12.2025年黑龙江省大庆市中考试卷-【中考123·中考必备】2026年吉林地区专用数学试题精编

“当x=-子时，%取得最小值为号气，即号-=-台 9t 解得：=子 :当-子≤≤1-n时，函数，的最大值为号-， 当x=1时，函数%的最大值为号-4，即弩-4=1， 解得4=； 当⅓=1时分2号=1， 解得x=√I或-√I(舍去)， .1≤t-n≤w/11. = 1≤号-n≤√T,化简，得-2≤-3n≤3厅-5， .5 号-≤m≤号 12.大庆市 1.A2.D3.B4.D5.B6.C7.B8.C9.D10.A 11.x≥112.x(x-1)13.y=x+1(答案不唯一）14.2 156162g517.5m18①2@ 3 19.解：原式=2-1+5-1=√5 20.解：原式=￥-1-1.(x-1) =x-1. x-1x-2 当x=3时，原式=3-1=2 21.解：设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B每小时能处 理(x+10)GB数据. 根据慝意得20-00 解得x=20, 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意 答：模型A每小时能处理20GB数据. 22.解：如答图，过点A作AE⊥1于点E,延长BC交1于点F,由题 意可知BF⊥U. 点D离地面40米高，.AE=40米 .·∠AED=∠ABC=∠BFE=90°， .四边形ABFE为矩形，AB=EF,AE=BF .·∠ADE=45°，∴.∠DAE=45°，.DE=AE·tan45°=40米 :AB=70米， ∴.EF=AB=70米，DF=EF-DE=30米 .·∠CDF=30°， GF=0Fm30=30×号=17.3（米 ,BF=AE=40米， .BC=BF-CF=40-17.3=22.7≈23（米）. 答：楼房高度约为23米. E D 45V730 房 B 22题答图 23.解：(1)①200 ②200-30-80-40=50（人）， 补全条形统计图如答图。 抽取的学生成绩条形统计图 人数 90 80F+ 8 40 30 20 10 L 708090100得分/分 23题答图 ③90 (2)4072 (3)3000×(40%+20%)=1800(名). 答：该校得分不低于90分的学生有1800名. 24.（1)证明：.点B、点D关于AC所在直线对称 ∴.OB=OD,∠BOC=∠D0C=∠DOA=90°，∴.AC⊥BD AB∥CD, .∠BAO=∠DCO .△AOB≌△COD. .'AB =CD, .四边形ABCD为平行四边形 又·AC⊥BD, .四边形ABCD是菱形 (2)解：，四边形ABCD是菱形，AD=5, .AD=CD=BC=AB=5.AC L BD .DE⊥CE,CE=3, .∴.∠CED=90°，BE=BC+CE=5+3=8. 在Rt△CED中，DE=√CD2-CE=52-32=4. 在Rt△BED中，BD=√BE2+DE=√82+4=45， .∴.0B=0D=25 在Rt△C0D中，0C=√CD-00=√52-(25)2=√5， .线段0C长为5. 25.解：(1)设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本 为y元， 根据题意，得2x+3y=155, l4x+y=135, 解得∫x25, y=35. 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 35元 (2)由题意可知，一套纪念品的成本为25+35=60（元）， 则W=(a-60)[80+10(72-a)]=-10(a-70)2+1000. -10<0,且65≤a≤72， .∴.当a=70时，W有最大值，且符合题意 答：当a为70时，每天的利润最大 26.解：(1)如答图，过点B作BE⊥x轴于点E. ,△OBA为等边三角形，∴.OA=AB=OB. BE LOA,OA =2..'.OE =AE=1. 在Rt△B0E中，BE=√OB2-OE=5, :DE为△ADE外接圆⊙0的直径， .点B的坐标为(1,3). .∴.OA=OD=OE,∴.∠OAD=∠ODA, ∴.∠ODA=∠B+∠BAD,∠OAD=∠OAC+∠DAC 将点B的坐标代入反比例函数y=(k>0)中，得 由(1)知∠DAC=∠BAD,∴.∠B=∠OAC 万=片k=5, ∠AOC=∠BOA,.△AOC△BOA, 一反比例函数的表达式为y=区 ÷8%-8 .0A2=0B·0C,.0E2=0B·0C. M A D 0 AP B D 27题答图 26题答图 (3)解：BM与⊙0相切于点A, (2)如答图，过点D作DF⊥x轴于点F ∴.∠BA0=∠DAE=90°， 延长B0与反比例函数了=的图象在第三象限交于点C。 .∴.∠OAE+∠DA0=∠BAD+∠DA0=90°， 点C与点B关于原点0对称，C(-1,-3). .∠OAE=∠BAD. 由题意知A(2,0), .·∠OAD=∠ODA且由(1)知∠BAD=∠CAD, 设AC所在直线的函数表达式为y=x+b(k≠0)， .∠CAD+LODA=90°，.∠ACD=90°，LAC0=90. 将点A(2,0),C(-1,-√3)分别代入，得 如答图，过点D作DF⊥BM于点F,∴.∠AFD=90° ∠AFD=∠ACD, 2k+b=0, [h= 3, 在△AFD和△ACD中， ∠FAD=∠CAD, 解得 -k+b=-5, 6-、23 LAD =AD. 3 ∴.△AFD≌△ACD(AAS). .DC=3,BD:OC=10:9 3 .DC DF=3,AF=AC. √323 y= 设BD=10x,0C=9x, 3x-3, 联立 .B0=BD+CD+C0=19x+3,0D=OA=9x+3. y=x .∠B=∠B,∠BFD=∠BAO=90°， .△BFD△BAO, 解得 或1， rx=3 y=3 y=-5. 0-8 10x 3 :点D在第一象限， 心19x+39x+3’ ,} 解得名=宁西=行（合）， 1 1 SaoD=0A·DF= 1 33 0c-=号40=5 点D的坐标为3，哥），△0MD的面积为号 在Rt△A0C中，AC=√A02-0C=6. (3)存在点Q的坐标为(3,0)或(9， 在△MD中，mLIAF=-F-君-分 OA=OE. 27.(1)证明：DE为△ADE外接圆⊙0的直径， ∴.∠AED=∠OAE=∠DAF, .∠DAE=90°， ·LDAC+∠CAE=90. ∴nLAED=-分 由题意知，点B,A,M在同一直线上， 28.解：(1).·二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴， .∠BAM=180°，.∠MAE+∠BAD=90 ·∠CAE=∠MAE,∴.∠DAC=∠BAD,∴.AD平分∠BAC 品=0 （2)证明：如答图，连接OA. 将点0(0,0)，A(2,√5,3)分别代人y=ax2+bx+c中，得 b c=0, 【-2 =0, a三4 联立 L12a+23b+c=3, c=0 解得 b=0, l12a+23b+c=3, c=0, 1 ·二次函数的表达式为y=4, (2)公共点的个数为1.理由如下： 如答图，过点A作AG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥AG于点H. .AG⊥x轴，∴.AG∥y轴 AM平行于y轴， .点A,M,G在同一直线上， .∠MAG=180° A(23,3),F(0,1), .AH=2,FH=23 在R△MPH中，LFH==5, .∠FAH=60°，.∠FAM=120°. .·射线AB平分∠FAM, .∴.∠FAB=∠MAB=60°. 过点A作AK⊥y轴于点K,AT交x轴于点N, .AK⊥AG,∠KAF=30°， ∴.∠KMB=30° .AB⊥AT, ∴.∠KAT=60° ∠aG=60,mLAG=e=E AG=3,NG=√5. .·0G=23,.0N=3,N(3,0) 设直线l的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 将点A(2√3,3)，N(√3,0)分别代入，得 3+6=0,解得k=, 25k+b=3, b=-3, .直线l的函数表达式为y=√3x-3. 联， y=5x-3, 整理，得}2-5x+3=0, :4=(-5)2-4×}x3=0, “直线1与二次函数y=子的图象有1个公共点。 B E 28题答图 (3)25,3<m<25+3 3 3 13.北京市 1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A 8.B[解析]分析如下： 结论 分析 正误 根据轴对称的性质，可知BE=DH= BF=DG,D'E=D'H=B'F=B'G.如答 图①，连接A'B,则A'B=AD.又：∠1 =∠2，∠3=∠4，∴.△A'BE≌△AD'E ∴.BE=D'E,故该八边形各边长都相等 ① 8题答图① 如答图②，.∠5=∠1+∠6=30°+ 120°=150°，而∠EBF=120°，.该八边 形各内角并不是都相等 A ② X 8题答图② 如答图③，连接OE,易证△OBE≌ △00E,∠7=7×150=75又 .∠EB0=60°，∴.∠7≠∠8，∴.OE≠ OB,“,点O到该八边形各顶，点的距离 并不是都相等 ③ 0 8题答图③ :点O到八边形各边的距离都等于 ④ OBsin60°，'.点0到该八边形各边所在 直线的距离都相等 9.x≥910.x(x+5)(x-5)11.x=-1 12.013.16014515.g 16.60C一A一B-D[解析]第一步，：A和C的演员人数一 样，彩排时长不一样，∴.时长较长的节目应该往后排，故C在 A的前面.B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数较 少的应该往后排，这样等待的时长之和会小一些，故B在D前 (2)m≥1. 面.第二步，列举出所有符合“C在A前面、B在D前面”的情 [解析]当m=1时，如答图，易知直线y=x与直线y=x-1平 况，并计算对应的23位演员候场时间之和，如下表： 行，且当x>2时，x>x-1,且x>-x+3. 情况 彩排顺序 23位演员候场时间之和 将直线y=x绕点0逆时针旋转，旋转角小于45°，在此期间， 旋转得到的直线对应的函数满足题意. ① C—A-B-D 10×20+2×50+1×60=360 综上所述，m的取值范围为m≥1. ② C-B—A—D 2×20+10×30+1×60=400 ③ C—B—D—A 2×20+1×30+10×40=470 y=-t3y y=x-1 ④ B—CA—D 10×10+10×30+1×60=460 ⑤ B-C-D-A 10×10+1×30+10×40=530 ⑥ B-D-C一A 1×10+10×20+10×40=610 故按照C一A一B一D的先后顺序彩排时，这23位演员的候场 时间之和最小 22题答图 17.解：原式=1+2-2×分+万=3万 23.解：(1)①914②< (2)甲92[解析]甲的总分：93+90+92+93+92=460； 3(x-1)<4+2x,① 乙的总分：91+92+92+92+92=459. 18解：2<2x② 460>459,所以选手甲的平均分高， 解不等式①，得x<7, 故这三位选手中排序最靠前的是甲. 解不等式②，得x>-1, 丙在这三位选手中的排序居中，则丙的总分为459或460， 故不等式组的解集为-1<x<7. 故k=91或92. 19怎：原武=3气0}=26 当k=91时，乙、丙两位选手的平均分相同，显然此时选手丙的 成绩方差比乙的成绩方差大，矛盾，故k=92. .…a-b-1=0, 24.(1)证明：.0D平分∠A0C, a-6=1原式=月=3. iL40D:3∠40C 20.（1)证明：.E是AB的中点，DF=FB, .EF∥AD 又：LB=2LA0C 又.AF∥DC, ∴.∠B=∠AOD .四边形AFCD是平行四边形 .∴.OD∥BC. (2)解：在△ER中，∠FEB-器=3，BF=1, (2)解：设⊙0的半径为r,如答图， OD∥BC, .FB=3. .△EOF∽△CBF,L1=∠2， 由(1)知AD=2EF=2. ,四边形AFCD是平行四边形， 能-即c=名， ∴.CF=AD=2, Bc=号 .CB=√CF2+BF=13. 过点O作OG⊥BC于点G, 21.解：符合. 理由如下：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 则ac=分6c=3, xmg/km,则B类物质排放量为(40-x)mg/km. 40-x m2=号 由题意，得1-50%+1-75%=92， D BP是⊙0的切线，切点为B, 24题答图 解得x=34. .OB⊥PB, 34<35, .OB=OP·cos∠1=OP·cos∠2， ∴.这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准” 22.解：(1)将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1, a=+1)×号 解得k=1. 将(2,1)代入y=x+b, 解得= 得2+b=1,解得b=-1. 故⊙0半径的长为号7.如图，△ABC中，AB=BC=2,∠CBA=120°.将 ZHONGKAO BIBEI △ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,点B、点 12.大庆市 XUESHENG C的对应点分别为点D、点E.连接CE,点D恰好落 在线段CE上，则CD的长为 A.25 B.4 C.32 D.6 O试卷研究报告O… 试题难度 适中 难度系数 0.59 易错题10、27、28 较难题 B 27、28 (满分：120分 时间：120分钟) 0 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每 7题图 8题图 小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 8.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，反比例 1.-2025的绝对值是 ( A.2025 B.2025 C.-2025D.- 1 函数了=2(x>0)与正比例函数)=：(k>0)的图 2025 象交于点A.将正比例函数y=x(k>0)的图象向上 2.某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活 动.以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对 平移个单位后得到的图象与y轴交于点B,与反 称图形的是 比例函数y=子(x>0)的图象交于点C过点C作 x轴的垂线，与x轴交于点D.线段CD与OA交于点 E,点E为OA中点，则k的值为 () B C A号 B.1 C. D.2 3.近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹 海》风靡全球.据统计，截至2025年5月底，其票房 9.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开 达到约150亿元.数字15000000000用科学记数法 始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从 表示为 点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动 A.0.15×104 B.1.5×1010 点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D C.1.5×104 D.15×109 运动.点P、点H和点Q同时出发，当其中一点到达 4.由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所 终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动时间 示，则该几何体的主视图为 为ts,当QP=QH时，t的值为 A 2 B.4 Q.10 020 正面 4题图 9题图 10题图 5.一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为 10.如图，在正方形ABCD中，AB=3√2，点E,F分别在 A.4T B.6T C.12π D.18m 线段AB,BC上，AE=CF=√2，连接EF,AC.过点 6.下列说法正确的是 E,F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G,H.动点 A.调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG, B.64的平方根为8 △PEG,△PEF,△PFH,△PGH的面积分别为S, C.若一个正多边形的每个内角都是108°，则这个多 S1,S2,S3,S4.若点P在运动中始终满足3S。=S1+ 边形是正五边形 S2+S+S4,则满足条件的所有点P组成的图形长 D.甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击 度为 成绩的平均数相同，方差分别是s=0.1,s2= C.4 0.5,则乙的射击成绩较稳定 A.2 B.3 D.2m 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。 ③点C(1,2),点C1(-1,-2),若[C,C1]为函数y 11.函数y=√x-1的自变量x的取值范围是 =ax2+bx-1的一组“奇对称点对”，则a=2,b 12.因式分解：x2-x= =2; 13.写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值 ④油函数y=-x在x<0范围内的图象与函数y= 增大而增大的一次函数表达式： -x2+2x-k(k>0)在x≥0范围内的图象组成 1 3 14.不等式组分-1<7-的整数解有 个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w 「-x(x<0), 3x-5>2(x-2) 函数，其解析式可写为y= 1-x2+2x-k(x≥0). 15.2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界 若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范 的广泛关注.若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即 .9 梦A”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种 围是0<k<4 进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和 三、解答题：本题10小题，共66分。 “腾讯元宝”的概率为 19.(本题4分)求值：W4-2025°+15-11， 16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB= 2.在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN.分 别以M,N为圆心、以大于？MN的长为半径作弧， 两弧在∠BAC内交于点F.作射线AF交BC于点 D,则点D到AC的距离为 20(本题4分)先化简再球值：-产2 其中x=3. D 16题图 17题图 17.如图，四边形ABCD是正方形，AB=1.执行下面操 作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针 作弧DE交BA的延长线于点E,得到扇形DAE;第 二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧 EF交CB的延长线于点F,得到扇形EBF;第三次 21.(本题5分)某公司开发了两款AI模型，分别为模 操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG 型A和模型B.由于工作需要，公司同时使用这两 交DC的延长线于点G,得到扇形FCG,依此类推进 款模型处理数据.已知模型B比模型A每小时多 行操作，其中DE,EF,FG,CH,…的圆心依次按A, 处理10GB数据，模型B处理300GB数据的时间 与模型A处理200GB数据的时间相同，求模型A B,C,D循环，所得曲线DEFGH-…叫做“正方形的渐 开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面 每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的 存储单位) 积和为 ·（结果保留π) 18.定义：若点A(m,n),点A(-m,-n)都在同一函 数图象上，则称点A和点A,为该函数的一组“奇对 称点对”，记为[A,A].规定：[A,A]与[A1,A]为同 一组“奇对称点对”.例如：点B(1,2)和点B1(-1, -2)都在一次函数y=2x的图象上，则点B和点 B1为一次函数y=2x的一组“奇对称点对”，记为 [B,B1].下列说法正确的序号为 ①点A(1,1),点A(-1,-1),则点A和点A,为二 次函数y=x2+x-1的一组“奇对称点对”； ②反比例函数y=士有无数组“奇对称点对”； 22.(本题6分)数学综合实践活动中，两个兴趣小组要 g 2 合作测量楼房高度BC.如图，第一小组用无人机在 离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯 角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A,B, C,D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的 点D处测量)；第二小组人工测量得到点A和大楼 之间的水平距离AB=70米.请根据提供的数据，求 出楼房高度.（结果精确到1米，参考数据：√3 ≈1.73) 45o9 130° 楼 房 B 22题图 23.(本题7分)开展航空航天教育对提升青少年的科 学素养有重要的意义.某学校对学生进行了航空航 天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞 赛，每个学生回答10道问题，每题10分.赛后发现 所有学生知识竞赛成绩不低于70分.为了更好地 了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答 题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进 行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息 如下： 抽取的学生成绩条形统计图抽取的学生成绩扇形统计图 人数 90 80 70 100分 80分 60H 20% 25% 50F 40 70分 3 90分 15% 2 m9 0r -7- 708090100得分/分 23题图 请根据以上信息，完成下列问题： (1)①此次抽查的学生总数为 ； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为 分； (2)在扇形统计图中：m= ,得分为“100分” 这一项所对应的圆心角是 度： (3)已知该校共有3000名学生，请估计该校得分 不低于90分的学生有多少名？ 4.(本题7分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对 角线AC与BD相交于点O.点B、点D关于AC所 在直线对称. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若 CE=3,AD=5,求线段0C长 D B4 E 24题图 5.(本题7分)为推进我市“红色研学”文化旅游发 展，大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知 2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元； 4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元. 一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组 成.规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于 72元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价 为72元，那么每天可销售80套.经调查发现，每套 纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加 10套.设每天的利润为W(元)，每套纪念品的售价 为a元(65≤a≤72且a为整数). (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的 成本； (2)求当α为何值时，每天的利润W最大， 26.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标28.（本题9分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图 原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2,点B在反比 象的对称轴为y轴，且过坐标原点0及点A(2√3， 例函数y=点(k>0)的图象上，△0BA为等边三角 3),过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上 方)，点F坐标为(0,1)，连接AF并延长交抛物线 形，延长B0与反比例函数y=仁的图象在第三象 于点E,射线AB平分∠FAM,过点A作AB的垂线1 交y轴于点T 限交于点C连接CA并延长与反比例函数y=兰的 (1)求二次函数的表达式； 图象在第一象限交于点D. (2)判断直线l与二次函数y=ax2+bx+c的图象 (1)求反比例函数的表达式； 的公共点的个数，并说明理由； (2)求点D的坐标及△OAD的面积； (3)点P(m,0)为x轴上的一个动点，且∠APE为 (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点 钝角，请直接写出实数m的取值范围. 的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q y ⊙ 点坐标；若不存在，请说明理由. E 0 0 28题图 28题备用图 26题图 27.(本题9分)如图，DE为△ADE外接圆⊙0的直径， 点C为线段D0上一点（不与D,O重合），点B为 OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M,满足 ∠CAE=∠MAE. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)证明：0E2=0B·0C; (3)若射线BM与⊙0相切于点A,DC=3,BD:OC =10:9,求tan∠AED的值， M A c 27题图