2025年吉林省中考真题-【中考123·中考必备】2026年吉林地区专用数学试题精编

9.《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车， ZHONGKAO BIBEI 二车空；二人共车，九人步.问车几何？其译文为：有 1.2025年吉林省 若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空 XUESHENG 车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而 步行.问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆 车，可列方程为 O试卷研究报告O… 10.如图，正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于 试题难度 适中 难度系数 0.59 点F,则∠F的大小为 度 易错题11、21、22 较难题 21、22 (满分：120分时间：120分钟) 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合 题意.每小题3分，共18分) 1.如图，点A表示的数是1.若将点A向左移动3个单 位长度得到点A',则点A'表示的数为 () 10题图 11题图 11.如图，在平面直角坐标系中，过原点0的直线与反 -3-2-101 234 1题图 比例函数y=5的图象交于A,B两点，分别以点A, A.-3 B.-2 C.2 D.4 点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B.当⊙A,⊙B 2.一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体 分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D,连接 后，有“的”字 面的相对面上的字为 AC,BD,则阴影部分图形的面积和为 ·(结 中国梦 果保留π) 我的 梦 三、解答题（本题共11小题，共87分）》 2题图 2.(6分)先化简，再球值二。，其中a=205 A.我 B.中 C.国 D.梦 3.计算(2a2)3的结果为 A.2a5 B.2a6 C.8a5 D.8a6 4.不等式x-3>2的解集为 A.x>5B.x<5C.x>-1D.x<-1 5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能 13.(6分)在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动 转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的 引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活 中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小 动.由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分 可以为 A,B,C三组进行，每人只能被随机分配到其中一 A.90° B.120° C.150° D.180° 组，分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或 列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组 的概率. B IN N 5题图 6题图 6.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B.尺 14.(6分)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经 规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径 济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装 画弧，分别交边BA,BC于点M,N;(2)以点C为圆 的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒 25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共 心，BN长为半径画弧，交边CB于点N';再以点N'为 10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种 圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的 商品的盒数 弧相交于三角形内部的点M';(3)过点M'画射线 CM'交边AB于点D.下列结论错误的为 A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90° C.DB=DC D.AD+DC=BC 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.因式分解：a2-ab= 8.计算：3+√12= 15.(7分)如图，在矩形ABCD中，点E,F在边BC上， (1)在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺 连接AE,DF,∠BAE=∠CDF: 失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量 (1)求证：△ABE≌△DCF; 等级是否为优秀？ (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长 (2)此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等 A 级为优秀的个数较多的小组获得奖励.估计甲、 乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由. B E 15题图 16.(7分)图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小 正方形的顶点称为格点.△ABC内接于⊙O,且点 A,B,C,0均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定 的网格中按要求画图. (1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合)， 画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB; 18.(8分)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的 (2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+ 高度 ∠ABC=180° 项目提出：如图①是某城市规 划展览馆，树人中学的3D打 印社团为展示城市文化，准备 制作该城市规划展览馆的3D 打印模型，需要测量并计算展 18题图① 览馆高度，为制作3D打印模型提供数据。 项目报告表 时间：2025年5月29日 测量该城市规划展览馆的实际高度并 16题图① 16题图② 项目 活动目标 换算其3D打印模型的高度 分析 测量工具 测角仪、皮尺 以下是测得的相关数 A 据，并画出了如图②所 示的测量草图。 1.测出测角仪的高CD 17.(7分)端午节是我国的传统节日.某食品公司为迎 任务一 =1.4m. Eh.619. 接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的 测量数据 2.利用测角仪测出展 B D 包粽子比赛，规定：粽子质量为(150±9)克时，其质 览馆顶端A的仰角 18题图② 量等级为合格；粽子质量为(150±3)克时，其质量 ∠ACE=61° 等级为优秀.共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆 AB底端B处之间的距离DB=42m 相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员 项目 小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检 实施 任务二 根据上述测得的数据，计算该城市规 10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下 计算实 划展览馆AB的高度（结果精确到 信息： 1m).（参考数据：sin61°≈0.875， 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 际高度 cos61°≈0.485，tan61°≈1.804) 甲组144146147148150152152152154155 乙组146■147147150150151153154155 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 换算模 1:400等比例缩小，得到其3D打印模 型的高度约为 参赛小组 平均数 众数 型高度 _cm(结果精确 到1cm) 甲组 150 152 乙组 150 147 项目 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供 结果 数据 根据以上信息，回答下列问题： 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团 完成任务二和任务三. 19.(8分)如图，在△ABC中，AB=3√2，BC=5,∠BAC =45.动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单 位长度的速度向终点C匀速运动.当点P出发后， 以AP为边作正方形APDE,使点D和点B始终在 边AC同侧.设点P的运动时间为x(s)(x>0),正 方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y(平 方单位). (1)AC的长为 (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的 取值范围； (3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直 接写出x的值 B D A 19题图 19题备用图 20 20.(10分)【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与 哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分 别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的 两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测 力计A,B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓 慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计 示数的变化，探究浮力大小的变化.（溢水杯的杯底 厚度忽略不计) ◆ 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸 在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸 在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就 越大 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力； 当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力一F浮： 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现： 弹簧测力计A,B各自的示数F拉力(N)与小铝块各 自下降的高度x(cm)之间的关系如图②所示， 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计 A和弹簧测力计B的示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲 液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙 液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙 液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出 m,n的值. B ↑F拉力/N 2.8 弹簧测力计A的示数 弹簧测力计B的示数 720m 610 20 x/cm 甲 乙 20题图① 20题图② 21.(10分)【问题背景】在学习了平行四边形后，某数22.(12分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原 学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形 点，抛物线y=x2+bx-1经过点(2，-1).点P在 的折叠问题.其探究过程如下： 此抛物线上.其横坐标为m,连接P0并延长至点 【探究发现】如图①，在口ABCD中，∠A=60°，AB> Q,使0Q=2P0.当点P不在坐标轴上时，过点P作 AD,E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF= x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交 DE,连接EF,将△DEF沿EF翻折得到△GEF,点 于点M. D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF是 (1)求此抛物线对应的函数解析式； 一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需 (2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是 要说明理由； 否保持不变.如果不变，直接写出这个面积比； 【探究证明】取图①中的边BC的中点M,点N在边 如果变化，说明理由； AB上，且BN=BM,连接MN,将△BMN沿MN翻折 (3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时， 得到△HMN,点B的对称点为点H.连接FH,GN, 求点Q的坐标； 如图②.求证：四边形GFHN是平行四边形； (4)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x 【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对 的增大而减小时，直接写出m的取值范围， 称图形如果能，直接写出裙的值如果不能，说明 y 理由。 D D A N 22题图 22题备用图 21题图① 21题图②参考答多 1.2025年吉林省 17.解：(1)因为乙组质量的众数为147 1.B2.C3.D4.A5.B6.D 所以缺失的数据为147，且147=150-3，质量登记为优秀， 7.a(a-b)8.339.3(x-2)=2x+910.36 (2)乙参赛小组能获得奖励.理由如下： 11.牙[解析]当⊙A,⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C 甲组优秀个数约为20×号=132（个）， 和点D,∴.AC⊥x轴，BD⊥x轴.半径为1，∴.AC=BD=1, 7 :点A的纵坐标为1.把y=1代入y=5,得x=万，A(5, 乙组优秀个数约为200×10=140（个）. 因为140>132， 1)0C=5,AC=1,anL0AC-0C=5,∠0AC=60°， 所以乙参赛小组能获得奖励. AC 18.解：任务二 小第一拿限中月彩的而数8若月里，第二象限 依题意得，四边形EBDC为矩形， 中阴移的面叔马=石5=号故答案为号 .'CE DB =42 m,EB CD=1.4 m 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=61°， 12.解：原式=a·a+1)(a-山=a+1. .AE=CE·tan∠ACE=42×tan61°≈76(m), a-1 a 当a=2025时，原式=2025+1=2026. .AB=AE+EB=76+1.4≈77(m). 13.解：画树状图如答图。 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m, 开始 任务三19 [解析]设3D打印模型的高度为xm,x:77=1:400,解得x =0.1925,∴.3D打印模型的高度为0.1925m.0.1925m= 19.25cm≈19cm,∴.3D打印模型的高度约为19cm ABCABCABC 13题答图 19.解：(1)7 共有9种等可能的结果，其中参与者小顺和小利被分配到同 (2)当点D在线段AB上运动时， 一组的结果数有3种， “参与者小顺和小利被分配到同一组的概率是}子 y=24P.DP=2(0<x≤3)： 当点D在线段AB的延长线上运动时，即点P'在线段PC上 14.解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 运动， 根据题意，得+y=10, 解得厂x6, 如答图①，AP'=x,PP=x-3,CP'=7-x,CP=4,BP=3. L25x+20y=230, Ly=4. 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 15.(1)证明：·四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°. (D)B r∠BAE=∠CDF, 在△ABE和△DCF中，AB=DC, L∠B=∠C=90°， ∴.△ABE≌△DCF(ASA). 19题答图① (2)解：由(1)知△ABE≌△DCF .FP'∥BP, ∴.AE=DF=13. ∴.∠CFP'=∠CBP,∠CP'F=∠CPB, ·∠B=90°，AB=12, .△CFP'∽△CBP, .BE=√AE2-AB2=5. CP'EP 16.解：(1)如答图①，点D即为所求（答案不唯一）. CP=BP' .7-xFp! 4 3 解得Fp'=21-3x 4, 3+21-3x 六y=SAm+S#6rm=7×3+ 4 2(x-3) 16题答图① 16题答图② (2)如答图②，点E即为所求（答案不唯一）. -(x-7)2+10.53<x≤7). 案及解析 x2(0<x≤3)， .∴.DE=BM,AD∥NH. 综上，y .四边形DEGF是菱形， F3(x-7)2+10.5(3<x≤7) ∴.DE=FG,FG∥AD, .FG=DE=BM=HN,FG∥NH, (3)x的值为6. [解析]当正方形APDE的对称中心与，点B重合时，如答图②， 四边形GFHN是平行四边形. .'..AD =2AB=62,..AP DP,AP2 DP2 AD2,Ep 2AP2 =72, 【探究提升】解：四边形GFN为轴对称图形时，品的值为宁 解得AP=6,∴.x=6. E D [解析]由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边 B 形GFHN为轴对称图形，则四边形CFHW是矩形或菱形.当四 边形GFHN是矩形时，过点G作GK⊥AB于点K,过点E作 ET⊥AB于点T,如答图①. 19题答图② 20.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为 G 2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函 N B 数解析式为F拉力=x+b(k,b为常数，且k≠0)， 21题答图① 将坐标(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉力=x+b, LA=60,LAET=30,Ar=7A.设Ar=x,则AE= 得+-4，。解得03， 2x,.ET=√AE2-AT=√3x=GKE为AD的中点，.AD= 10k+b=2.8, 1b=5.8, 2AE=4x,DE=AE=2x..四边形DEGF是菱形，∴.EG=DE= “弹簧测力计A的示数F拉功关于x的函数解析式为F拉力= 2x=TK..四边形GFHN是矩形，∴.∠GNH=90°.，'AD∥NH, -0.3x+5.8(6≤x≤10). ∠A=60°，∴.∠HNB=∠A=60°，∴.∠GNK=180°-∠GNH- (3)m的值为0.6，n的值为1.6. [解析]根据题图可得，圆柱体小铝块所受重力为4N,当x=8 ∠HNB=180°-90°-60°=30°，.KN=√3GK=√3×V3x=3x. 时，F拉力=-0.3×8+5.8=3.4,4-3.4=0.6(N),∴.m=0.6. BN-BM-C-2ADAB-AT+TK+KN +BN- 2 当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F糕力关于x的函数解 析式为F拉力=片x+b(k,b1为常数，且片≠0)，将坐标(6,4) x+2x+3x+2x=8,船-经=分当可边形GN是支形 和(10,25)分到代入F+6,得64，解程 时，延长FG交AB于点W,如答图② 10k1+b1=2.5, k=-0.375, G b1=6.25, 弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解 析式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤10).当-0.375x+ B 6.25=3.4时，解得x=7.6,7.6-6=1.6(cm),.n=1.6. 21题答图② 21.【探究发现】解：四边形DEGF是菱形. 设AD=y,则DE=DF=EG=CF=BN=BM=HM=NM=2 【探究证明】证明：将△BMN沿MN翻折得到△HMN, ∴.BN=HN,BM=HM. :回边形GFN是支形，GF=PH=NM=CN=宁：BG/ BN BM, CD∥AB,GF∥AD,∴.四边形AEGW是平行四边形，∠GWN= ∴.HN=BN=BM=HM, .四边形BMHN是菱形， LA-0AW-EG-GW-AE-GW-GN, .NH∥BC. △GwN是等边三角形N=GW=之，AB=AW+N+ ~E为边AD的中点，M为边BC的中点， 1 DE-AD.BM-BC. 则=名+字+宁-子船子号锋上瑞递，a边 2 ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, 形G5N为箱对称图形时，.船的值为分或号