湖北省汉川市金益高级中学2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试卷

缺考填涂标记 ▣ 金益高中高三九月份起点考试数学答题卡 准考证号 姓名： 班级： 0■ 0 ■0 考号： 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔 填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄 破。 9☐ 9■ 9 选择题(58分) 1AB□CD□ 5A□B□CD 9AB□CD 2ABCD□ 6 ABCD 10ABC☑D AB 7 4AB 8 填空题(15分)》 12. 13. 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共4页） 解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第2页（共4 页) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第3页（共4 页) 17.(15分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第4 页（共4页） 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第5页（共6 页) 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效第6页（共6 页)5 7 9 10 11 B B 0 B C D C ABC ACD ACD 12【答案】-2或1 13【答案】2 14【答案】4+25 14:【分析】根据正弦定理边角化可得2 sin AcosC=2sinB+sinC,即可利用正弦和差角公 式求解A=号，利用等面积法可得b+c=c,进而根据基本不等式即可求解。 【详解】：cosC=2+ -bacosC-2+c a 2a .2sin AcosC =2 sin B+sin C, 2sin AcosC=2sin(A+C)+sin C, 2sin A cosC=2sin AcosC+2 cos Asin C+sin C, .2 cos.A4sinC=-sinC,.sinC≠0， coA=-2Ae(0,四A=2 1 3 1 &SM+Sen=S4e一cx1xsin60+bx1xsin60三be sin120,得b+c=bc 2 由bc=b+c≥2bc,得bc≥4，当且仅当b=c=2时，等号成立 又d=b:+c2-2xcos2亚-6°+e+bc,a=VB+c+be△4BC的周长 3 a+b+c=Vb+c2+bc+bc2√3bc+bc≥4+2V3,当且仅当b=c=2时，等号成立. 故答案为：4+2√5 15.某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖 的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽 取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券 (1)求该顾客至少中奖1次的概率： (2)设该顾客中奖的总次数为X,求X的分布列和数学期望 【答案】(1)0.82 （2)分布列见解析，数学期望为1.3 【解析】 【分析】(1)“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系 求解： (2)确定X的可能取值，求得相应概率即可求解 【小问1详解】 设事件A为“至少中奖1次”，则事件A为“没有一次中奖”. 则P(A)=1-P(A)=1-(1-0.4)(1-0.5)=0.82 【小问2详解】 由题可得X的取值为0,1,2,3， P(X=0)=0.62×0.5=0.18,P(X=1)=C2×0.4×0.6×0.5+0.62×0.5=0.42, P(X=2)=0.42×0.5+C2×0.4×0.6×0.5=0.32,P(X=3)=0.42×0.5=0.08, 则X的分布列为： X 0 1 2 3 0.18 0.42 0.32 0.08 数学期望E(X)=0×0.18+1×0.42+2×0.32+3×0.08=1.3 16.已知函数f(x)=x2+3x,f(n)为数列{a}的前n项和， (1)求{a}的通项公式： 1 (2)记数列 a,f'(2n) 的前”项和为7，证明：< 7 【答案】(1)4n=2n+2 (2)答案见解析 【解析】 【分析】(1)利用a。=S。-S1,可求出{a}的通项公式，注意检验a是否满足即可得解： 1 （2)由导数得af(2m2n+1)4n+3)·利用不等式放缩的原理得到 x 得到答案 【小问1详解】 由题意知，{a}的前n项和Sn=n2+3n, 当n=1时，4=S=1+3=4, 当n≥2时，a.=Sn-Sm1=m2+3n-(n-1)-3(n-1)=2n+2, 经检验，4=4满足an=2n+2, ∴{a}的通项公式为a.=21+2: 【小问2详解】 证：：f'(x)=4x+3,.f'(2n)=4n+3 1 1 “a.f'(2m)(2n+2)(4+3)2(n+1(4n+3) 1 11-1.11 又2n+1(4n+3)2n+14n8n+8n(m+可 a70】 x:片小m 1 <1 17.如图，圆锥的顶点为P,AB为底面圆直径，O为AB中点，M为母线PB的中点，点N 在底面圆周上，且N⊥AB M B (1)证明：△OBN是等边三角形； (2)若AB=4,直线AB与平面OMN所成角的正弦值为y66 求点P到底面的距离。 11 【答案】(1)证明见解析； (2)2√5 【解析】 【分析】(1)若C为OB的中点，连接MC,NC,根据已知、线面垂直的判定、性质定理 得OB⊥NC,结合等腰三角形的性质有ON=BN,结合ON=OB即可证： (2)设OP=2a>0,构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出直线AB与平 面ON的方向向量和法向量，根据已知及向量法列方程求参数值，即可得 【小问1详解】 取C为OB的中点，连接MC,NC,又M为母线PB的中点，则MC//OP, 由题意，知OP⊥AB,故MC⊥AB,又N⊥AB,MC∩N=M, 又MC,NC平面MCN,则AB⊥平面MCN,NCc平面MCN, 所以AB⊥NC,即OB⊥NC,C为OB的中点，易知ON=BN,且ON=OB, 所以△OBN是等边三角形： P M 【小问2详解】 由题意，点P到底面的距离，即为OP的长度，设OP=2a>0,则CM=a, 如图构建空间直角坐标系O-x,AB=4,则 A(0,-2,0),B(0,2,0),M(0,1,a),N(V3,1,0), 所以AB=(0,4,0),OM=(0,1,,ON=(5,1,0), m.OM=y+az=0 若m=(x,y,)是平面OMN的一个法向量，则 m.ON=3x+y=0 取x=a,y=-√3a,z=√5，则m=(a-V3a,V5), 令直线AB与平面OW所成角为B,则sin0=三- m.AB 4V3a 166 m‖AB|' 4×V4a2+311 所以3江，6，可得a=V5,故OP=2N2, 4a2+311 所以点P到底面的距离2√2 18记双曲线及术y 云6=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳￡，其上一点A(3,2)满 足FA-F4=2 (1)求E的渐近线方程； (2)记E的右顶点为B,射线BA上两点P,e满足BP+BQ=4W2 (i)若点P的横坐标为l,求点Q的坐标（用m表示）： (i)已知点M在圆r2+(y+a)=d2上，若aRPR,的面积为V6 求Mg的取值范围， 【答案】(1)y= 2 (2)(i)(6-,5-m）(i)4V2-1,4W2+1 【解析】 【分析】(1)由双曲线的定义及题中条件可求出4，b的值，从而求得E的渐近线方程； (2)(i)由题意可得B(1,0),由点斜式确定AB的方程，设Q的横坐标为n,再根据两点 之间的距离公式和题中条件|BPI+|BQ1=4W2,求得n=6-m,从而可得点O的坐标为 (6-m,5-m): (i)首先根据双曲线E的方程求出F1F2=V6,再根据(i)中结论及SAFPF2=ylF1Fz, 确定Q(4,3),又圆x2+(y+a)2=a2的圆心为N(0,-1),半径为r=1,将M@的取值范 围转化为定点Q(4,3)到圆上一动点的距离问题即可求解。 【小问1详解】 由双曲线的定义知，IF1A-1F2A=2=2a,可得a=1, 将点A(32代入双曲线E:是=1·则9-素1，在方了 因此可得E的方程为：x2-2y2=1, 则E的渐近线方程为y=士 2 【小问2详解】 (①)显然B(1,0),而A(3,2),故AB的斜率k=2-0=1, 3-1 因此可得AB的方程为y=x-1, 故P(m,m-1),设Q的横坐标为n, 则Q(m,n-1),于是BPI+lBQl=V1+kz(Im-1+|n-1)=√2(m+n-2)=4W2, 故n=6-m, 于是点0的坐标为(6-m,5-m). (》沿用（①的结论，记E的半焦距为6，则c=V+6= 2 √6 r(9只0 则|F1F2l=V6,由己知m≥1， 故Sa,,=9=pF,F2=0m-1)F,F2-=6m-1),解得m=2,放O(4,3), 由(1)a=1,所以圆的方程为x2+(y+1)2=1,圆心为N(0,-1),半径为r=1, 于是1MQ1≤1wQ1+r=4+(-1-3)2+1=4W2+1,且IMQ1≥IwQI-r=4W2-1, 故M@的取值范围为[4W2-1,4W2+1. VA 19.设函数f(x)=sin3x-asinx (1)当a=3时，讨论f(x)的单调区间： (2)已知-2≤f(x)≤a. (i)求a的取值范围； (i)证明：f(x)≤2a2x2 【答案】(1)减区间 2a-号2kr+ 2(kez) (2)(i) 33 (i)证明见详解 【解析】 【分析】(1)求导，判断导数的正负得解： (2)(i)根据题意，只需让f(x)的所有极值均在[-2，a]内即可，求出极值运算得解；(i) 当x=0时，显然成立；当x≥1时，由f(x)≤a≤2a2x可证：当x∈(0,1)时，等价于证明 1 1 sinx≤asinx+2ax,先证明n'x≤2nx+,设h()=-sinx,利用导数证明 Sinx<x,得证；当x<0时，取g(x)=x(f(x)-2a2x),可判断g()=xy(x)是偶函数， 从而证明xf(x)≤2a2x2成立. 【小问1详解】 当a=3时，f(x)=sin3x-3sinx,则f'(x)=3sin2 xcosx-3cosx=-3cos3x, 当xe(2km-乏2km+)k∈z)时，f'(x)<0, 当xe(2km+22km+kE2)时，f(x)>0, 所以f(x)的单调增区间为(2kπ+2,2kπ+)(k∈2)， 单调减区间为(2km-,2km+习(k∈2)， 【小问2详解】 (i)f=1-a,由-2≤f(月≤a,解得ae[3], f(x)=3sin2xcosx-acosx=3cosx(sin2x-4). 记c0sx=0,sinx=±1，f(x1)=sin3x1-asinx1=(1-a)sinx1=±士(1-a), (-2≤±(1-a)≤a 因为-2≤f(x)≤a恒成立， 故 -2≤±2y3a6≤a1 9 任≤a≤3 则 0sasg解得sas3, a≥-1 1 2 4 (0≤a≤3 所以a的取值范围是 23 (ii)当x=0时，等号成立； 下面证明当x>0时，f(x)≤2a2x, 当x≥1时，有x≥1≥云故2dx2a,此时f)≤a≤2a2x,符合题意， 现考虑当x∈(0,1)时，f(x)≤2a2x成立，等价于证明sin3x≤asinx+2a2x, 1 1 不妨先证明simx≤2i血x+2,设h(x)=X-ix,则H(y=1-cosx≥0， 故h(x)在(0,1)上单调递增，于是h(x)>h(0)=0,故sinx<x, 于是sinx<x,而sin3x-sinx=six(si2x-1)<0, 1 。11 故sin3x<sinx<-x+-sinx≤asin x+2a2x, 22 故当x∈(0,1)时，f(x)≤2a2x成立： 于是当x≥0时，f(x)≤2a2x成立： 取g(x)=x(f()-2a2x),当x≥0时，g(x)≤0， y(x)=f(x)-2a2x=sin3x-asinx-2a2x Hy(-x)=sin3(-x)-asin(-x)-2a2(-x)=-(sin3x-asinx-2a2x)=-y(x), 故y(x)是奇函数， 所以g(x)=xy(x)是偶函数，于是当x<0时，g(x)=g(-x)≤0成立， 综上，g(x)≤0，即xf(x)≤2a2x2成立.金益高中高三9月份起点考试 数学试卷 考试时间：2025年9月7日上午7：45-9：45试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题 区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A=xX+3 <0},B={x1g2(x-1)<2},则A∩B=() x-4 A(1,4] B.「-3,4) c.(1,4) D.[-3,5) 1 2已知2=12,1g:3八，则x+y=（） A0 B.2 C.-1 D.1 3.已知定义在[1-m,2-3]上的偶函数f(x),且当x∈[0,2-3]时，f(x)单调递增，则关于x的不 等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是() A.(0,1) c. x2+2x,-3<x<0 4.已知函数f(x)=正，0≤x<c ,若f(x)存在最小值，则正数c的最大值为() 21 A.1 B.2 D.4 5.已知(1+x)+(1+x)2++(1+x)=a,+ax+a,x2++ax,则a的值为() A.70 B.126 C.56 D.84 6已知椭圆c父+口心0，b>0的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点P、9关于原 对称，且满足PP5-(，∠PS,0=120°，则椭圆C的离心率() B.② C. A. 2 2 D.3 7.已知x>0,y>0,2x+y=2,则x+2y 的最大值为() A C.1 9 n 8.已知定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f6y)+3xy(x+y),则() A.函数∫(x)在R上单调递增 B.函数f(x)为偶函数 C.函数f(x-2)+1关于点(2,1)对称 D.f()≤4@ 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.已知一组数据为-1,1,2,4,3,5,10,9，若n为这组数据的上四分位数，则(2x-1)”的展开式中x4 的系数为-560 B.数据(x,y)(i=1,2,3,,10)组成一个样本，其回归直线方程为少=x-3,其中x=8.2,去除一个异 常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5) C.若随机变量5~N(1,o2),则函数f(x)=P(x≤5≤x+2)为偶函数 D.在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则x2变为原来的9倍 10.已知抛物线C:y2=2Px(p>O),准线为1，过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作 1的垂线，垂足分别为A',B',则() A.FA'⊥FB 2 B.若AF=3BF,则直线AB的斜率为√5 C.A,O,B'三点共线（其中O为坐标原点） D.4B=4 AF BF 11.已知f(x)=e-n(x+a),则下列说法正确的有() A.当a=1时，x=0是f(x)的极小值点 B.f(x)可能单调递增 Cf(x)有最小值，无最大值 D.当a≤2时，f(x)>0 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知ā=←13)，6=6,2)，若（ā-b)1B,则t的值为一 1B已知酒数/)=c经是3，者f0网)=4，则f-m 14.在VABC中，角A,B,C的对边分别为ab.c,c0sC=b+S,∠B4C的平分线AD交BC于点D.若AD=1, a 2a 则VABC周长的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4， 每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙 奖券 (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为X,求X的分布列和数学期望. 16.已知函数f(x)=x2+3x,f(n)为数列{an}的前n项和 (1)求{4}的通项公式： 1 (2)记数列 af(2n 的前n项和为，证明：又<号 17.如图，圆锥的顶点为P,AB为底面圆直径，O为AB中点，M为母线PB的中点，点N在底面圆周上， 且MN⊥AB M (1)证明：△OBN是等边三角形： (2)若AB=4,直线AB与平面ON所成角的正弦值为Y6 ,求点P到底面的距离。 11 18记双质饺E号是-a>00>0)的无、台货高分别为界月，其上一点4)满E FA-|F4=2 (1)求E的渐近线方程； (2)记E的右顶点为B,射线BA上两点P,e满足|BP+BO=4V2 (i)若点P的横坐标为m,求点2的坐标（用m表示）； (i)已知点M在圆x+(y叶a=a上，若△RPR,的面积为y6,求g的取值范围 19.设函数f(x)=sinx-asinx (1)当a=3时，讨论f(x)的单调区间： (2)己知-2≤f(x)≤a. (i)求a的取值范围： (i)证明：xf(x)≤2a2x2