13.2024年北京市中考试卷-【中考123·中考必备】2026年吉林地区专用数学试题精编

ZHONGKAO BIBEI (1)如图①，以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 13.北京市 OB于点C,D XUESHENG (2)如图②作射线O'A',以点0'为圆心，OC长为半径画弧，交 0A'于点C',以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于 点D'; O试卷研究报告O (3)过点D'作射线O'B',则LA'OB=∠A0B. B B 试题难度 适中 难度系数 0.54 D 易错题 8、28 较难题 27、28 (满分：100分时间：120分钟)】 A 第一部分选择题 7题图① 7题图② 一、选择题（共16分，每题2分） 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'= 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 ∠AOB.其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是( 是 A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 B D 三角形全等 2.如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC 8.如图，在菱形ABCD中， =58°，则∠E0B的大小为 ∠BAD=60°，O为对角线 A.29° B.32° C.45 D.58° 的交点.将菱形ABCD绕点 0逆时针旋转90得到菱形 A” A'B'CD',两个菱形的公共 点为E,F,G,H.对八边形 b, 4-3-2101234 BFB'GDHD'E给出下面四 2题图 个结论： 8题图 3题图 3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列 ①该八边形各边长都相等； 结论中正确的是 () ②该八边形各内角都相等； A.b>-1 B.1b1>2 ③点0到该八边形各顶点的距离都相等； C.a+b>O ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等 D.ab>0 4.若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等 上述结论中，所有正确结论的序号是 的实数根，则实数c的值为 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ () A.-16 B.-4 C.4 D.16 第二部分 非选择题 5.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜 色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇 二、填空题（共16分，每题2分） 匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红 9.若√x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范 球的概率是 ( 围是 A号 B号 c分 D.3 10.分解因式：x3-25x= 1.方程2中3+ ·=0的解为 6.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力 中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上 12.在平面直角坐标系x0y中，若函数y=(k≠0)的 架和调试的设备的算力为4×10”Flops(Flops是计 图象经过点(3，y1)和(-3，y2),则y1+y2的值 算机系统算力的一种度量单位)，整体投产后，累计 是 实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算 13.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10 力的5倍，达到m Flops,.则m的值为 个工件检测了它们的质量（单位：g),得到的数据 A.8×1016 B.2×1017 如下： C.5×107 D.2×108 50.03 49.9850.00 49.99 50.02 7.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图 49.9950.0149.97 50.00 50.02 方法 当一个工件的质量x(单位：g)满足49.98≤x≤ 50.02时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估20.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE 计这200个工件中一等品的个数是 交于点F,DF=FB,AF∥DC 14.如图，⊙0的直径AB平分弦CD(不是直径).若 (1)求证：四边形AFCD为平行四边形； ∠D=35°，则∠C= (2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3,EF=1,求BC 的长 14题图 15题图 15.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE 20题图 于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则 △AEF的面积为 ◆ 16.联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员 到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个 节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时 长（单位：min)如下： 21.为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月 节目 A D 1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段 演员人数 10 2 10 1 (以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A 彩排时长 30 10 20 10 类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时 放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的 间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参 A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一 演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等 次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了 其他因素).若节目按“A一B一C一D”的先后顺序彩 50%,B类物质排放量降低了75%，A,B两类物质 排，则节目D的演员的候场时间为 min;若 使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该 的先后顺序彩排. 汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明 三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20~21 理由 题每题6分，第22~23题每题5分，第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分) 17.计算：（π-5）°+√8-2sin30°+1-√21. r3(x-1)<4+2x, 18.解不等式组： x-9 22.在平面直角坐标系x0y中，函数y=x+b(k≠0)与 5 <2x. y=-kx+3的图象交于点(2,1). (1)求k,b的值； (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m ≠0)的值既大于函数y=x+b的值，也大于函 数y=-x+3的值，直接写出m的取值范围. 19已知a-6-1=0求代数3-8的值 23.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛 ◆ 2 和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位 选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分 进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息。 a.教师评委打分： 86889091919191929298 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据 分6组：第1组82≤x<85,第2组85≤x<88, 第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组 94≤x<97,第6组97≤x≤100)： 频数 14 1 8 6 3 0 828588919497100打分 23题图 c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 93 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为 ,n的值位于学生评委打 分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分， 记其余8名教师评委打分的平均数为x,则 91(填“>”“=”或“<”)； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分 制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分 的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前， 若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5 名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的 打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这 三位选手中排序最靠前的是 ,表中k (k为整数)的值为 4.如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，OD平 分∠AOC (1)求证：OD∥BC; (2)延长DO交⊙0于点E,连接CE交OB于点F, 过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P. 者8-名，PE=1,求⊙0半径的长 0 D 24题图 5.小云有一个圆柱形水杯（记为1号 杯)，在科技活动中，小云用所学数 学知识和人工智能软件设计了一个 新水杯，并将其制作出来.新水杯 (记为2号杯)示意图如图①. 25题图① 当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记 录了1号杯的水面高度h,(单位：cm)和2号杯的 水面高度h2(单位：cm),部分数据如下： V/mL 0 40 100 200 300 400 500 h/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.012.5 h2/cm 0 2.8 4.8 7.28.9 10.511.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V,h2 与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系 中，画出这两个函数的图象； h/cm (2)如图②，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN, 13 交射线AM于点F.用等式表示线段EF与AC 12 的数量关系，并证明. 10 M 6计 B DN B N 27题图① 27题图② 4 1 0 100200300400500yWmL 25题图② 28.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1.对于⊙0 (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 的弦AB和不在直线AB上的点C,给出如下定义：若 ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号 点C关于直线AB的对称点C在⊙0上或其内部，且 杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 ∠ACB=a,则称点C是弦AB的“a可及点”. cm(结果保留小数点后一位)； (1)如图，点A(0,1),B(1,0) ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入 2 1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其 水面高度约为 cm(结果保留小数点 后一位) 0C31C1 26.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2- 2a2x(a≠0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； 28题图 (2)已知M(x1,y1)和V(x2,y2)是抛物线上的两 点，若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有y1<y2,求a ①在点c(2.0).c1,2).C(分0中，点 的取值范围. 是弦AB的“a可及点”，其中a= ②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横 坐标的最大值为 (2)已知P是直线y=√3x-√5上一点，且存在⊙0 的弦MW,使得点P是弦MW的“60°可及点”， 记点P的横坐标为t,直接写出t的取值范围. 27.已知∠MAN=x(0°<a<45),点B,C分别在射线 AN,AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°- 2a得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM 于点E. (1)如图①，当点D在射线AW上时，求证：C是AE 的中点；b c=0, 【-2 =0, a三4 联立 L12a+23b+c=3, c=0 解得 b=0, l12a+23b+c=3, c=0, 1 ·二次函数的表达式为y=4, (2)公共点的个数为1.理由如下： 如答图，过点A作AG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥AG于点H. .AG⊥x轴，∴.AG∥y轴 AM平行于y轴， .点A,M,G在同一直线上， .∠MAG=180° A(23,3),F(0,1), .AH=2,FH=23 在R△MPH中，LFH==5, .∠FAH=60°，.∠FAM=120°. .·射线AB平分∠FAM, .∴.∠FAB=∠MAB=60°. 过点A作AK⊥y轴于点K,AT交x轴于点N, .AK⊥AG,∠KAF=30°， ∴.∠KMB=30° .AB⊥AT, ∴.∠KAT=60° ∠aG=60,mLAG=e=E AG=3,NG=√5. .·0G=23,.0N=3,N(3,0) 设直线l的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 将点A(2√3,3)，N(√3,0)分别代入，得 3+6=0,解得k=, 25k+b=3, b=-3, .直线l的函数表达式为y=√3x-3. 联， y=5x-3, 整理，得}2-5x+3=0, :4=(-5)2-4×}x3=0, “直线1与二次函数y=子的图象有1个公共点。 B E 28题答图 (3)25,3<m<25+3 3 3 13.北京市 1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A 8.B[解析]分析如下： 结论 分析 正误 根据轴对称的性质，可知BE=DH= BF=DG,D'E=D'H=B'F=B'G.如答 图①，连接A'B,则A'B=AD.又：∠1 =∠2，∠3=∠4，∴.△A'BE≌△AD'E ∴.BE=D'E,故该八边形各边长都相等 ① 8题答图① 如答图②，.∠5=∠1+∠6=30°+ 120°=150°，而∠EBF=120°，.该八边 形各内角并不是都相等 A ② X 8题答图② 如答图③，连接OE,易证△OBE≌ △00E,∠7=7×150=75又 .∠EB0=60°，∴.∠7≠∠8，∴.OE≠ OB,“,点O到该八边形各顶，点的距离 并不是都相等 ③ 0 8题答图③ :点O到八边形各边的距离都等于 ④ OBsin60°，'.点0到该八边形各边所在 直线的距离都相等 9.x≥910.x(x+5)(x-5)11.x=-1 12.013.16014515.g 16.60C一A一B-D[解析]第一步，：A和C的演员人数一 样，彩排时长不一样，∴.时长较长的节目应该往后排，故C在 A的前面.B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数较 少的应该往后排，这样等待的时长之和会小一些，故B在D前 (2)m≥1. 面.第二步，列举出所有符合“C在A前面、B在D前面”的情 [解析]当m=1时，如答图，易知直线y=x与直线y=x-1平 况，并计算对应的23位演员候场时间之和，如下表： 行，且当x>2时，x>x-1,且x>-x+3. 情况 彩排顺序 23位演员候场时间之和 将直线y=x绕点0逆时针旋转，旋转角小于45°，在此期间， 旋转得到的直线对应的函数满足题意. ① C—A-B-D 10×20+2×50+1×60=360 综上所述，m的取值范围为m≥1. ② C-B—A—D 2×20+10×30+1×60=400 ③ C—B—D—A 2×20+1×30+10×40=470 y=-t3y y=x-1 ④ B—CA—D 10×10+10×30+1×60=460 ⑤ B-C-D-A 10×10+1×30+10×40=530 ⑥ B-D-C一A 1×10+10×20+10×40=610 故按照C一A一B一D的先后顺序彩排时，这23位演员的候场 时间之和最小 22题答图 17.解：原式=1+2-2×分+万=3万 23.解：(1)①914②< (2)甲92[解析]甲的总分：93+90+92+93+92=460； 3(x-1)<4+2x,① 乙的总分：91+92+92+92+92=459. 18解：2<2x② 460>459,所以选手甲的平均分高， 解不等式①，得x<7, 故这三位选手中排序最靠前的是甲. 解不等式②，得x>-1, 丙在这三位选手中的排序居中，则丙的总分为459或460， 故不等式组的解集为-1<x<7. 故k=91或92. 19怎：原武=3气0}=26 当k=91时，乙、丙两位选手的平均分相同，显然此时选手丙的 成绩方差比乙的成绩方差大，矛盾，故k=92. .…a-b-1=0, 24.(1)证明：.0D平分∠A0C, a-6=1原式=月=3. iL40D:3∠40C 20.（1)证明：.E是AB的中点，DF=FB, .EF∥AD 又：LB=2LA0C 又.AF∥DC, ∴.∠B=∠AOD .四边形AFCD是平行四边形 .∴.OD∥BC. (2)解：在△ER中，∠FEB-器=3，BF=1, (2)解：设⊙0的半径为r,如答图， OD∥BC, .FB=3. .△EOF∽△CBF,L1=∠2， 由(1)知AD=2EF=2. ,四边形AFCD是平行四边形， 能-即c=名， ∴.CF=AD=2, Bc=号 .CB=√CF2+BF=13. 过点O作OG⊥BC于点G, 21.解：符合. 理由如下：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 则ac=分6c=3, xmg/km,则B类物质排放量为(40-x)mg/km. 40-x m2=号 由题意，得1-50%+1-75%=92， D BP是⊙0的切线，切点为B, 24题答图 解得x=34. .OB⊥PB, 34<35, .OB=OP·cos∠1=OP·cos∠2， ∴.这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准” 22.解：(1)将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1, a=+1)×号 解得k=1. 将(2,1)代入y=x+b, 解得= 得2+b=1,解得b=-1. 故⊙0半径的长为号 25.解：(1)1.0 (2)如答图所示 h/cm :13 :12 11 :10 9列 8 7 6 4 3 》 1 0 100200300400500y1mL 25题答图 (3)①1.2（答案不唯一） [解析]当V=320mL时，h=2.5×320 xi00=8(cm). 当V=320mL时，h2≈9.2cm, 故两水杯水面的高度差约为1.2cm。 ②8.6 26.解：(1)把a=1代入y=ax2-2a2x, 得y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴.抛物线的顶点坐标为(1，-1) (2)抛物线的对称轴为直线x=- -2a2 2a a, .点M(3a,y1)关于对称轴的对称点为(-a,y1) 分两种情况讨论 ①当a>0时，如答图①. .y1<y2, .点N在点M右侧，即3a<3, 解得a<1,∴.0<a<1; 4 2 2 0 26题答图① 26题答图② ②当a<0时，如答图②. y1<y2,.-a>4,解得a<-4. 综上所述，a的取值范围为0<a<1或a<-4. 27.（1)证明：如答图①，连接CD. BC=BD,∠CBD=180°-2a, L1=2(180-LCBD)=a, ∴.∠1=∠A,.CD=CA ∠2=90°-∠A=90°-a,∠3=90°-∠1=90°-a, .∠2=∠3，..CE=CD, .CA=CE,即点C为AE的中点 M 2 GA D C 3 A 1C 6 B B N 27题答图① 27题答图② (2)解：EF=2AC. 证明：如答图②，在AM上取点H,使BH=BA,连接DH, 则∠4=∠A=, .∠ABH=180°-2a=∠CBD .∠6=∠9. 又，'AB=HB,CB=DB,∴，△ABC≌△HBD, .AC=HD,L5=∠A=a,.∠DHF=2. DF∥AB,.∠7=∠A=&,∠FDE=90 取EF的中点G,连接DG,则EF=2DG,DG=FG, .∠8=∠7=a,∴.LDGH=2a=∠DHF, ∴.DG=DH,∴.DG=AC .∴.EF=2AC. 28.解：(1)①C45②1+2 2 [解析]：，点D是弦AB的“90°可及点”， ∴.∠ADB=90°，.点D在以AB为直径的圆上， 如答图①，设点F为AB的中 y r- 点，过点F作FE⊥y轴于点E, 延长EF交⊙F于点D1,则点D 的横坐标即为点D横坐标的最 六D 大值 易知EP=分，Pm,=分AB- 9m2 即点D横坐标的最大值 28题答图① 为1+② 21 (2)的取值范同是3E≤：<或1<e3+ 4 [解析]易知P(t,N5t-5).设直线y=√3x-√5与⊙0交于点 H,(1,O),易知点H的横坐标为了连接PM,PN当点P在x 轴上方，且PM与⊙0相切于点M,PW与⊙0相切于点N, ∠MPN=60°时，记，点P为P1,如答图②，此时点P1是弦MN的 “60°可及点”.连接0P1,0N,则∠0P,N=30°，.0P=20N= 2,则P+(51-5)2=4,解得1=3+正（负值不合题意，已 4 舍去) M 28题答图② 28题答图③ 当点P在x轴下方，且PM与⊙0相切于点M,PN与⊙O相切 14.解：(1)如答图①，直线BD即为所求. 于点N,∠MPN=60°时，记点P为P2,如答图③，此时点P2是 D 孩MN的“60°可及点”.连接0P,ON,同理得1=3-（正 4 今米 值不合题意，已舍去).分析可知，当，点P在线段H上时，点P B 14题答图① 不是弦MN的“60°可及点”，当点P在线段PI(不含，点I)和线 (2)如答图②，直线BF即为所求. 段P2H(不含，点H)上时，点P是弦MW的“60°可及点”， 故：的取位龙周是3-≤1<宁或1<1e3+ 4 、E 14.江西省 1.A2.C3.B4.C5.D 6.B[解析]如答图，打“V√"的小正方形能与阴影部分组成正方 14题答图② 体展开图，打“X”的小正方形不能与阴影部分组成正方体展 15解：(1)号 开图. (2)方法一：根据题意，列表如下： 甲 A B A (A,A) (B,A) (C,A) 6题答图 B (A,B) (B,B) (C,B) 7.18a(a+2)9(34)10.am1l.号 (A,C) (B,C) (C,C) 122-3或2或2+万[解析]⊙0的直径为2，.若DE的长 由表格可知总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而 为正整数，则DE的长为1或2，故分三种情况讨论.①当DE 甲、乙分到同一个班的结果有3种：(A,A),(B,B),(C,C), 的长为1，且DB在点0右侧时，知答图①，则DC=之DE= 所以P(甲、乙分到同一个班)=号=3 31 方法二：根据题意，画树状图如答图 之连接0D,则0D=1,0c=V0D-Dc=√P-(号) 开始 -9B=2c=2×(1-经}-2-5：@当D5约米为2 甲 B 时，如答图②，则DE是⊙0的直径，点F与点A重合，FB 乙A B C A B C A B 15题答图 =2;③当DE的长为1，且DE在点0左侧时，如答图③，则DC 由树状图可知总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， =2DE=子连接0D,则0D=1,0C=√0m-0C- 而甲、乙分到同一个班的结果有3种：(A,A),(B,B),(C,C), VP-(-B=2Bc=2x1+）-2+.综上， 所以P(甲，乙分到同-个班)-号=分 16.解：(1)(2,2) 线段FB的长为2-√3或2或2+5. (2)双曲线y=经过点B(2,2), 2=克 B 解得k=4, 双曲线的解析式为y=兰(x>0)。 .AC⊥x轴，A(4,0), 12题答图① 12题答图② 点C的横坐标为4. D 将=4代入y=兰得y=音=1， 、0 B ∴.点C的坐标为(4,1). 设BC所在直线的解析式为y=ax+b(a≠0)， 则2a+b=2 解得 1 12题答图③ 13.解：(1)原式=1+5=6. l4a+b=1 b=3, （2)原武8=1. ∴.BC所在直线的解析式为y=- 2t+3.