精品解析：黑龙江省绥化市海伦市2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度第一学期期初测试 初三数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义，化简判断即可． 【详解】A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意； B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，求一个数的算术平方根，立方根，熟练掌握相反数的定义，准确进行化简计算是解题的关键． 2. 两条直线被第三条直线所截，则（　　） A. 同位角一定相等 B. 内错角一定相等 C. 同旁内角一定互补 D. 以上结论都不对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的性质，平行线的性质，当两条互相平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，根据题意，两直线不平行，所以A、B、C三项均不正确． 【详解】解：∵两条被截的直线不平行， ∴截得的同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补， 故选：D． 3. 已知a＜b，则下列式子正确的是（ ） A. a＋5＞b＋5 B. 3a＞3b C. ﹣5a＞﹣5b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：∵a＜b， ∴a＋5＜b＋5，3a＜3b，﹣5a＞﹣5b，， 即A、B、D错误，C正确， 故选：C 【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．． 4. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A. a＜4 B. a=4 C. a≤4 D. a≥4 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 由①得：x＞4， ∵不等式组无解， ∴a≤4． 故选C 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 5. 关于的方程组的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将代入得出关于的二元一次方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程组的解为， ∴，解得： ∴， 故选：C． 6. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 无数条直线可交于一点 B. 直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条 C. 直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条 D. 互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，过一点可以画无数条直线，所以无数条直线可交于一点，选项A正确； 选项B，直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条，选项B正确； 选项C，直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条，选项C正确； 选项D、互为邻补角的两个角还有可能都是直角，选项D错误． 故选D． 8. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 9. 设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 （　　） A. ■、●、▲ B. ■、▲、● C. ▲、●、■ D. ▲、■、● 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一个天平所称的情况，得出2■＞■+▲，即■＞▲，再根据第二个天平称的情况，得出3●=▲+●，即▲=2●，那么■、▲、●这三种物体按质量从小到大的顺序排列即可解决． 【详解】∵ 2■＞■+▲， ∴ ■＞▲， ∵，3●=▲+●， ∴▲=2●， 即，●＜▲， ∴●＜▲＜■， ●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列是：■、▲、●． 故选B． 【点睛】解答此题的关键是，根据天平的两次称量情况，得出三种物体的质量之间的关系，即可做出选择． 10. 某商场对顾客实行如下优惠方式：（1）一次性购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次性购买金额超过1万元，超过部分9折优惠．某人第一次在该商场付款8000元，第二次又在该商场付款19000元，如果他一次性购买的话可以节省（ ） A. 600元 B. 800元 C. 1000元 D. 2700元 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出第一次及第二次如果不打折需要付款的金额，然后按照优惠政策计算即可． 【详解】解：第一次购买付款8000元，可知没有得到打折优惠， 第二次付款19000元，获得了打折优惠， 设如果不打折第二次应付x元，则10000+ (x- 10000) ×0.9=19000， 解得：x=20000， 故他一次性购买的话需要付款：10000+ (28000- 10000) ×0.9 =26200（元）， 则可节省27000 - 26200=800元． 故选B． 【点睛】本题考查的是用一元一次方程解决实际问题，理清题意，由题意列出一元一次方程是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 如图，若，，，则___________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，一元一次方程的应用，根据垂直的定义得出，设，则，进而得出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 则． 故答案为：． 12. 已知：，那么a＋b的值为________. 【答案】-3 【解析】 【详解】解： ∴a−2=0，b+5=0， ∴a=2，b=−5； a+b=2−5=−3. 故答案为：−3 13. 如果一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数， 所以 解得 ∴ ． 即这个数是49． 故答案为：49． 14. 若，则用含 x的代数式表示 y为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如果不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据口诀：“大大小小找不到”，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 16. 已知满足，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】仔细观察两个等式中的、、的系数知，两式相加得，由此即可解题． 【详解】、、满足①，②， ①②得：， 即：， 所以． 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是解三元一次方程组．解答此题时，注意寻找其中的技巧，即两个等式相加后，恰好是的4倍． 17. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对________道题，成绩才能在60分以上． 【答案】12 【解析】 【分析】找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．得到不等式6x-2（15-x）＞60，求解即可． 【详解】解：设答对x道 故6x-2（15-x）＞60 解得：x＞ 所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上． 故答案为：12． 【点睛】考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 18. 关于的方程的解是非负数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得：． 故答案为：． 19. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，3，4，5小组的频数分别是3，19，15，5，则第2小组的频数是____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查频数和频率的知识，注意掌握每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．总数减去其它四组的数据就是第2组的频数． 【详解】解：根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，19，15，5，共， 而样本总数为50， 则第二小组的频数是． 故答案为：8． 20. 如图，下列用黑白两种正方形进行镶嵌的图案中，第个图案白色正方形有___________个． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了图形规律探究；利用个图形中白色正方形的个数，即可得出数字的变化规律，得出答案即可． 【详解】解：利用第个图形中白色正方形的个数为：，第个图形中白色正方形的个数为，第个图形中白色正方形的个数为：， 以此类推，第个图案白色正方形有：． 故答案为：． 三、解答题 21. （1）解方程组 （2）计算：． （3）解不等式组并把解集在数轴上表示出来；并写出不等式组的所有非负整数解． 【答案】（1）； （2）； （3），所有非负整数解为，， 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，实数混合运算、解一元一次不等式组等知识； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）由算术平方根、立方根、去绝对值先计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （3）先解不等式组中各个不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求解后，再用数轴表示即可，进而求得所有非负整数解． 【详解】解：（1） 得： 解得： 将代入①得： 解得： ∴方程组的解为： （2） （3）， 由①得； 由②得； 综上所述，原不等式组的解集为， 所有非负整数解为，． 22. 如图，用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知该图案的周长为，小正方形的周长为，若用、表示长方形的两边的长，求、的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意和图形可得两个等式，即该图案的周长和正方形的周长，小正方形的边长为，大正方形图案的边长为，进而列方程组求解． 【详解】解：依题意， 解得： 23. 如图，DE平分∠ADF，DF∥BC，点E，F在线段AC上，点A，D，B在一直线上，连接BF． （1）若∠ADF＝70°，∠ABF＝25°，求∠CBF的度数； （2）若BF平分∠ABC时，求证：BF∥DE． 【答案】（1）∠CBF＝45°；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件即可求出∠CBF的度数； （2）根据平行线的性质可得∠ABC＝∠ADF，再根据BF平分∠ABC，DE平分∠ADF，可得∠ADE＝∠ABF，再根据同位角相等，两直线平行即可证明BF∥DE． 【详解】解：（1）∵DF∥BC， ∴∠ABC＝∠ADF＝70°， ∵∠ABF＝25°， ∴∠CBF＝70°﹣25°＝45°； （2）证明：∵DF∥BC， ∴∠ABC＝∠ADF， ∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADF， ∴∠ADEADF，∠ABFABC， ∴∠ADE＝∠ABF， ∴BF∥DE． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 24. 如图，三角形A′B′C′是三角形ABC经过某种变换后得到的图形． （1）分别写出点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标； （2）观察点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标，用文字语言描述它们的坐标之间的关系 ； （3）三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点M′，则点M′的坐标为 ． 【答案】解：（1）A（-2，4），A′（2，4），B（-4，2），B′（4，2），C（-1，-1），C′（1，-1）；（2）横坐标互为相反数，纵坐标相等；（3）（-x，y） 【解析】 【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可； （2）探究规律，利用规律解决问题即可； （3）利用（2）中结论解决问题即可． 【详解】解：（1）A（-2，4），A′（2，4），B（-4，2），B′（4，2），C（-1，-1），C′（1，-1）； （2）观察可知：横坐标互为相反数，纵坐标相等 故答案为：横坐标互为相反数，纵坐标相等； （3）三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点M则点的坐标为（-x，y）． 故答案为：（-x，y）． 【点睛】本题考查几何变换类型，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. 如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，求∠4的度数． 【答案】∠4＝72°． 【解析】 【分析】先由邻补角的定义求出∠6=180°-108°=72°，再由已知，得∠1=∠5，所以a∥b，再根据两直线平行，内错角相等求∠4的度数． 【详解】如下图所示， ∵∠3+∠6＝180°，∠3＝108°， ∴∠6＝180°﹣108°＝72°， ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠5＝180°， ∴∠1＝∠5， ∴a∥b， ∴∠4＝∠6＝72°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 26. 是的平方根，是的立方根，是绝对值为的数，求的值． 【答案】或##2或20 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，绝对值以及求代数式的值，根据平方根和立方根的计算方法先求和，再根据绝对值的求法计算出的值，最后再求的值． 【详解】解：∵是的平方根，是的立方根，是绝对值为的数， ∴，，， 当时，． 当时，． 27. 某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表： （总利润=单件利润×销售量） 商品 价格 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B种商品最低售价为每件多少元？ 【答案】（1）该商场购进、两种商品分别为200件和150件； （2）种商品最低售价为每件1100元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． （1）设购进种商品件，种商品件，列出方程组可求解． （2）由（1）得商品购进数量，再求出商品的售价． 【小问1详解】 解：设购进种商品件，种商品件， 根据题意得 化简得， 解之得． 答：该商场购进、两种商品分别为200件和150件； 【小问2详解】 解：由于商品购进400件，获利为 （元）， 从而商品售完获利应不少于（元）， 设商品每件售价为元，则 ， 解之得． 所以种商品最低售价为每件1100元． 28. 下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． （1）如图1，若、，则___________； （2）如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； （3）如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】（1） （2） （3） 解：，证明如下： ， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【小问1详解】 解：过作，，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期初测试 初三数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 2与 2. 两条直线被第三条直线所截，则（　　） A. 同位角一定相等 B. 内错角一定相等 C. 同旁内角一定互补 D. 以上结论都不对 3. 已知a＜b，则下列式子正确的是（ ） A. a＋5＞b＋5 B. 3a＞3b C. ﹣5a＞﹣5b D. 4. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A. a＜4 B. a=4 C. a≤4 D. a≥4 5. 关于的方程组的解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 无数条直线可交于一点 B. 直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条 C. 直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条 D. 互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角 8. 如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 （　　） A. ■、●、▲ B. ■、▲、● C. ▲、●、■ D. ▲、■、● 10. 某商场对顾客实行如下优惠方式：（1）一次性购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次性购买金额超过1万元，超过部分9折优惠．某人第一次在该商场付款8000元，第二次又在该商场付款19000元，如果他一次性购买的话可以节省（ ） A. 600元 B. 800元 C. 1000元 D. 2700元 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 如图，若，，，则___________． 12. 已知：，那么a＋b的值为________. 13. 如果一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 14. 若，则用含 x的代数式表示 y为_____． 15. 如果不等式组无解，则m的取值范围是________． 16. 已知满足，则_____． 17. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对________道题，成绩才能在60分以上． 18. 关于的方程的解是非负数，则的取值范围是___________． 19. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，3，4，5小组的频数分别是3，19，15，5，则第2小组的频数是____________． 20. 如图，下列用黑白两种正方形进行镶嵌的图案中，第个图案白色正方形有___________个． 三、解答题 21. （1）解方程组 （2）计算：． （3）解不等式组并把解集在数轴上表示出来；并写出不等式组的所有非负整数解． 22. 如图，用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知该图案的周长为，小正方形的周长为，若用、表示长方形的两边的长，求、的值． 23. 如图，DE平分∠ADF，DF∥BC，点E，F在线段AC上，点A，D，B在一直线上，连接BF． （1）若∠ADF＝70°，∠ABF＝25°，求∠CBF的度数； （2）若BF平分∠ABC时，求证：BF∥DE． 24. 如图，三角形A′B′C′是三角形ABC经过某种变换后得到的图形． （1）分别写出点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标； （2）观察点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标，用文字语言描述它们的坐标之间的关系 ； （3）三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点M′，则点M′的坐标为 ． 25. 如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，求∠4的度数． 26. 是的平方根，是的立方根，是绝对值为的数，求的值． 27. 某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表： （总利润=单件利润×销售量） 商品 价格 A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1350 1200 （1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？ （2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B种商品最低售价为每件多少元？ 28. 下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． （1）如图1，若、，则___________； （2）如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； （3）如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $