函导综合一 切线问题讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合一 切线问题 崔北祥 函导综合一：切线问题 瞬时变化率的几何体现：切线斜率，如图： 切线有“旁切”和“穿切”，“单切”和“公切”等，如图所示： 解决切线问题的关键是切点，抓住“切点”的三重作用：.直线与曲线相切一般要应用三点： 1.是曲线在切点处的导数是切线的斜率； 2.是切点即在曲线上也在切线上； 3.是没有切点要设切点.本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构.可求斜率、切点坐标、切线方程以及相关参数值. 可以概括为：抓切点，列方程，解变量；求斜率，点斜式，写方程.若试题中未明确给出切点，则需要先设出切点坐标. 一、分类解读 1.单切线（切线本质） 注意“在点处的切线” 与“过点的切线”的区别 例1 （1）（2024甲理卷6）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. （2）若过原点向曲线至少可作两条切线，求实数的最大值. 【解析】（1）【答案】A ， 则，即该切线方程为，即， 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .故选：A. （2），设切点 ，即 . 变式：若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解. 【解析】设切点为， 由函数，可得，则 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 设，所以， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使得过点可作曲线的三条切线， 则满足，解得，即的取值范围是．故选：C． 2.公切线 同时与两曲线相切：一个切点或两个（两个以上）切点 试题中还经常出现公切线问题，有一个切点或分别切于两点，如图所示.这仍需要抓住切点处理. 例2（1）（2017年天津卷节选）已知函数和的图象在公共点处有公切线. 求证：在处的导数等于. （2）（2016年全国Ⅱ卷16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ． （1）【解析】，∴，即. （2）【答案】 【解析】的切线为：（设切点横坐标为） 的切线为：（设切点横坐标为）， ∴ 解得 ， ∴. 变式：（1）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． （2）已知函数，，若存在直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是 . （1）【答案】或 【解析】令，则， 设切点分别为，则切线方程为：， 即 ，即 ∴，即 ∴，即或 ∴或. （2）【答案】D 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解. 【解析】设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即， 由题意知，因为， 由可得， 将其代入可得：， 显然，整理得. 记且，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即， 化简得，解得. 3.隐切线 试题中也常出现这样一类问题：题面上不涉及“相切”、“切线”、“切点”等字眼，但求解时却需要用到曲线的切线，求解这类“隐性”切线问题时，关键在于找出这条隐藏的切线，数形结合解决问题.找到这条切线常常用：部分隔离参数、临界极端分析问题. 例3 (2013全国2理科21)已知函数．当时，证明. 【解析】法一：以直代曲切线放缩 不等式传递 ∵时，. ∴， 当且仅当取等号. 又∵ ∴ 又∵，当且仅当取等号. ∴ 不等式中前两个等号不可能同时取得. ∴.即成立. (上式中，时，，时，，均可以用导数知识证明) 法二：以直代曲公切线放缩 不等式传递 要证原式只需证： 设的公切线为.切点分别为. , ∴ 化简可得：，即，从而， 对应的点，对应公切线方程为 易证：， 又∵两者取等的条件不相同，∴，即 【步骤】①利用连个函数表达式设出对应切点和切线；②利用导数与斜率的定义列出等式；③利用切点坐标求得“公切线”的方程；④证明两个函数与公切线的关系. 变式：已知函数满足满足. (1)求的极值； (2)若，求的最大值 【解析】(1) 略：，， 单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值； (2)，即 令，，如图 设在点处的切线与直线平行， ：，即 要使，只要， ∴， 令，则 ，∴的最大值为. 二、练习强化 1.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，， 由题意得直线过定点，且斜率， 如图，由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点， ∴，则切线方程过点， ∴，即，， ∴ 3.（多选）若直线与曲线和曲线相切于同一点，则的横坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 4.设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5.已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为与互为反函数，故图像关于对称， 设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为， 如图，设，则，即， 解得或-3（舍去）， 故， 易求得曲线的斜率为2的切线方程为， 故曲线的斜率为2的切线方程为， 的斜率为2的切线方程为， 故曲线的斜率为2的切线方程为， 所以，则，则.故A，B，D错误.故选：C. 6.已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，令，由， 得，所以 由题意可知，存在，使得，只需要，即， 所以，， 所以的最大值为.故选: D. 7.若函数，直线分别与曲线相切于点， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，则直线方程为 即，，即 ∴，两式相除，可得：，即. 8.已知，，的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可以转化为： 是函数图象上的点，是函数上的点，. 当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值. 令，解得或，（舍去），又， 所以切点到直线的距离即为的最小值.所以， 所以.故选：B. 9.已知实数满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为实数满足：，所以，. 所以点在曲线上，点在上. 所以的几何意义就是曲线上的任一点 到上的任一点的距离的平方. 由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小. 设在点处的切线与平行， 则有：，解得：，即切点为. 此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值， 所以的最小值为.故选：B 10.在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】法一： （当且仅当时，取“=”） ，令，则， 的最小值为点到直线的距离，即. 法二：设 设 ，则. 11.(2024新1卷)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则 . 【答案】 【解析】由得,,故曲线在处的切线方程为 ；由得,设切线与曲线相切的切点为 ,由两曲线有公切线得,解得,则切点为 ,切线方程为,根据两切线重合, 所以,解得. 12.已知，若曲线存在唯一一条公切线，则 . 【答案】 【解析】设切点为，则 ，即，得，， 13.已知函数，是曲线的一条切线．（其中为自然对数的底数） （1）求； （2）证明：． 【解析】（1）设直线与曲线切于点， ∵，∴，即，∴. （2）法一：令，由（Ⅰ）知. ∵在上单调递增， 又， ∴在上有唯一实根，且. 当时，； 当时，，从而当，取极小值，也是最小值. 由，得，则. 故， ∴，即. 法二：切线放缩 博观约取 第 6 页 共 10 页 厚积薄发 学科网（北京）股份有限公司 $函导综合一 切线问题 崔北祥 函导综合一:切线问题 瞬时变化率的几何体现:切线斜率,如图: 切线有“旁切”和“穿切”,“单切”和“公切”等,如图所示: 解决切线问题的关键是切点,抓住“切点”的三重作用:.直线与曲线相切一般要应用三点: 1.是曲线在切点处的导数是切线的斜率; 2.是切点即在曲线上也在切线上; 3.是没有切点要设切点.本就用到了上面三点,然后再配求所求式子的结构.可求斜率、切点坐标、切线方程以及相关参数值. 可以概括为:抓切点,列方程,解变量;求斜率,点斜式,写方程.若试题中未明确给出切点,则需要先设出切点坐标. 一、分类解读 1.单切线(切线本质) 注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别 例1 (1)(2024甲理卷6)设函数,则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. (2)若过原点向曲线至少可作两条切线,求实数的最大值. 变式:若过点可作曲线的三条切线,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.公切线 同时与两曲线相切:一个切点或两个(两个以上)切点 试题中还经常出现公切线问题,有一个切点或分别切于两点,如图所示.这仍需要抓住切点处理. 例2 (1)(2017年天津卷节选)已知函数和的图象在公共点处有公切线. 求证:在处的导数等于. (2)(2016年全国 卷16)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线, . 变式:(1)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 . (2)已知函数,,若存在直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则实数的取值范围是 . 3.隐切线 试题中也常出现这样一类问题:题面上不涉及“相切”、“切线”、“切点”等字眼,但求解时却需要用到曲线的切线,求解这类“隐性”切线问题时,关键在于找出这条隐藏的切线,数形结合解决问题.找到这条切线常常用:部分隔离参数、临界极端分析问题. 例3 (2013全国2理科21)已知函数.当时,证明. 变式:已知函数满足满足. (1)求的极值; (2)若,求的最大值 二、练习强化 1.设,曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为,则到曲线对称轴距离的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知函数的图象与直线恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大依次为,则( ) A. B. C. D. 3.(多选)若直线与曲线和曲线相切于同一点,则的横坐标可能为( ) A. B. C. D. 4.设,若关于的不等式在上恒成立,则的最小值是( ) A. B. C. D. 5.已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为,则( ) A. B. C. D. 6.已知函数图象上存在两条互相垂直的切线,且,则的最大值为( ) A. B. C. D. 7.若函数,直线分别与曲线相切于点, ,则( ) A. B. C. D. 8.已知,,的最小值为( ) A. B. C. D. 9.已知实数满足:,其中e是自然对数的底数,则的最小值是( ) A. B. C. D. 10.在同一平面直角坐标系中,P,Q分别是函数和图象上的动点,若对任意,的最小值为( ) A. B. C. D. 11.(2024新1卷)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则 . 12.已知,若曲线存在唯一一条公切线,则 . 13.已知函数,是曲线的一条切线.(其中为自然对数的底数) (1)求; (2)证明:. 博观约取 第 3 页 共 4 页 厚积薄发 学科网(北京)股份有限公司 $