∴当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流已超过人体能承受的安全电流. 故答案为：已. 13．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.则小明此次试投的成绩（线段的长度）是______米. 答案： 解析：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是. （1）水流喷出的最大高度是多少？ （2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 答案：（1） （2）当米时，水流不落在池外 解析：（1）， 二次函数的顶点坐标是， 水流喷出的最大高度是米. （2）原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ， ，即当米时，水流不落在池外. 15．如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动.当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米. （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门. 答案：（1） （2）球不能射进球门 解析：（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能射进球门. 16．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中. (1)求这条抛物线的解析式. (2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 答案：(1) (2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析. 解析：（1）根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： （2）因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 17．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，如图1所示，当绳子甩到最低处时，其形状可近似看作如图2所示的抛物线，抛物线的顶点C在地面上，正在甩绳的两名同学拿绳的手（看作两个点）之间的距离为6米，点O和点A离地面的高度均为1米，以 所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知图中所有的点都在同一平面内． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点P为地面上点C右侧一点，米，如果小华从点P处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过她的脚底，那么小华跳起的高度为多少米？ (3)如果小明参与本次跳绳，他到y轴的水平距离为m米，跳起的高度为米，此时绳子甩到最低处，且绳子低于他的脚底，请你求出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)小华跳起的高度为米； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点P的横坐标为，进而求出当时，y的值即可得到答案； （3）求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得点A的坐标为，顶点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵米， ∴点P的横坐标为． 当时，，（米）， ∴小华跳起的高度为米． （3）解：． 在中，令，得， 解得，， ∴m的取值范围是． 18．阅读材料：在17世纪初，法国数学家笛卡尔为了将代数和几何相结合，他提出了一种新的工具即平面直角坐标系，通过坐标系，笛卡尔发现可以用方程来表示图形的数量关系，也可以使得抽象的方程用几何图形形象的表示出来，为数学的发展奠定了新的里程碑．例如：图1中是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽是多少？ 　　　　　　 分析：我们知道，二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系就可以求出抛物线的解析式，为了方便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（图2），设该抛物线的解析式为，由已知的抛物线过点，代入解析式求出，抛物线解析式为，当水面下降1米时，水面纵坐标为，把代入解析式，求得，此时水面宽为米． 请你类比阅读材料中的数学思想尝试建立平面直角坐标系解答下列问题： 如图3，某校选拔铅球运动员准备参加区运动会，第一轮学校定的男生入围标准为不低于9米，一名男生A推铅球，铅球运动的轨迹是一条抛物线，已知出手点距离地面米，铅球运行轨迹的最高点到地面距离3米且到该男生A的水平距离为4米． (1)请选择你认为合适的位置建立平面直角坐标系，并求出铅球运行轨迹的高度与水平距离之间的函数解析式； (2)通过计算，请你判断男生A第一轮能否入围． 【答案】(1)建立直角坐标系见解析，抛物线解析式为 (2)该男生 A 第一轮能入围 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）以出手点所在且垂直于地面的直线为y轴，以水平距离所在直线为x轴建立直角坐标系，可设抛物线解析式为：，再把代入，即可求解； （2）令，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以出手点所在且垂直于地面的直线为y轴，以水平距离所在直线为x轴建立直角坐标系， ∵铅球运行轨迹的最高点到地面距离 3 米且到该男生 A 的水平距离为 4 米． ∴抛物线的顶点坐标为，与 y 轴交点坐标为 ∴设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，得：， 解得： (舍去)，， ∴该男生A推出的水平距离为 10米， ∵， ∴该男生 A 第一轮能入围． 19．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 【答案】(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下 (2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 (3)会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案； （2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案； （3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为， 代入，得 解得， 二次函数的解析式为； ②， ， 抛物线开口向下，有最大值，为， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下； （2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 当时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）解：会， 理由如下： 由（1）可知，当时，有最大值75， 即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 35．综合探究 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为：；任务二：水流不能流到圆柱形水杯内． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一：根据题意抛物线的对称轴为：，则，，运用待定系数法即可求解：圆柱形水杯最左端到点的距离是，则当时，，由此比较即可求解． 任务二： 【详解】解：任务一： 轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：， ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：， 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； 任务二： 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 B抓核心 三大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—拱桥问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 拱桥问题 解题步骤: 1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形. 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决 . 2、 根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。 要点诠释： 常见难点与易错点 （1）坐标系混淆：需明确对称轴与原点的关系，避免计算错误。 （2）实际意义验证：求解后需检查结果是否符合物理或几何约束（如宽度为正数）。 题型1二次函数中的拱桥拱门问题 例1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【变式1-1】．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【变式1-2】．一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【变式1-3】．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的表达式； (2)这艘货船能否安全过桥？ 知识点2 投球问题 1.建立坐标系 原则：以出手点为原点或关键点（如最高点、落地点），水平距离为x轴，竖直高度为y轴。。 2.确定抛物线解析式 已知顶点和一点：用顶点式 y=a(x−h)2+k，代入已知点求解 3.分析关键问题 最大高度：顶点纵坐标即为最大高度， 水平距离（成绩）：令y=0，解方程求x的正根，即落地点坐标。 过特定点：如判断球能否越过某高度，需解方程 y=h 并验证x的合理性 4.验证实际意义 合理性检查：水平距离需为正，高度需符合实际（如不能为负）。 边界条件：如篮球是否在篮筐高度范围内，需结合篮筐位置判断 题型2 二次函数中投球、抛物问题 例2．投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【变式2-1】．图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是多少？ 【变式2-2】．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【变式2-3】．某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 知识点3 喷水问题 关键：结合几何图形（如圆形喷泉池、矩形花坛），确定喷水区域是否满足要求。 方法： 求抛物线与边界线的交点，计算覆盖宽度。 若需覆盖特定区域，调整喷头高度或位置。 题型3 二次函数中的喷水、跳水问题 例3．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【变式3-1】．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【变式3-2】．在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情．消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米．以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系． (1)求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？ 【变式3-3】．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 知识点4滑雪问题 关键：通过改变起跳高度或初速度，使轨迹满足目标条件。 方法： 设参数为变量（如起跳高度h），建立方程求解。 结合二次函数最值分析最优解。 题型4 二次函数中滑雪问题 例4．跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．如图，某运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离（单位：）与他在水平方向上移动的距离（单位：）近似满足函数关系．已知，直线BC的表达式为，且点． (1)求满足的函数关系式； (2)该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时他的水平距离． ． 【变式4-1】．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，．求：    (1)点的坐标； (2)该抛物线的函数表达式； (3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长． 【变式4-2】．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： (1)求该抛物线的解析式． (2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 【变式4-3】．如图所示，“大跳台滑雪”运动中，运动员的起跳高度OA为86米，在平面直角坐标系xOy中，运动员自“起跳点A”起跳后的运行轨迹（图中虚线部分）的表达式为（a＜0），线段MN为“着落坡”，其表达式为，“着落坡”上的起评分点为“K点”，“K点”离y轴的水平距离是115米．评分规则规定：当运动员的着落点H离y轴的水平距离与“K点”离y轴的水平距离之差为m米时，该运动员所得的“距离分”为． (1)某运动员的“距离分”为69分，求该运动员的着落点H离y轴的水平距离； (2)当运动员的“距离分”为69分时，a的值是多少？ (3)当运动员的“距离分”为69分时，运动员运行的最高点离x轴的距离是多少？ 题型5行程中刹车问题 例5．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．已知汽车A刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足．当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为． (1)求关于的函数解析式； (2)行驶中的汽车A突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，此时汽车A的速度为，通过计算判断汽车A是否会撞上运输车； (3)若汽车B刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足，当时，在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，直接写出c的取值范围． 【变式5-1】．急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【变式5-2】．某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以（）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 【变式5-3】．汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新能源汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得部分数据如表： 车速 0 20 40 60 80 100 刹车距离 0 6 14 24 36 50 (1)刹车距离与车速之间满足二次函数关系，求出刹车距离与车速之间的函数关系； (2)该车进入测试路段，若该路段行车的最高限速为，要求该型新能源汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距至少为多少米？ (3)在某路段上，若该型汽车的刹车距离不超过50米，直接写出车速的控制范围_________． 题型6项目化设计问题 例6．项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 【变式6-1】．在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 【变式6-2】．项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示：    任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过顶点，起始点为，终点与起始点关于直线对称，直接写出左侧抛物线解析式______； 若右侧抛物线与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：_______． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度．    任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______． ． 【变式6-3】．【项目式学习】放学路上，小刚看到一位老人坐在一辆汽车前面的路上，双方正在激烈争吵，老人说自己被车撞了，开车人说老人碰瓷．①面对这一情况，运用数学的眼光观察，你会想到哪些问题：在事故发生时，汽车是否超速行驶？通过哪些数学手段可以知道汽车刹车时的速度？小刚了解到此路段没有监控，车上也没有行车记录仪，无法直接得到汽车的速度，于是，就和同伴维持秩序保留现场，交警来后测量得刹车距离为17.1米．而此道路限速．②看到交警为难的情绪，运用数学的思维思考，你会考虑哪些情况：刹车距离与汽车型号、汽车性能、汽车重量、路面摩擦系数等等诸多因素都有关系．能否通过模拟实验测出车速？模拟中如果出现不了刹车距离为米，怎么办？③为得到汽车刹车时的速度，运用数学的语言表达，你会怎么表达：应找到该型号汽车在此道路上刹车距离与车速的关系．在确保场地没人时，设置路标来指示将开始刹车的点，进行测量．多次试验并在下列表格中记录结果进行建模分析： 刹车时车速（千米／时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 1 (1)如图，请根据表格中的数据在坐标系中描点，画出第一象限的抛物线的图象； (2)小刚看到抛物线图象经过原点，于是就设抛物线的解析式为，请求出此抛物线的解析式； (3)判断发生事故时，汽车是否超速？ 题型7生活中其他问题 例7．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是． (1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？ (2)当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？ 【变式7-1】．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求抛物线的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【变式7-2】．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，． (1)求函数关系式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？ (3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由． 【变式7-3】．春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式； (2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？ 例8．小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【变式8-1】．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【变式8-2】．郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． (2)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 2．如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是( ) A. B. C. D. 3．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度h（m）与水流时间t（s）之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是( ) A.8s B.6s C.4s D.2s 4．如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，当水面下降后，水面的宽度是( )m. A.6 B. C. D. 5．如图,以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球在时落地,小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系(a为常数,).有下列结论： ①a值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6．广场上水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是,那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是( ) A.1米 B.2米 C.5米 D.6米 7．汽车刹车后行驶的距离S(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是.汽车刹车后到停下来前进的距离为( ) A. B. C. D. 8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离( ) A.3.2 B.0.32 C.2.5 D.1.6 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米.相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为_____米. 10．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值.铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为.若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为__________. 11．如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪,喷水口A距地面,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为,且到地面的距离为,则水流的落地点C到水枪底部B的距离为____________m. 12．一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：W）与电流I（单位：A），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 ______（填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流. 13．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.则小明此次试投的成绩（线段的长度）是______米. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是. （1）水流喷出的最大高度是多少？ （2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 15．如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动.当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米. （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门. 16．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中. (1)求这条抛物线的解析式. (2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 17．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，如图1所示，当绳子甩到最低处时，其形状可近似看作如图2所示的抛物线，抛物线的顶点C在地面上，正在甩绳的两名同学拿绳的手（看作两个点）之间的距离为6米，点O和点A离地面的高度均为1米，以 所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知图中所有的点都在同一平面内． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点P为地面上点C右侧一点，米，如果小华从点P处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过她的脚底，那么小华跳起的高度为多少米？ (3)如果小明参与本次跳绳，他到y轴的水平距离为m米，跳起的高度为米，此时绳子甩到最低处，且绳子低于他的脚底，请你求出m的取值范围． 18．阅读材料：在17世纪初，法国数学家笛卡尔为了将代数和几何相结合，他提出了一种新的工具即平面直角坐标系，通过坐标系，笛卡尔发现可以用方程来表示图形的数量关系，也可以使得抽象的方程用几何图形形象的表示出来，为数学的发展奠定了新的里程碑．例如：图1中是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降1米时，水面宽是多少？ 　　　　　　 分析：我们知道，二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系就可以求出抛物线的解析式，为了方便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（图2），设该抛物线的解析式为，由已知的抛物线过点，代入解析式求出，抛物线解析式为，当水面下降1米时，水面纵坐标为，把代入解析式，求得，此时水面宽为米． 请你类比阅读材料中的数学思想尝试建立平面直角坐标系解答下列问题： 如图3，某校选拔铅球运动员准备参加区运动会，第一轮学校定的男生入围标准为不低于9米，一名男生A推铅球，铅球运动的轨迹是一条抛物线，已知出手点距离地面米，铅球运行轨迹的最高点到地面距离3米且到该男生A的水平距离为4米． (1)请选择你认为合适的位置建立平面直角坐标系，并求出铅球运行轨迹的高度与水平距离之间的函数解析式； (2)通过计算，请你判断男生A第一轮能否入围． 19．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 35．综合探究 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为； 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 试卷第20页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $