第十三章 三角形 单元测试2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十三章 三角形 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为估计池塘岸边两点之间的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，则点之间的距离不可能是( ) A． B． C． D． 3．如图，在中，D是延长线上一点，，，则（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ）    A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 7．如图，在中，已知点，，分别是边，，的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 8．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（        ） A． B． C． D． 9．如图，,是的高，，，，则（    ） A． B．10 C． D．6 10．如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③ 二、填空题 11．在中，，，则 ． 12．一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为________cm. 13．已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 14．已知，，是三角形的三条边，化简 ． 15．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝40°，则∠1＋∠2＝　　　　°. 16．在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，把△ABC的周长分为两部分，若其差为3 cm，则BA＝ ． 17．如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为 ． 18．若的任意两个角都不相等，且其中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，内角称为该三角形的“倍角”．若一个“倍角三角形”有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数最大可以为 ． 三、解答题 19．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数． (1)若AC＝8，BC＝2，求AB的长； (2)若AC－BC＝5，求AB的最小值． 20．如图，在中，点在上，的平分线交于点,交于点E,过点作交于点. （1）求证：； （2）若，求的度数. 21．如图，在中，平分，利用圆规和无刻度直尺作出的边上的高（保留作图痕迹）． （1）若，，求的度数； （2）若，，则的度数 ______，的度数 ______（用含和的代数式表示）． 22． 如图，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的中线． (1)S△ABD________S△ACD(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)若△ABD的周长比△ACD的周长多4，且AB＋AC＝14，求AB，AC的长． (3)△ABC的周长为27，AB＝9，BC边上的中线AD＝6，△ACD的周长为19，求AC的长． 23．【基本模型】 (1)如图(1)，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACD，试说明∠P＝∠A． 图(1) 【变式应用】 (2)如图(2)，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线所在直线的交点为P，在点A，B的运动过程中，∠P的度数是否会发生变化？若不发生变化，请求出其度数；若发生变化，请说明理由. 图(2) 【拓展应用】 (3)如图(3)，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点(不与点O重合)，连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线所在直线的交点为P，请直接写出∠P的度数. 图(3) 参考答案 1．【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断． 【详解】解：A.，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； B. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C. ，故这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； D. ，故这三根木棒能构成三角形，符合题意； 故选D． 2．【答案】A 3．【答案】C 【分析】直接根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 4．【答案】C 5．【答案】D 【分析】三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高． 【详解】解：由图可得，线段是的高的图是D选项， 故此题答案为D. 6．【答案】D 【分析】根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，从而推出∠1+∠4=∠2-∠3 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，    ∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角， ∴∠6=∠2-∠3②， 由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3． 故选D． 7．【答案】B 【分析】直接根据三角形中线的性质进行求解即可：三角形中线平分三角形面积． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故此题答案为B． 【知识点拨】三角形中线的性质：三角形中线平分三角形面积,利用‘等底同高’证明. 8．【答案】C 【分析】由题意知，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查了三角形外角的性质，三角板中角度计算问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．【答案】C 【详解】解：， ， 故此题答案为C． 10．【答案】B 【分析】求出，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④． 【详解】解：∵分别平分，，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，，， ∴， ∴；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，，， ∴；故④正确； 故选B． 11．【答案】15 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴. 12．【答案】22　 【解析】分两种情况：①当腰长是4 cm，底边长是9 cm时，三角形的三边长为4 cm，4 cm，9 cm，此时，4＋4＜9，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边长是4 cm，腰长是9 cm时，三角形的三边长为9 cm，9 cm，4 cm，此时，4＋9＞9，能构成三角形，则其周长为4＋9＋9＝22(cm)．故答案为22. 【易错警示】解题的关键是要进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形． 13．【答案】4（答案不唯一） 【分析】先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可． 【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为， 则：，即 ， 因为边长为整数， 所以可以取、、、、中任意一个，比如取． 14．【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系可得 ， ，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边， ∴ ， ， ． 15．【答案】140 【解析】如图，∵∠3＝40°，∴∠ABC＝180°－60°－40°＝80°，∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2，∠BAC＝180°－60°－∠1＝120°－∠1.∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴80°＋(120°－∠2)＋(120°－∠1)＝180°，∴∠1＋∠2＝140°.故答案为140. 16．【答案】8cm或2cm 【详解】解：AD是△ABC的中线， BD=CD． AD把△ABC周长分为两部分，其差为3 cm， , 如果，那么,； 如果，那么,． 17．【答案】/60度 【分析】过点F作，根据平行线的性质可得，可得，由角平分线的定义结合得，，再根据平行线的性质得，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点F．， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【答案】 【分析】通过分类讨论确定角的可能角色（倍角、被倍角或第三个角），进而求出倍角的最大值即可． 【详解】解：①设，则 此时第三个角为， 这与题干中“的任意两个角都不相等”矛盾，故排除； ②设，则， 此时第三个角为， 三个角度数分别为，均不相同，符合条件，此时； ③设第三个角为，则， ， ， 即， 解得：，， 三个角度数分别为，均不相同，符合条件，此时； 综上可得：“倍角”的度数最大可以为． 19．【答案】见解析 【解析】 (1)由三角形的三边关系知，6＜AB＜10. 又∵△ABC的周长为奇数，而AC，BC为偶数，∴AB为奇数，故AB的长为7或9. (2)∵AC－BC＝5，∴AC，BC中一个奇数、一个偶数． 又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数， ∴AB＞AC－BC＝5，则AB的最小值为6. 20． 【答案】解：(1)∵， (2) ∴=180°-20°-110°=50°. ∵平分， ∴==25°. ∵=110°, ∴=180°-=45°. ∵, ∴=45°. 21．【答案】（1） （2）， 【分析】求出，可得结论； 利用角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：图形如图所示． ，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， 的度数为； （2）解：由题意知，， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 22．【答案】见详解 【详解】(1)∵△ABD与△ACD等底同高，∴S△ABD＝S△ACD. (2)∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∵△ABD的周长比△ACD的周长多4，即AB＋BD＋AD－(AC＋CD＋AD)＝4，∴AB－AC＝4.又∵AB＋AC＝14，∴AB＝9，AC＝5. (3)由题意，得BC＝27－9－AC＝18－AC，∴CD＝BC＝9－AC.∵AD＋CD＋AC＝6＋9－AC＋AC＝19，∴AC＝8. 23．【答案】(1)∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC.∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∴∠ACP＝∠A＋∠ABC.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.∵∠PBC＋∠P＋∠ACB＋∠ACP＝180°，∴∠ABC＋∠P＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°，即∠ABC＋∠ACB＋∠P＋∠A＝180°，∴180°－∠A＋∠P＋∠A＝180°，∴∠P＝∠A. (2)∠P的度数不变.如图(1).∵∠2＋∠P＝∠1，∠ABO＋∠AOB＝∠NAB，∴∠P＝∠1－∠2，∠AOB＝∠NAB－∠ABO.又∵BP平分∠ABO，AC平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB－∠ABO＝2(∠1－∠2)＝2∠P，∴∠P＝∠AOB＝45°. 图(1) (3)∠P＝22.5°或67.5°.分两种情况：①点B在点O右侧时，如图(2).∵∠2＋∠P＝∠1，∠ABO＋∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1－∠2，∠AOB＝∠DAB－∠ABO.又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB－∠ABO＝2(∠1－∠2)＝2∠P，∴∠P＝∠AOB.∵∠MON＝90°，OD平分∠MON，∴∠AOB＝45°，∴∠P＝22.5°. ②点B在点O左侧时，如图(3).∵∠2＋∠P＝∠1，∠ABO＋∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1－∠2，∠AOB＝∠DAB－∠ABO.又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB－∠ABO＝2(∠1－∠2)＝2∠P，∴∠P＝∠AOB＝×(90°＋45°)＝67.5°. 　 图(2)　　　　　　　　图(3) 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $