精品解析：上海外国语大学附属外国语学校2022—2023学年下学期中招直升考试数学试卷

上外直升考模拟试卷6 一、填空题 1. 已知，那么_______． 2. 分解因式：_____． 3. 已知、是方程的两根，则的值为______． 4. 不论实数m取什么值，点一定不在第_______象限． 5. 若关于的不等式的解是不等式的解的一部分，则的取值范围是_______． 6. 由我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是________． 7. 有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为_________． 8. 直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则_________． 9. 如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是________． 10. 如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 __________． 11. 如图，是的中线，，将沿翻折，点C与点重合，则____． 12. 梯形的面积为S，，且，对角线、相交于点O，的面积为，则___________． 13. 如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则_________． 14. 用一个正方形完全盖住一个边长分别是的三角形，则这个正方形的最小面积是__________． 15. 如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里． 16. 如图，在边长为a的正方形的一边上任取一点E，作交于点F，如果，，那么用x的代数式表示y为________． 17. 关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 18. 如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有___个． 19. 如图，中，，过点作交于点，在上取一点使，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点，已知，，则________． 二、解答题 20. 计算： 21. 解方程： 22. 解方程组：． 23. 设，是方程的两个根，求的值． 24. 如图，是边长为4的正方形，对角线、交于点O，点E是的中点，点F是上一点且，求的长． 25. 如图，已知在等腰直角中，，，是边上一点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，且，设． （1）求证：； （2）设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）取线段的中点，问边上是否存在点同时满足：①；②？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说出理由． 26. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上的一动点，连接并延长交射线于点，过作的垂线交的延长线于点，连接，交边于点，设的长为，的面积为． （1）求的正切值； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）线段的中点记为点，连接，若，求的值． 27. 已知抛物线的图象与x轴交于、（）两点，与轴交于点，是原点． （1）求的取值范围； （2）若，且，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P、Q分别从A、O出发，以相同的速度分别沿、向B、C运动，连接与交于点M，设，问是否存在的值，使与相似，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外直升考模拟试卷6 一、填空题 1. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数值，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，正确掌握函数值的求法是解题的关键． 根据函数的定义，将代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 2. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 首先将原式整理为，进而利用提公因式法进行因式分解，再利用公式法确定方程的解，然后进一步因式分解即可． 【详解】解： ∵对于方程，可有， ∴， ∴可有，即该方程的解为， ∴原式． 故答案为：． 3. 已知、是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、二次根式的性质等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由根与系数的关系可得，然后运用二次根式的性质化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴， ∴设，且令， 则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴或 ∵都是非负数． ∴舍去， 即 故答案为． 4. 不论实数m取什么值，点一定不在第_______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据直角坐标系中点的特征并分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，解得：， 此时点在第一象限； 当时，解得：， 此时点在第二象限； 当时，无解， 此时点不可能在第三象限； 当时，解得：， 此时点在第四象限； 故答案为：三． 5. 若关于的不等式的解是不等式的解的一部分，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元二次不等式求解，注意一元一次不等式计算时去括号合并同类项；二次不等式，结合二次函数图象，开口向上与轴有两个交点，不等式大于则取两根之外的范围，即可得出结果． 【详解】解：由不等式可知， ， 解得或， 不等式，即 解得， 不等式的解是不等式的解的一部分， ，即． 故答案为：． 6. 由我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是________． 【答案】（且为整数） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律探索、二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键．利用已知条件，找出规律，写出结果即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴我们可以归纳出的结论是． 故答案为：（且为整数）． 7. 有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为_________． 【答案】9.17 【解析】 【分析】本题考查近似数，根据取一位小数经四舍五入后得9.2分，可得平均分最高为9.24分，最低为9.15分，进而根据总分为整数可得总分为55分，求出平均数，四舍五入取两位小数即可． 【详解】解：取一位小数，经四舍五入后得9.2分， 平均分最高为9.24分，最低为9.15分， ，， 总分在54.9和55.44之间， 6位裁判给的分数都是整数， 总分也是整数， 总分是55， 平均分为：， 若取两位小数，经四舍五入后为9.17． 故答案为：9.17． 8. 直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 9. 如图，在中，，点D在上，点E在上，且，则的度数是________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 10. 如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理． 作于，于，由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，根据含角的直角三角形的直角边与斜边的关系可得，从而可得，由即可得． 【详解】解：作于，于， ∵正方形的边长等于， ∴，， ∴， ∵是正三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，是的中线，，将沿翻折，点C与点重合，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，由三角形中线的定义可得，由折叠前后对应角相等，对应边相等，可得，，进而可得，，推出是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】解：如图， 是的中线， ， 由折叠的性质得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 12. 梯形的面积为S，，且，对角线、相交于点O，的面积为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，设，，，由题可得，从而得到，再由，得到，联立①②得：，再根据，可得，进而得到答案． 【详解】解：由题可得图形： 设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 得：， ∵， 得：， 联立①②得： 解得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则_________． 【答案】176 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，证明∽，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 故答案为：176 ． 14. 用一个正方形完全盖住一个边长分别是的三角形，则这个正方形的最小面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理；由题意分析出要使正方形的面积最小则该正方形的边长最小，如要使覆盖三角形的正方形的边长最小则其三个顶点应在正方形上，且以A为正方形的一个顶点，设正方形的边长为x，则，则已知可证，于是有，则，可得，，在中，利用勾股定理可得，即，由此求解出正方形最小的边长，最后再求解正方形的最小面积即可． 【详解】解：如图： 为了使覆盖的正方形的边长最小， 应使三角形的三个顶点在正方形上，且以A为正方形的一个顶点， 设正方形的边长为x，则， ，， ， 又， ， ，即， ， ， 在中，， 即， ， ， 则这个正方形的最小面积为：． 故答案为：． 15. 如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长． 【详解】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°． 过点B作BN⊥AM于点N． ∵在直角△ABN中，∠BAN=30° ∴BN=AB=7海里． 在直角△BNM中，∠MBN=45°， 则直角△BNM是等腰直角三角形． 即BN=MN=7海里， ∴BM=（海里）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，在边长为a的正方形的一边上任取一点E，作交于点F，如果，，那么用x的代数式表示y为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再求出，然后证出，根据相似三角形的性质可得与的等式，最后根据求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是边长为a的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 则用的代数式表示为， 故答案为：． 17. 关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况分析参数的取值即可． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：， 解得：， 当和均为整数时，或或，或， ∴整数对有对． 故答案为：6 ． 18. 如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有___个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质，把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，分析对应点的不同情况，易得答案． 【详解】根据图形间的关系，分析可得如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合， 那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点有C、D，以及线段CD的中点共三个， 故答案为3． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 19. 如图，中，，过点作交于点，在上取一点使，过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同角的余角相等，锐角三角函数的知识. 设，则，可得，从而可得，由同角的余角相等，可得，根据锐角三角函数，即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算除法再计算减法，在每一步的运算中注意将分子与分母因式分解后约去公因式，化简分式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、配方法、二次根式的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将原方程中的式子配方，令，先求出的值，进而求解． 【详解】解：， ， ， ， 令，可知， 上式可化为：， 则，解得， ， ， ， ， ∴，（为负值，舍去）， ∴， ， 解得：，． 22. 解方程组：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解高次方程组，三元一次方程组，由原方程组变为，设，，，从而可得，解得或，然后代入三元一次方程组即可求解，掌握换元降次法解方程组是解题的关键． 【详解】解：由原方程组变为， 设，，， ∴， 解得：或， ∴或， 解得：或． 23. 设，是方程的两个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、一元二次方程根与系数的关系，因为是方程的一个根，可得：和，整理可得：，再把代入，可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，再利用整体代入法代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， 把的两边同时乘以， 可得：， ， 把代入， 可得：， 整理可得：原式， ，是方程的两个根， ，， ， ， ． 24. 如图，是边长为4的正方形，对角线、交于点O，点E是的中点，点F是上一点且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判断和性质和勾股定理运用．先由勾股定理求出的长，再由，可得出． 【详解】解：设于M， 是边长为4的正方形，对角线、交于点O， ，，． ， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ， ， ． 在和中 , ． ． 25. 如图，已知在等腰直角中，，，是边上一点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，且，设． （1）求证：； （2）设四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）取线段的中点，问边上是否存在点同时满足：①；②？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说出理由． 【答案】（1） 证明：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2），定义域为 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、二次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作，交于点，证明≌，即可得解； （2）过点作，垂足为点，根据求出解析式，该函数的定义域即根据边的长度来设定； （3）以点为圆心，为直径作，过点作，垂足为点，若与相切，则有成立，据此列方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为中点，为的中位线， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 即所求的函数解析式为：，定义域为； 【小问3详解】 解：存在，，理由如下： 如图，以点为圆心，为直径作，过点作，垂足为点， 若与相切，则有成立； ∵，， ∴， ∵要使能与相切，必须有：， ∴， 解得：， ∴当时，点能同时满足①②． 26. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上的一动点，连接并延长交射线于点，过作的垂线交的延长线于点，连接，交边于点，设的长为，的面积为． （1）求的正切值； （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）线段的中点记为点，连接，若，求的值． 【答案】（1）4 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，得到，证明，得到，根据正切的定义，进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，进而得到的长，利用三角形的面积公式求出函数解析式，求出点与点重合时的的长，进而求出的取值范围即可； （3）证明，得到，作，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出的长，证明，得到，进而求出的长，利用，列出方程，求出的值，进而求出的值即可． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点，则：， ∵矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 由题意，当点与点重合时， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵过作的垂线交的延长线于点，点是边上的一动点， ∴，即：； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 作，如图， 则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的实际应用等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 27. 已知抛物线的图象与x轴交于、（）两点，与轴交于点，是原点． （1）求的取值范围； （2）若，且，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P、Q分别从A、O出发，以相同的速度分别沿、向B、C运动，连接与交于点M，设，问是否存在的值，使与相似，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、三角函数的定义、相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据抛物线与轴交于、两点，则判别式大于0，解此不等式即可求解； （2）由抛物线与一元二次方程的关系以及，可求出的值，进而求出抛物线的解析式； （3）分两种情况：①当时，∽；②当不与平行，时，∽；运用三角函数的定义及相似三角形的对应边成比例可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴对于方程：， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴抛物线的解析式为：， 【小问3详解】 解：令，有， ， ， ∴或， ∴，，， ，，， 由题意知：， 当时，∽， 则， 即， ， 整理得：， ∴； 当不与平行，时，∽， 过作的垂线，为垂足， ， ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $