专题23.1 图形的旋转（举一反三讲义）数学人教版九年级上册

专题23.1 图形的旋转（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 旋转三要素】 3 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 4 【题型4 利用旋转的性质求解】 5 【题型5 利用旋转的性质证明】 6 【题型6 画旋转后的图形】 7 【题型7 求旋转后的坐标】 9 【题型8 利用旋转设计图案】 11 【题型9 坐标与旋转规律问题】 12 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 【题型2 旋转三要素】 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【变式2-2】如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 【例3】（2025·天津南开·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式3-2】（2025·吉林长春·二模）如图，将的边绕点顺时针旋转得到线段，将边绕点顺时针旋转得到线段，连结、、．点、分别是、的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③当时，；④；⑤．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【题型4 利用旋转的性质求解】 【例4】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长度是（    ） A． B． C． D．3 【变式4-1】（2025·江苏扬州·三模）已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时的长为 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为直线上方一点，于点，点为直线上一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为 ． 【题型5 利用旋转的性质证明】 【例5】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-1】如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【变式5-3】在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【题型6 画旋转后的图形】 【例6】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点O逆时针旋转得到的；写出，，三点的坐标； (2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到 ，请作出；并写出点的坐标______________； (3)在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)若内任意一点，平移后的对应点为，将作同样的平移得到，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)在所给的网格图中确定一个格点（网格线的交点）D，画射线交于点E，使平分的面积，并直接写出一个满足要求的点D的坐标． 【题型7 求旋转后的坐标】 【例7】（2025·山东青岛·一模）如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式7-2】（2025·江苏常州·三模）如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【题型8 利用旋转设计图案】 【例8】相信同学们都玩过万花筒，如图是某个万花筒的造型，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（    ） A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到 【变式8-1】一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 【变式8-3】七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）： （1）拼成长方形，在图3中画出示意图； （2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图． 【题型9 坐标与旋转规律问题】 【例9】（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏南通·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是 ． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.1 图形的旋转（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 旋转三要素】 4 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 6 【题型4 利用旋转的性质求解】 12 【题型5 利用旋转的性质证明】 18 【题型6 画旋转后的图形】 23 【题型7 求旋转后的坐标】 30 【题型8 利用旋转设计图案】 34 【题型9 坐标与旋转规律问题】 37 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的概念及识别，根据旋转的性质且结合图1和图2的变化，找出中心对称图形，即可作答． 【详解】解：4张扑克牌中，只有方块6是中心对称图形， 观察图1和图2，它们都没有改变，因此被旋转过的牌是方块6， 故选：D 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④ 【题型2 旋转三要素】 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，根据正方形的性质，旋转的性质，可得C，D以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：把正方形绕点C顺时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕点D逆时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕的中点逆时针旋转180度可使得正方形与正方形重合， ∴一共有3个旋转点， 故选：C． 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 【例3】（2025·天津南开·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，，若，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键；由旋转得是等边三角形，从而有，由三角形内角和即可判断A；由可判断B，由 可判断C；的大小关系可判断D． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； 又∵，， ∴， ∴；故A正确； ∵， ∴当时，，否则不正确；故B不正确； ∵， ∴不平行；故C错误； ∵， 当时，则有，从而有， ∴； 否则；故D错误； 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，余角的性质．根据旋转的性质可得，可判断①；再由全等三角形的性质可得，，从而得到，可判断②；再由余角的性质可得，可判断③；根据三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：由旋转的性质得：，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴的面积是，故④正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④ 【变式3-2】（2025·吉林长春·二模）如图，将的边绕点顺时针旋转得到线段，将边绕点顺时针旋转得到线段，连结、、．点、分别是、的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③当时，；④；⑤．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用旋转的性质，平行四边形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵四边形为平行四边形， ， ∵， ， 即， 故①正确，符合题意； ②如图，连接， ∵四边形为平行四边形， ， ， 由①得， ∴， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图，过点作交于点， ，， ， ， 故③错误，不符合题意； ④根据给出的条件无法证明， 故④错误，不符合题意； ⑤如图，连接， 由②得，且， ∴四边形为平行四边形， ∵点为中点， 点为对角线的交点， 点为线段的中点， 点为线段的中点， ， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【变式3-3】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； ，,， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ，， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 【题型4 利用旋转的性质求解】 【例4】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长度是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键． 如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（2025·江苏扬州·三模）已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决此题的关键是明确当点、、在同一条直线上时，有最大值． 当点在线段延长线上时，取得最大值，画出图形，过点作于点，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长． 【详解】解：当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示： ，， ， ， ∴， ，， ，， ， ∴在中，， 在中，． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为直线上方一点，于点，点为直线上一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，得到，再证明垂直平分．得到．求得，，然后由勾股定理求得，即可由求解． 【详解】解：如图，连接． 由旋转的性质得，． ∴是等边三角形． ∴，， ∵ ∴， ∴垂直平分， ∴， 由旋转的性质得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 由旋转可得：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【变式4-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键：（1）当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 如图1，当时，延长交于点，      ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； 当时，延长交于点I，    在上方时，， ，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为15或60或105， 故答案为：15或60或105． 【题型5 利用旋转的性质证明】 【例5】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 【变式5-1】如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰直角三角形的性质即可证明； （2）根据，，再结合，即可求出．，由旋转可知，则利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴根据旋转可知：， ∴在中，， ∴， 由旋转可知， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题： 如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，当点E落在上时停止旋转，交于点． (1)连接，请判断和是否在同一条直线上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，，进而可得， 由等边对等角可得，进而可得，利用可证得，于是可得，即，进而可得，然后由即可得出结论； （2）由（1）得，，由等角对等边可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：和是在同一条直线上，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 矩形是由矩形旋转得到的， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即：， ， ， 和是在同一条直线上； （2）证明：由（1）得：，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，利用矩形的性质及旋转的性质证明是解题的关键． 【变式5-3】在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到； （2）通过证明得到； （3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：， 理由如下： 以点为中心，把逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知： ， 由（2）可知：， 又， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型6 画旋转后的图形】 【例6】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点O逆时针旋转得到的；写出，，三点的坐标； (2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)或 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点、、的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交轴于点，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：设交轴于点，则点， 则， ∵的面积是面积的倍， ， ， ， ∴点的坐标为或． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找出绕原点O顺时针旋转后得到，则坐标可求； （3）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）由旋转作图可知，； （3）解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心， ∴由图可知旋转中心坐标． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到 ，请作出；并写出点的坐标______________； (3)在平面上是否存在点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)或或 【分析】此题考查了平移和旋转的作图、平行四边形的性质和判定等知识，熟练掌握平移和旋转的作图是关键． （1）已知平移得到点的坐标为，即可得到平移规律为向右平移5个单位，向下平移6个单位，据此得到经过平移后得到的对应点，再顺次连接、即可得到； （2）作出绕点按顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定和性质找到所求的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求，点的坐标； 故答案为： （3）如图，点D的坐标为或或． 【变式6-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． (1)若内任意一点，平移后的对应点为，将作同样的平移得到，点A，B，C的对应点分别为，，，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)在所给的网格图中确定一个格点（网格线的交点）D，画射线交于点E，使平分的面积，并直接写出一个满足要求的点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，． 【分析】本题考查了画图形的平移，画图形的旋转，网格画三角形的中线，平移的确定等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）由题意可确定平移是向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度；将点A，B，C的对应点分别按此平移得到，，的坐标，再依次连接即可． （2）确定点A，B，C绕点O逆时针旋转后的对应点，再依次连接这三个点即可； （3）取格点D，作射线交于点E，可得点E为的中点，则平分的面积，根据点D的位置可确定点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴平移是向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度； 将作同样的平移得到如下图所示； （2）解：将绕点O逆时针旋转得到如下图所示； （3）解：取格点D，作射线交于点E，则平分的面积； 由图知，． 【题型7 求旋转后的坐标】 【例7】（2025·山东青岛·一模）如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：D． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设A′B′交y轴于T′，利用勾股定理可求出A′B′的长度，再利用三角形面积公式求出OT的长度，最后再利用勾股定理即可求出A′T′的长度，即可求出A′点坐标 ． 【详解】解：如图，设A′B′交y轴于T′． ∵A（0，3），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠A′OB′＝90°，OT'⊥A′B′，OA＝OA′＝3，OB＝OB′＝4， ∴AB＝A′B′＝==5， ∵ •OA′•OB′＝•A′B′•OT′， ∴OT′＝， ∴A′T′＝＝， ∴A′（-，）． 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，熟练利用勾股定理解直角三角形以及三角形的面积公式是解答本题的关键． 【变式7-2】（2025·江苏常州·三模）如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得，，，再结合旋转的性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C， ∴，，， ∵将绕点O按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转求得角和线段相等是解题的关键． 根据题意，先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再根据已知条件及勾股定理求得的长，根据已知，以及旋转的性质可知，，进而可知的坐标． 【详解】解：如图， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 由旋转可知，， ， ， 在轴上， 轴， ． 故答案为：． 【题型8 利用旋转设计图案】 【例8】相信同学们都玩过万花筒，如图是某个万花筒的造型，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（    ） A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到 【答案】D 【分析】根据旋转的意义，找出图中菱形和菱形的对应点的变化情况，结合等边三角形的性质即可选择答案． 【详解】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的旋转变化，解题的关键是要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错． 【变式8-1】一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选B． 考点：利用旋转设计图案． 【变式8-2】为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用平移旋转作图求解即可； （2）根据镶嵌的知识设计的，利用平移旋转作图求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）桌面的设计：当阅览室人数少时，每张桌子可以单独成立，把正方形变成圆形，当阅览室人数多时，就可以把中间变成正方形，周围是圆形，几张桌子拼接在一起． 设计如图所示： 【点睛】此题考查了平面图形的镶嵌的有关知识，解题的关键是熟练掌握图形的镶嵌． 【变式8-3】七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）： （1）拼成长方形，在图3中画出示意图； （2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用网格结合矩形的性质得出答案； （2）利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）如图3所示：长方形即为所求； （2）如图4所示：等腰直角三角形即为所求． 【点睛】此题考查旋转变换，正确利用已知图形面积不变是解题关键． 【题型9 坐标与旋转规律问题】 【例9】（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含角直角三角形的性质等知识，先求出，，由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周，得到经过次旋转后，点落在的位置，画出图形进行解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．， 如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则，，过点D作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏南通·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键． 根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，进而得出第秒时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第秒时，点A的对应点的坐标与相同，为， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，正方形的对角线的交点与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，等腰直角三角形的性质等，根据题意找到规律并利用规律求解是解答本题的关键．根据题意，求出、、、、、的坐标，可得出规律：每四个点一个循环，，由，即可推出． 【详解】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点， ∴， ∵再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点…… ∴，，，，，…… 观察发现，每四个点一个循环，其中， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转和平移的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到点的坐标规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴将矩形绕点逆时针旋转，如图， 可知：，，，， ， 则每旋转次则回到原位置， ∴， 即第次旋转结束时，完成了次循环，与的位置相同 ， ∵第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位， ∴变换后得到的点对应点的坐标为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$