25.2用列举法求概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练2025－2026学年人教版九年级上册数学

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 25.2用列举法求概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 直接列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法. 【注意】用列举法求概率的前提有两个： ①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 题型1用直接列举法求概率 例1．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】．下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 知识点2： 列表法求概率 1）列表； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 题型2用列表法求概率 例2．从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 【变式2-1】．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是 ． 【变式2-2】．从，，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ． 【变式2-3】．端午节期间，小军和小新准备到沈阳的张氏帅府（记为）、故宫（记为）、北陵公园（记为）中的一个景点去游玩，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同． (1)小军选择去故宫（）旅游的概率是 ； (2)试用画树状图或列表的方法求小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的概率． 知识点3：树状图法求概率 当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 1.两步试验树状图法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 注意： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；树状图适用于各种情况出现的数目较多时。 （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.树状图法适用于两步及以上的随机事件的概率 2.两步以上试验树状图法：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 细节剖析： (1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题 （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 画树状图求概率的基本步骤 （1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算. 题型3 用画树状图求涉及两个因素的概率 例3．从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．一年一度的校园“曦之声”即将拉开帷幕，九（1）班“明德”学习小组的小轩，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小轩被选中的概率是 ． 【变式3-2】．为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明 【变式3-3】．在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 题型4用画树状图求涉及两个因素以上的概率 例4．小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)用列表法或画树状图法求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)用列表法或画树状图法求三次传球后，球恰在A手中的概率． 【变式4-2】．2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒2》和《唐探》深受观众喜爱．甲、乙、丙3人从这2部电影中任意选择一部观看． (1)甲选择《哪吒2》的概率是______． (2)求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率． 【变式4-3】．甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同， (1)3局比赛后，甲获胜的概率是 ； (2)若甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 题型5用画树状图求学科整合概率 例5．如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【变式5-1】．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示． 理化实验操作内容物理 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验三：探究杠杆的平衡条件 化学 实验一：氧气的制取 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率； (2)请你用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 【变式5-2】．在一次物理实验操作测试中，要求学生在如图所示的四个实验中随机抽取一个实验作为自己的测试内容． (1)在这次物理实验操作测试中，随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是 事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若小明与小红都参加了本次测试，请用列表法或画树状图法，求小明与小红抽到相同实验的概率． 【变式5-3】．我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1） 类别 频数（人数） 频率 力学 0.45 热学 10 光学 30 0.3 电学 15 0.15 请根据图表信息来解答下列问题 (1)直接写出频数分布表中、的值：________，________． (2)直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数=________． (3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 题型6用画树状图求实际问题概率 例6．第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某高校为了了解学生对亚运会的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率． 【变式6-1】．小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； (2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【变式6-2】．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 【变式6-3】．第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 题型7求放回与不放回事件的概率 例7．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【变式7-1】．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 【变式7-2】．国际数学节（也称为国际数学日）是为了纪念中国古代数学家祖冲之而将每年的3月14日设立的节日．某校为引导学生发现数学的乐趣，激发他们对数学的兴趣，在国际数学节策划了“A．竞速华容道”“B．妙移汉诺塔”“C．玩转幻方”和“D．巧解九连环”四项挑战活动，要求学生每人只能参加其中一项．该校的明明和琪琪对四个活动都很感兴趣，不知如何选择，于是两人决定采用摸球的方式来选择．两人规定：在一个不透明的口袋中装有标有字母A、B、C、D的四个小球，分别代表四项活动，这些小球除字母外其余都相同，搅匀放好．明明先从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动，且要求摸到A或B放回，摸到C或D不放回；琪琪再从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动． (1)“明明摸到标有字母D的小球”属于________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求两人均未选到“B．妙移汉诺塔”活动的概率． 【变式7-3】．在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． (1)从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球和摸出黑球的概率是否相同？______（填“是”或“否”）； (2)嘉嘉说：从该箱子中摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 淇淇说：从该箱子中摸出一个球记下颜色后放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请选择其中一人的说法，判断其说法是否正确并说明理由． 题型8通过概率计算确定游戏的公平性 例8．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案： 方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球． 方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球． 对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由． 【变式8-1】．某班有名同学，其中男生人，女生人． (1)若从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率； (2)若只在甲、乙两人中选人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图说明理由； (3)在（）中，只将四张牌面数字分别为的扑克牌中牌面数字为的换为，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）． 【变式8-2】．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【变式8-3】．由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 题型9 模拟试验 例9．据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【变式9-1】．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？ （2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C 位置处的概率各是多少？ 【变式9-2】．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【变式9-3】．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时， (1)求三辆车全部同向而行的概率． (2)求至少有两辆车向左转的概率． (3)这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 例10．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【变式10-1】．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【变式10-2】．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【变式10-3】．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．（教材变式）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 2．小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 3．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（　　） “ A． B． C． D． 4．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号之和为5的概率是（    ） A． B． C． D． 5．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 6．班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 7．梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 (每小题4分，共20分) 9．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是 ． 10．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 11．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 12．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 13．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 16．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 17．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 18．美国著名心理学家马斯洛曾提出“人的五个需求层次理论”，认为“吃饱穿暖”只是人的最基本需求，而人的安全需求、社交需求、尊重需求和自我实现需求才是更高层次的需求，伴随我国经济快速发展和人民生活水平的提升，在满足了“吃饱穿暖”基本需求后，人们开始转向除物质需求之外的精神文化需求，文化旅游逐渐成为人们一种幸福、快乐、健康、美好的生活方式，是新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容．上图是近五年国内旅游的一个统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)图中2016一2020年国内游客人次的中位数是_____________亿人次． (2)根据上面统计图中的数据，请计算图中从2016年到2019年国内游客人次的增长率（精确到），并简要说明2019到2020年国内游客人次下降的原因． (3)小刚对旅游很感兴趣，他妈妈答应小刚在中考结束后，带他出去旅游，并提供了五个可以选择旅游的地方，分别是厦门、青岛、北京、太原、天津，小刚收集到了五大城市的图标，依次制成编号为的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的概率． 19．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 20．某校组织九年级学生进行掷实心球测试，将部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位；米）；A组：；B组：；C组：； D组：；E组：，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： (1)这部分男生有多少人？其中成绩优秀的有多少人？ (2)这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中C组对应的圆心角是多少度？ (3)要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 25.2用列举法求概率（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 直接列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法. 【注意】用列举法求概率的前提有两个： ①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 题型1用直接列举法求概率 例1．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由摘取顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是的概率是， 故选：C． 【变式1-1】．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列举法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列举所有可能结果及符合条件的结果，再利用概率公式求解． 【详解】解：记菊花图案那面为正，另一面为反，同时抛掷两枚1元的硬币，有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P（菊花图案都朝上）， 故选：C． 【变式1-2】．下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题主要考查概率公式的运用，先找出从四种化学试剂中选两种的所有组合情况，再确定能生成沉淀的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从4种化学试剂、、、中选2种的组合，有和、和、和、和、和、和共6种； 根据化学知识知： 和反应，化学方程式为，会生成沉淀； 和反应，化学方程式为，会生成沉淀， 其他组合反应不会生成沉淀， 所以能生成沉淀的组合有2种； 所以，生成沉淀的概率为， 故选：A． 【变式1-3】．从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、列举法求概率 【分析】本题考查用列举法求概率，以及三角形三边关系．先列举出从五条线段中任意选取三条，所有的可能，再用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断可以构成三角形的，最后根据概率计算方法即可得到答案． 【详解】解：从五条线段中任意选取三条，所有可能有： ， ， ， ， ， ， 其中构成三角形的有共3种， ∴能构成三角形的概率是， 故选：D． 知识点2： 列表法求概率 1）列表； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 题型2用列表法求概率 例2．从 ，1，2，3这四个数中任取两个不同的数作为一次函数的系数k、b，所得一次函数的图象不经过第四象限的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，当时，一次函数的图象不经过第四象限，列表如下； 1 2 3 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象不经过第四象限共有6种等可能的结果， ∴一次函数的图象不经过第四象限的概率是， 故答案为：． 【变式2-1】．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后指针指在分界线时重转，指针指向的数字之和为奇数的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出表格展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为： 【变式2-2】．从，，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ． 【答案】 【知识点】判断点所在的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表或画树状图法求概率，直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．先列表得出所有点的坐标情况以及第四象限点的坐标情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有种情况，在第四象限的情况有种， 该点在第四象限的概率是． 故答案为：． 【变式2-3】．端午节期间，小军和小新准备到沈阳的张氏帅府（记为）、故宫（记为）、北陵公园（记为）中的一个景点去游玩，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同． (1)小军选择去故宫（）旅游的概率是 ； (2)试用画树状图或列表的方法求小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率： （1）共三种选择，每种选择可能性相同，因此选择故宫的概率为总选择数的倒数； （2）通过列表分析小军和小新同去北陵公园的概率即可． 【详解】（1）三个景点中任选一个 ∴小军选择去故宫（）旅游的概率是； （2）列表如下： 小新 小军    由表格可知，共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中小军和小新都选择去北陵公园（）旅游的有种结果 ∴小军和小新都选择去北陵公园旅游的概率：． 知识点3：树状图法求概率 当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率。 1.两步试验树状图法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 注意： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；树状图适用于各种情况出现的数目较多时。 （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.树状图法适用于两步及以上的随机事件的概率 2.两步以上试验树状图法：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 细节剖析： (1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题 （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 画树状图求概率的基本步骤 （1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算. 题型3 用画树状图求涉及两个因素的概率 例3．从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图法求概率的方法，先列表或画图展示所有等可能的结果数，再找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率为，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为 ， 共有6种等可能的结果，它们是，其中点在第二象限的共2种结果，它们是， ∴点在第二象限的概率是 故选： ． 【变式3-1】．一年一度的校园“曦之声”即将拉开帷幕，九（1）班“明德”学习小组的小轩，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小轩被选中的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小思和小轩同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩， 画树状图为：    共有12种等可能的结果，其中小思和小轩同时被选中的结果数为2， ∴小思和小轩同时被选中的概率． 故答案为：． 【变式3-2】．为弘扬中华民族传统文化，某中学举办了“国学经典大赛”，比赛项目为：唐诗、宋词、论语、道德经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)李明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率P为______； (2)刘伟平和唐红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则他们都没有抽到“道德经”的概率是多少？利用列表法或树状图加以说明 【答案】(1) (2)，树状图见详解 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“唐诗”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的结果有6种， ∴刘伟平和唐红都没有抽到“道德经”的概率为． 【变式3-3】．在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2)不公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图分别求出小明胜的概率，小红胜的概率，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：画树状图为： 共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率，小红胜的概率， 这个游戏不公平． 题型4用画树状图求涉及两个因素以上的概率 例4．小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，比较概率得到正确选项即可． 【详解】解：将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，三次情况如下： 共有8种情况，1次正面向上、2次反面向上的情况共有3种， ； 将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，三枚硬币情况如下： 共有8种情况，1枚正面向上、2枚反面向上的情况共有3种， ； ． 故选：B． 【变式4-1】．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． (1)用列表法或画树状图法求两次传球后，球恰在B手中的概率； (2)用列表法或画树状图法求三次传球后，球恰在A手中的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图如图 共有4种等可能的结果．两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况， ∴两次传球后，球恰在B手中的概率为； （2）画树状图如图 共有8种等可能的结果．三次传球后，球恰在A手中的有2种情况， ∴三次传球后，球恰在A手中的概率为． 【变式4-2】．2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒2》和《唐探》深受观众喜爱．甲、乙、丙3人从这2部电影中任意选择一部观看． (1)甲选择《哪吒2》的概率是______． (2)求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择《哪吒2》的结果有1种，再利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲，乙，丙3人选择同1部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择《哪吒2》的结果有1种， 甲选择《哪吒2》的概率为． 故答案为：． （2）解：将电影《哪吒2》和《唐探》分别记为， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲，乙，丙3人选择同1部电影的结果有2种， 甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率为， 答：甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率为． 【变式4-3】．甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同， (1)3局比赛后，甲获胜的概率是 ； (2)若甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． （2）根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意画出树状图如下： 共有8种等可能的结果，3局比赛后，甲获胜的结果有种， ∴甲获胜的概率是， 故答案为： （2）解：根据题意画出树状图如下： 一共有4种等可能情况，甲队最终获胜的结果有3种， ∴甲队最终获胜的概率是． 题型5用画树状图求学科整合概率 例5．如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【答案】(1) (2) 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查全等三角形的判定，树状图法求概率，熟练掌握全等三角形的判定，画树状图法求概率，是解题的关键． （1）先判断能得到的结果，再利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）， 当时，． 当时，． 当时，无法得到． 概率是． 故答案为：． （2）如图： 共12种等可能的结果． 结合，其中 ①，②，∴； ②，①，∴； ②，④，∴； ④，②，∴， 满足要求的结果有4种． 【变式5-1】．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示． 理化实验操作内容物理 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验三：探究杠杆的平衡条件 化学 实验一：氧气的制取 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率； (2)请你用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 【答案】(1) (2)列表法的所有可能结果见详解， 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率的计算，具体涉及古典概率和用列表法或树状图法求概率． （1）化学实验共有3个（实验一、实验二、实验三），小李抽到化学实验一的情况只有1种，所以根据古典概率型概率公式可得抽到化学实验一的概率为； （2）利用列表法或树状图法先列举所有等可能结果，通过此方法可以得到理化实验题目的所有可能结果共有9种，再计算特定事件概率可得到最终结果． 【详解】（1）解：由题意知，化学共有三个实验可选，每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定， 则小李同学抽到化学实验一的概率为． （2）解：记物理实验一，实验二，实验三分别为A，B，C，化学实验一，实验二，实验三分别为a，b，c，列表如下： A B C a (A，a) (B，a) (C，a) b (A，b) (B，b) (C，b) c (A，c) (B，c) (C，c) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三只有1种结果， ∴， ∴小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为． 【变式5-2】．在一次物理实验操作测试中，要求学生在如图所示的四个实验中随机抽取一个实验作为自己的测试内容． (1)在这次物理实验操作测试中，随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是 事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若小明与小红都参加了本次测试，请用列表法或画树状图法，求小明与小红抽到相同实验的概率． 【答案】(1)随机，不可能 (2) 【知识点】事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据事件分类，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率即可． 本题考查了事件的分类，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得随机抽取一个实验，抽到“探究杠杆的平衡条件”是随机事件，抽到“探究液体内部压强影响因素”是不可能事件． 故答案为：随机 不可能． （2）解：方法一：将实验一、二、三、四依次用E，F，G，H表示，根据题意可列表如下． E F G H E （E，E） （E，F） （E，G） （E，H） F （F，E） （F，F） （F，G） （F，H） G （G，E） （G，F） （G，G） （G，H） H （H，E） （H，F） （H，G） （H，H） 由上表可知共有16种等可能的结果，其中小明与小红抽到相同实验的结果有4种，故所求概率       方法二：将实验一、二、三、四依次用E，F，G，H表示，根据题意可画树状图如下． 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中小明与小红抽到相同实验的结果有4种， 故所求概率 【变式5-3】．我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1） 类别 频数（人数） 频率 力学 0.45 热学 10 光学 30 0.3 电学 15 0.15 请根据图表信息来解答下列问题 (1)直接写出频数分布表中、的值：________，________． (2)直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数=________． (3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】(1)45，0.1 (2)108 (3) 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数求出频率b即可； （2）用乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）解：（人）， ， ∴参与“热学”实验的频率为， 故答案为：45；； （2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：； 故答案为：108； （3）解：画树状图，如图 共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则 ． 题型6用画树状图求实际问题概率 例6．第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某高校为了了解学生对亚运会的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，直接写出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，图见解析； (2)； (3)甲、乙同时被选中的概率为． 【知识点】求条形统计图的相关数据、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列表法或画树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用选项的人数除以所占的百分比即可求出，求出选项的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以选项的人数所占的百分比即可； （3）列出表格，得出共有种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有种，即可求解． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生人数为：（人）， 故答案为：， 选项的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：， ∴A所在扇形的圆心角度数为； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 【变式6-1】．小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； (2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）由列表法或树状图法得出所有结果及满足条件的结果，然后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小滨从中抽签，共有4种等可能结果，其中第一次恰好抽到婺源的有1种结果，概率． 故答案为：． （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种， ∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率． 【变式6-2】．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 【答案】(1) (2)商品的定价最高为55元，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解． （1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的概率． （2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定价的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图， 共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种， ∴从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率； （2）解：方案二中的定价最高为55元． 理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内， ∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； 由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内）， 从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； ∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得， 故方案二中商品的定价最高为55元． 【变式6-3】．第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】统计表、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了统计图、求扇形的圆心角度数，解题的关键是读得懂图表． （1）用总数减去前四名即可得到；根据中国金牌数除以总金牌数即可得出中国金牌占比； （2）利用印度国家代表队所得金牌占比乘上即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的机器人相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1），. （2）． 答：印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数约为． （3）将三个机器人分别记为，，，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的是同一个机器人的结果有3种， 两次抽到的是同一个机器人的概率为． 题型7求放回与不放回事件的概率 例7．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式7-1】．2024年中国航天取得了不少举世瞩目的成就，创造了多个航天史上的第一．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“致敬航天人，共筑星河梦”为主题的演讲比赛．九（1）班的李丹和王阳都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委会决定用摸球的方式确定人选．规则如下：在一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有，0，1，2四个数字．这些小球除数字不同外，其他都完全相同，将袋内小球充分搅匀．班长第一次先从袋中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字，摸到负数不放回，否则放回；搅匀后，他第二次再从中随机摸出一个小球，记录所摸到小球上的数字．若班长第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大，则李丹参加，否则，王阳参加． (1)班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为______； (2)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)这个规则对双方不公平，见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再得到第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果数，最后根据概率计算公式分别求出两人参加的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：班长第一次从4个小球中任意摸出1个球，摸到标有数字2的小球的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有15种等可能的结果， 其中第二次摸到的小球上的数字比第一次摸到的小球上的数字大的结果有6种， ，． ， 这个规则对双方不公平． 【变式7-2】．国际数学节（也称为国际数学日）是为了纪念中国古代数学家祖冲之而将每年的3月14日设立的节日．某校为引导学生发现数学的乐趣，激发他们对数学的兴趣，在国际数学节策划了“A．竞速华容道”“B．妙移汉诺塔”“C．玩转幻方”和“D．巧解九连环”四项挑战活动，要求学生每人只能参加其中一项．该校的明明和琪琪对四个活动都很感兴趣，不知如何选择，于是两人决定采用摸球的方式来选择．两人规定：在一个不透明的口袋中装有标有字母A、B、C、D的四个小球，分别代表四项活动，这些小球除字母外其余都相同，搅匀放好．明明先从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动，且要求摸到A或B放回，摸到C或D不放回；琪琪再从袋中任意摸出一个，并选择该小球上字母代表的活动． (1)“明明摸到标有字母D的小球”属于________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求两人均未选到“B．妙移汉诺塔”活动的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【知识点】事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了事件的分类，利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出所有的可能情况是解答本题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）根据题意即可列表表示出所有可能的情况，再从中找到符合题意的情况数，最后根据概率公式即可计算． 【详解】（1）明明摸到标有字母D的小球属于随机事件， 故答案为：随机； （2）根据题意列表如下：     明明琪琪 A B C D A B C / D / 由表可得，一共有14种等可能的结果，其中两人均未选到B活动的有7种结果，两人均未选到B活动的概率为． 【变式7-3】．在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． (1)从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球和摸出黑球的概率是否相同？______（填“是”或“否”）； (2)嘉嘉说：从该箱子中摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 淇淇说：从该箱子中摸出一个球记下颜色后放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请选择其中一人的说法，判断其说法是否正确并说明理由． 【答案】(1)是 (2)见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论． 【详解】（1）解：是； 理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种， ∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同， 故答案为：是； （2）解：选嘉嘉的说法： 嘉嘉的说法错误， 理由：根据嘉嘉的说法列表如下， 共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种， ∴摸出一白一黑的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为， ∴摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同， ∴嘉嘉的说法错误． 选淇淇的说法： 淇淇的说法正确， 理由：根据淇淇的说法列表如下， 共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黑的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有8种， ∴摸出一白一黑的概率为是，摸出颜色相同的小球的概率为． ∴摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同， ∴淇淇的说法正确． 题型8通过概率计算确定游戏的公平性 例8．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案： 方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球． 方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球． 对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由． 【答案】方案1，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率；分别就两种方案列表，求出概率并比较即可作出方案选择． 【详解】解：方案1，理由如下： 方案1： 第1个 第2个 红 红 黄 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄） 共有25种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有13种， P（摸到相同颜色的球）＝． 方案2： 第1个 第2个 红 红 黄 黄 黄 红 — （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄） 红 （红，红） — （红，黄） （红，黄） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） — （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） — （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） — 共有20种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有8种， P（摸到相同颜色的球）＝． ∵， ∴选择方案1更有可能获得精美礼品． 【变式8-1】．某班有名同学，其中男生人，女生人． (1)若从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率； (2)若只在甲、乙两人中选人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图说明理由； (3)在（）中，只将四张牌面数字分别为的扑克牌中牌面数字为的换为，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 (3)公平 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题围绕概率计算与游戏公平性判断展开． （）先算从名同学中选男生的概率，用男生人数除以总人数； （）用树状图法分析从中取张牌，按和的奇偶性决定甲乙参加，因奇数概率大，游戏不公平； （）换牌为，同样用树状图算出奇偶数概率相等，游戏公平； 【详解】（1）解：∵这个班有名同学，其中男生人，女生人， ∴从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员， 选到男生的概率是：； （2）树状图如下： 由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果， 其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种， 故牌面数字之和为奇数的概率是：， 牌面数字之和为偶数的概率是， ∵， ∴甲能参加的概率大于乙能参加的概率 ， ∴这个游戏不公平； （3）树状图如下： 由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果， 其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种， 故牌面数字之和为奇数的概率是：， 牌面数字之和为偶数的概率是：， ∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率， ∴这个游戏公平； 【变式8-2】．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【变式8-3】．由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】游戏公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，用列表法或树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况之比．列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平． 【详解】解：游戏公平，理由如下： 列表如下： 所有等可能的情况有种，其中两次指针所指数字都是奇数的情况有4种，都是偶数的情况也有4种， ∴，， ∴游戏公平． 题型9 模拟试验 例9．据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】概率的意义理解、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了概率的公式，用列表法或画树状图法求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率为设计即可求解； （2）画出树状图列出所有情况，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中某天A地，B地都下雨的情况有1种， ∴某天A地，B地都下雨的概率为． 【变式9-1】．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层位置的概率是多少？ （2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C 位置处的概率各是多少？ 【答案】（1）（2）， 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【详解】方法1：①实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半． 1分 画树状图可知，落到点位置的概率为．··············· 4分 ②同理可画树状图得，落到点位置的概率为．············ 8分 ③同理可画树状图得，落到点位置的概率为．··········· 12分 （注：①中画图1分，算出概率2分．②、③中画图2分，算出概率2分．） 方法2：（1）实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性会有以下的途径｛左右，右左｝两种情况，······························ 1分 而下落到第二层，共｛左左，左右，右左，右右｝四种情况············ 2分 由概率定义得························· 4分 （2）同理，到达第三层位置会有以下途径｛左右右，右左右，右右左｝三种情况 ······································ 5分 而下落到第三层共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八种情况    6分 由概率定义得··························· 8分 （3）同理，到达第四层位置会有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四种情况 9分 而下落到第四层共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情况 10分 由概率定义得························ 12分 方法3：本题也可用贾宪三角方法，先算出小球下落路径条数，如下图．由题意知：小球经过每条路径的可能性相同． 由概率定义易得，（其中画图2分，算出概率2分）···· 4分 ，（其中画图2分，算出概率2分）············ 8分 ．（其中画图2分，算出概率2分）······· 12分 （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！） 把每一层的菱形看做一步，经过几层就看做几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加．得到每一个菱形处向左或向右的概率均为 ，经过某点的概率为该点处的两个概率相加是解决本题的关键． 【变式9-2】．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【答案】（1） （2）模拟不正确，理由见解析． 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【详解】（1）图中肉馅的用表示，香肠馅的用表示，两只红枣馅的用表示：画树状图． 所以； （2）模拟不正确，此题属于不放回实验，而模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【变式9-3】．模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时， (1)求三辆车全部同向而行的概率． (2)求至少有两辆车向左转的概率． (3)这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1) (2) (3)向左转及直行的绿灯亮的时间都为（秒），向右转绿灯亮的时间为（秒） 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：分别用、、表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下： 由图可知：共有种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有种情况， （ 三辆车全部同向而行的概率） ； （2）解：至少有两辆车向左转的情况数有种， （ 至少有两辆车向左转 ）=； （3）解：汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，，， 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下： 向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒）， 向右转绿灯亮的时间为：（秒）． 例10．小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． (1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______； (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键分清是简单概率计算还是需要用树状图或者列表求概率； （1）根据简单的概率公式求出概率即可； （2）运用树状图法求出概率即可； 【详解】（1）解：按下一个开关这个事件一共有3种结果，其中走廊灯亮的结果一共有1种， ∴小明打开走廊灯的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的结果有2种； ∴客厅灯和走廊灯同时亮的概率是． 【变式10-1】．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【知识点】画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 补全条形统计图如下： （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【变式10-2】．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 8.0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求中位数、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【变式10-3】．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、折叠问题、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．（教材变式）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，观察图可得：它有种路径，且获得食物的有种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径， ∴它有种路径， ∵获得食物的有种路径， ∴获得食物的概率是：. 故选：B. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件、根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题考查了列举法求概率，三角形三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把所有可能的组合罗列出来，再结合三角形的三边关系进行判断，最后根据概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵长度分别是2，3，4，5， ∴从中任意取三根木条，所有可能的组合为：共4种组合， ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条不能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； 即能拼成三角形的组合共3种， ∴能拼成三角形的概率是， 故选：A 3．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（　　） “ A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答关键．先画出树状图可得到所有等可能的结果数以及发出“商”音，再发出“羽”音的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：把宫商角徵羽五个基本音阶分别记为1，2，3，5，6， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种， ∴发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为：A． 4．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号之和为5的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法求概率．根据题意画出树状图或列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球标号之和为5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 共有6种等可能的情况数，其中两次摸出的小球标号之和为5的有2种， 则两次摸出的小球标号之和为5的概率是； 故选：C． 5．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 6．班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数，再依次求出各选项中的事件的概率，进行对比则可获解． 【详解】解：根据题意，可画树状图如下： ∴抽到数字和为2的概率为0，故A选项错误； 抽到数字和为5的概率为，故B选项正确； 抽到数字和为3的概率为，故C选项错误； 抽到数字和为4的概率为，与抽到和为3、5的概率相同，故D选项错误； 故选：B． 7．梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D，用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出同时选择梅县松口和惠州博罗的情况，用概率公式求解即可． 【详解】将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D， 画树状图如下： ∴共有24种等可能结果，其中同时选择梅县松口和惠州博罗的情况有12种， ∴同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为． 故选：D． 8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 二、填空题 (每小题4分，共20分) 9．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种， ∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是． 故答案为：． 10．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键． 设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种， 这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是． 故答案为： 11．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【知识点】游戏的公平性 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 12．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，根据一元二次方程有两个不相等实数根，可得：，列表表示出的所有情况，可知共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种，所以满足有两个不相等实数根的概率是. 【详解】解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 13．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称图形、轴对称图形等知识点，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：中心对称图形的卡片是C，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． （2）解：轴对称图形的卡片有B和C， 根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 16．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 【答案】(1)共有4种情况，见解析 (2) 【知识点】列举随机实验的所有可能结果、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，利用画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握利用画树状图或列表法求概率并能熟练运用求解． （1）由题意计算即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有4种情况， 即，，，； （2）画树状图如下： 共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果， ∴棋子最终跳动到点C处的概率为． 17．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 18．美国著名心理学家马斯洛曾提出“人的五个需求层次理论”，认为“吃饱穿暖”只是人的最基本需求，而人的安全需求、社交需求、尊重需求和自我实现需求才是更高层次的需求，伴随我国经济快速发展和人民生活水平的提升，在满足了“吃饱穿暖”基本需求后，人们开始转向除物质需求之外的精神文化需求，文化旅游逐渐成为人们一种幸福、快乐、健康、美好的生活方式，是新时期人民群众美好生活和精神文化需求的重要内容．上图是近五年国内旅游的一个统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)图中2016一2020年国内游客人次的中位数是_____________亿人次． (2)根据上面统计图中的数据，请计算图中从2016年到2019年国内游客人次的增长率（精确到），并简要说明2019到2020年国内游客人次下降的原因． (3)小刚对旅游很感兴趣，他妈妈答应小刚在中考结束后，带他出去旅游，并提供了五个可以选择旅游的地方，分别是厦门、青岛、北京、太原、天津，小刚收集到了五大城市的图标，依次制成编号为的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】由条形统计图推断结论、求中位数、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了中位数的计算、增长率的实际应用以及随机事件概率的求解，解题的关键是掌握中位数的定义、增长率计算公式和用列表法（或树状图法）求概率的方法． （1）将年游客人次数据排序，根据数据个数确定中位数位置； （2）代入增长率公式（末期值初期值）/初期值计算，结合实际说明年下降原因； （3）列表列出两次抽卡的所有结果，找出符合条件的结果数，用概率公式计算． 【详解】（1）解：将年国内游客人次（单位：亿人次）按从小到大排序：、、、、．   数据共5个，中位数为第3个数据，即．   故答案为：． （2）解：年人次为亿，年人次为亿．   增长率=．   年下降原因：受新型冠状病毒肺炎疫情影响，居民出行受限．（答案不唯一） （3）列表如下： 由列表（或树状图）可知，一共有种情况，每种结果出现的可能性相等，其中抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的结果有2种， 则抽到的两张卡片恰好是编号为（青岛）和（天津）的概率为． 19．为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． (1)本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； (3)在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】(1)50人，图见解析 (2)等级C所对应扇形的圆心角的度数 (3)从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用树状图或表格求概率； （1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级C人数，据此补全条形统计图 即可解决问题； （2）根据等级C人数所占的百分比乘以，求出等级C所对应扇形的圆心角的度数即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人恰好是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数为人， 等级C人数是人， 补全条形统计图如下： （2）解：等级C所对应扇形的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的结果有4种， ∴从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为． 20．某校组织九年级学生进行掷实心球测试，将部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位；米）；A组：；B组：；C组：； D组：；E组：，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： (1)这部分男生有多少人？其中成绩优秀的有多少人？ (2)这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中C组对应的圆心角是多少度？ (3)要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率． 【答案】(1)这部分男生有50人，其中成绩优秀的有5人； (2)这部分男生成绩的中位数落在C组，扇形统计图中C组对应的圆心角是108度； (3)． 【知识点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据总人数×各组所占百分比=各组人数，计算出总人数以及C组人数，然后计算得出优秀人数； （2）将50人成绩由低到高排序即可得到中位数所在组，然后根据图表，直接计算C组圆心角的角度即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：这部分男生共有：（人）， C组有（人）， 优秀人数为：（人）； （2）由（1）知，这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人， 成绩的中位数落在C组，对应的圆心角为：； （3）成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为a，b，c，画树状图得： 共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况， 他俩至少有1人被选中的概率为：． 【点睛】本题主要考查了从图表中获取信息、扇形统计图和频数分布直方图的相关计算、中位数的定义、圆心角度数的求解，以及概率的计算等，掌握这些是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $