精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

巴楚县第一中学高一年级数学考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共9题，每题4分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1. 《九章算术》中注有“今算得失相反，要令正负以名之”，若盈余100元记作元，则元表示（   ） A. 亏损元 B. 盈余元 C. 亏损元 D. 不盈余不亏损 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合正数和负数的实际意义，即可求解. 【详解】根据题意，盈余为正数，则负数即为亏损，所以元表示亏损元. 故选：C. 2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中心对称图形的定义判断即可. 【详解】中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形. 对于A，不是中心对称的图形，故A错误； 对于B，不是中心对称的图形，故B错误； 对于C，是中心对称的图形，故C正确； 对于D，不是中心对称的图形，故D错误. 故选：C. 3. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别对应实数a，b，c，d，则下列各式的值最小的是（ ） A. B. | b| C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义选择即可. 【详解】由数轴可知，点C到原点的距离最小，故最小. 故选：C. 4. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据代数式的运算逐项分析判断. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的步骤和全等三角形的判定方法可得结果. 【详解】根据作法可知，，， ， . 故选：B. 6. 一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象即可得出结论. 【详解】由函数图象可知其过点，即， 则，，显然方程的解为. 故选：C 7. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形性质可知，可求得三角形的面积. 【详解】由正方形的面积为16可得，即； 又易知，可知； 因此，所以. 故选：B 8. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母可得， 整理化简得， 解得， 检验：把代入， 所以分式方程无解，故D正确. 故选：D. 9. 如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在线段上运动时，线段的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接对角线，利用等角关系构造相似三角形，确定动点G的轨迹为平行的线段即可. 【详解】 如图所示过G点作交AB于H点，，垂足为I， 作， 易知，则， 所以∽，则，即， 在中，由可得， 所以G到的距离始终不变，即动点G的轨迹为与平行的线段， 当F与B重合，此时G与M重合，当F与C重合，此时G与N重合. 所以. 故选：C 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义列出不等式即可求解. 【详解】依题意可知，解得， 故答案为： 11. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】由科学记数法可得答案. 【详解】由题知可得. 故答案为： 12. 小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差计算公式推断出这组数据的构成，根据众数的定义作答. 【详解】由方差计算公式可知，这组数据是由两个，三个和一个组成， 出现次数最多的是8，出现了三次，所以众数是8. 13. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根及韦达定理，对目标式变形代值计算即可. 【详解】∵m，n是方程的两个实根， ∴，，即． ∴． 故答案为： 14. 如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】在圆内接四边形中，， 则，， 因为，则， 所以. 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，为延长线上一点，连接交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用，得到，根据勾股定理得到，进而求出，作，垂足为，利用三角形面积公式得到，依次求出，，最后再次使用勾股定理即可. 【详解】因为四边形是矩形，所以，即， 可得，，即，，， 根据勾股定理，， 则，解得， 如图所示，作，垂足为， 因为， 所以，解得， 根据勾股定理，， 则， 根据勾股定理，. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共8题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可. 【详解】（1）因为，解得，可得， 解集在数轴上表示如下图所示： （2）因为，配方可得， 则，所以. 17. （1）解不等式组：． （2）李华家到学校的路是一段平路和一段下坡路，已知李华在平路骑自行车的速度为240米/分钟，在下坡路骑自行车的速度为320米/分钟，在上坡路骑自行车的速度为160米/分钟，若李华从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．请问李华家与学校的距离是多少？（不考虑其他因素） 【答案】（1），（2）5600米 【解析】 【分析】（1）分别求解一元一次不等式，即可求， （2）设出平路用的时间，即可根据路程相等列方程求解. 【详解】（1）由可得， 由可得，解得， 故不等式组的解为 （2）设平路上用时为分钟，则下坡用时为分钟，上坡用时为分钟， 因此，解得， 故李华家与学校的距离为米 18. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下： 男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98． 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 男、女生被抽取的竞赛成绩统计表： 性别 男生 女生 平均数 76 76 中位数 76 众数 87 优秀率 40% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？ 【答案】（1）， （2） 女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异， 由于男女生竞赛成绩的平均数，优秀率相等，但女生成绩的中位数以及众数均高于男生，因此女生的成绩更加优异. （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数以及优秀的定义，即可求解， （2）根据中位数以及众数的大小比较即可求解， （3）由优秀率即可计算得解. 【小问1详解】 由扇形图可知：A组和B组的人数一共有个人， 故中位数为从小到大排列的第10个数和第11个数的平均数， 且C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 故女生的20个数据中从小到大排列的第10个数和第11个数分别为76，78， 因此女生的中位数 男生数据中86出现了3次，是出现次数最多的，故， 女生中数据位于C组的比例为，故位于D组的比例为 故位于D,E两组的数据为优秀，因此女生的优秀率为，故 故答案为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于男女生成绩的优秀率均为，故该校学生成绩的优秀率为， 因此优秀的人数为（人） 19. 如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到A点时，测得A到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从A点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，． 【答案】10.9（米） 【解析】 【分析】解，求出，再解，求出，根据，即可求得答案. 【详解】依题意，，，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴ （米）, 答：无人机从A点到点的上升高度约为米. 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点A的横坐标为2，将沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线，与y轴交于点B，与交于点C，点C的纵坐标为，与y轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再由平移得到直线的解析式，进而根据题意求出点的坐标，假设的直线方程，分别代入的坐标和的坐标即可求解； （2）由（1）可得的坐标，利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 把代入，得， 点的坐标为． 将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 将代入，得， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过， ，解得 直线的解析式为． 【小问2详解】 ， 当时，， 点的坐标为． 点， 的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． （3）若在直线上有一点，的面积等于，求满足条件的点的坐标； 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用点的坐标，求出反比例函数中的参数以及一次函数中的参数，即可求得答案； （2）数形结合，即可得答案； （3）设出P点坐标，利用三角形面积，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知点的坐标为，代入， 得，则反比例函数表达式为； 点的坐标为且，故， 则的中点为，将的坐标代入， 即，解得， 故一次函数的表达式为. 【小问2详解】 由图象可知当以及时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 即的解集为或. 【小问3详解】 设，由的面积等于，, 得，则， 将代入，得或，即或， 故满足条件的点的坐标为或. 22. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 连接OC，OD， 因点C是半圆的中点，则，. 又与为对顶角，则，. 因，则，. 又易得，则，从而， 则，从而是的切线； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接OC，OD，通过证明可完成证明； （2）由可得，然后由（1）结合，可得 ，据此可得，结合，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得为同弧所对的圆周角，则. 因，则，又易得，则. 由（1），注意到，又， 则，又，则. 又，则，则，结合， 可得，则，又是的直径， 则的半径为. 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 是以为底边作等腰直角， ，，， ，，， 在中，，同理，，， ，，. （3）正方形的边长为3． 【解析】 【分析】（1）通过已知的两个直角和，推导出，再结合和这两个条件，利用边角边判定定理证明出，从而得到的结论. （2）利用等腰直角得到，再根据已知条件得到，从而在中得到，同理得到，通过成比例线段从而得到，再利用相似比得到. （3）连接，利用四边形是正方形得到和，利用和是正方形的对角线，得到，从而得到，再结合第（2）问的方法得的长度，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理得到，代入数值得到正方形的边长. 【小问1详解】 ，，， ，，， ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是正方形，，， 和是正方形的对角线，， ， 同（2）的方法得， 设正方形的边长为，则，， 中，，根据勾股定理得， ，（舍去）或，即正方形的边长为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学高一年级数学考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共9题，每题4分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1. 《九章算术》中注有“今算得失相反，要令正负以名之”，若盈余100元记作元，则元表示（   ） A. 亏损元 B. 盈余元 C. 亏损元 D. 不盈余不亏损 2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别对应实数a，b，c，d，则下列各式的值最小的是（ ） A. B. | b| C. D. 4. 下列运算中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 8. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 9. 如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在线段上运动时，线段的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 11. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米．数据用科学记数法表示为______． 12. 小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的众数是 _____． 13. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 14. 如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是_______． 15. 如图，在矩形中，，，为延长线上一点，连接交于点，连接．若，则的长为_____． 三、解答题：（本大题共8题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. （1）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 17. （1）解不等式组：． （2）李华家到学校的路是一段平路和一段下坡路，已知李华在平路骑自行车的速度为240米/分钟，在下坡路骑自行车的速度为320米/分钟，在上坡路骑自行车的速度为160米/分钟，若李华从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．请问李华家与学校的距离是多少？（不考虑其他因素） 18. 3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下： 男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98． 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 男、女生被抽取的竞赛成绩统计表： 性别 男生 女生 平均数 76 76 中位数 76 众数 87 优秀率 40% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？ 19. 如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到A点时，测得A到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从A点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点A的横坐标为2，将沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线，与y轴交于点B，与交于点C，点C的纵坐标为，与y轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请观察图象直接写出不等式的解集． （3）若在直线上有一点，的面积等于，求满足条件的点的坐标； 22. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的半径． 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $