专题04 分式、分式方程及其实际应用（宁夏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 分式、分式方程及其实际应用 考点1 分式的化简求值 1．（2021•宁夏）化简求值：（），其中a1． 2．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． （） ＝（）•第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第 　 　 步是通分，通分的依据是 　 　 ． ②第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 3．（2023•宁夏）计算：　 　 ． 4．（2024•宁夏）先化简，再求值：，其中． 5．（2025•宁夏）化简求值：，其中． 考点2 列分式方程 1.（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 考点3 利用分式方程解决问题 1．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解． 乙：1.6，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解． 则甲所列方程中的x表示 　 　 ，乙所列方程中的x表示 　 　 （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？ 1．（2025•宁夏利通区校级三模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 　 　 ，乙同学解法的依据是 　 　 ；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 2．（2025•宁夏金凤区校级三模）化简结果是　 　 ． 3．（2025•宁夏兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……………………第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步 ……… （1）第二步的解题依据是 　 　 ； A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则． （2）以上解方程步骤中，第 　 　 步开始错误的，错误原因是 　 　 ； （3）请写出该分式方程的正确解答过程． 4．（2025•宁夏吴忠模拟）当x＝　 　 时，代数式的值为0． 5． （2025•宁夏一模）先化简，再求值：，再从1，2，3，4中选择一个你喜欢的数代入求值． 6．（2025•金凤区模拟）化简并求值：（），其中x，y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0． 7．（2025•金凤区校级二模）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务：填空 （1）以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　 　 ； A．整式乘法 B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第 　 　 步是进行分式的通分，其依据是 　 　 ； （3）第 　 　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　 　 ． （4）请直接写出正确结果 　 　 ． 8．（2025•宁夏中宁县模拟）先化简，再求值：，其中，． 9．（2025•宁夏一模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．（2025•宁夏利通区校级三模）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，⋯，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为　 　 ． 11．（2025•宁夏金凤区校级三模）露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车．已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元，用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍． （1）求甲型房车和乙型房车的单价； （2）若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆，为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少？ 12．（2025•宁夏吴忠模拟）科技的力量正在悄然改变我们的生活，AI（人工智能）技术的浪潮扑面而来，无人配送正在成为物流运输行业的新趋势．现有甲、乙两种型号的无人配送车被用来运送快件，甲型车比乙型车平均每小时多运送20件，甲型车运送800件所用时间与乙型车运送600件所用时间相等．求甲型车平均每小时运送快件的数量． 13．（2025•宁夏兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式、分式方程及其实际应用 考点1 分式的化简求值 1．（2021•宁夏）化简求值：（），其中a1． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝[]• • ， 当a1时， 原式 ． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． （） ＝（）•第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第 　 　 步是通分，通分的依据是 　 　 ． ②第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可； ②利用去括号法则得出答案； 任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号． 故答案为：①一，分式的性质． ②二，去括号没有变号． 任务二： （） ＝（）• • • ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． 3．（2023•宁夏）计算：　 　 ． 【分析】利用同分母分式的加法法则运算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，掌握同分母分式的加法法则运算是解题的关键． 4．（2024•宁夏）先化简，再求值：，其中． 【分析】首先化简，然后把代入化简后的算式计算即可． 【解答】解： • ＝a﹣1． 当时， 原式＝11． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 5．（2025•宁夏）化简求值：，其中． 【分析】先化简分式，再代入求值． 【解答】解： ， 当时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简是解题的关键． 考点2 列分式方程 1.（2024•宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 考点3 利用分式方程解决问题 1．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解． 乙：1.6，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解． 则甲所列方程中的x表示 　 　 ，乙所列方程中的x表示 　 　 （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？ 【分析】（1）根据所列方程即可判断出x的意义； （2）设可购进A型玩具a个，则8a+5（200﹣a）≤1350，解不等式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量； 故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量； （2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个， 根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350， a≤116， ∴整数a最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键． 1．（2025•宁夏利通区校级三模）化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 　 　 ，乙同学解法的依据是 　 　 ；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法： ＝[]• • • ＝2x； 若选择乙同学的解法： •• •• ＝x﹣1+x+1 ＝2x． 【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2025•宁夏金凤区校级三模）化简结果是　 　 ． 【分析】先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了异分母分式加法计算，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025•宁夏兴庆区校级二模）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：第一步 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）……………………第二步 2x﹣1＝3x﹣3﹣6x+12…………第三步 ……… （1）第二步的解题依据是 　 　 ； A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则． （2）以上解方程步骤中，第 　 　 步开始错误的，错误原因是 　 　 ； （3）请写出该分式方程的正确解答过程． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）第二步的解题依据是等式的性质， 故答案为：B； （2）以上解方程步骤中，第三步开始错误的，错误原因是括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号， 故答案为：三；括号前是“﹣”号，去括号后，括号内第二项没有变号； （3）该分式方程的正确解答过程如下： ， 2， 2x﹣1＝3（x﹣1）﹣6（x+2）， 解得：x， 检验：当x时，3（x+2）≠0， ∴x是原方程的根． 【点评】本题考查了解分式方程，单项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•宁夏吴忠模拟）当x＝　 　 时，代数式的值为0． 【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【解答】解：由题意知x﹣2＝0且x≠0． 解得x＝2． 故答案为：2． 【点评】考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5． （2025•宁夏一模）先化简，再求值：，再从1，2，3，4中选择一个你喜欢的数代入求值． 【分析】先把可能内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件选取m＝2或m＝4代入计算即可． 【解答】解：原式• • ， ∵m﹣3≠0且m﹣1≠0， ∴m可以取2，4， 当m＝2时，原式；当m＝4时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 6．（2025•金凤区模拟）化简并求值：（），其中x，y满足|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：∵|x﹣2|+（2x﹣y﹣3）2＝0， ∴|x﹣2|＝0，（2x﹣y﹣3）2＝0， ∴x＝2，y＝1， 原式•． 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2025•金凤区校级二模）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务：填空 （1）以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　 　 ； A．整式乘法 B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第 　 　 步是进行分式的通分，其依据是 　 　 ； （3）第 　 　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　 　 ． （4）请直接写出正确结果 　 　 ． 【分析】（1）观察分式中的分子和分母进行判断即可； （2）观察第二步的过程，然后进行判断即可； （3）观察化简过程，然后根据去括号法则进行判断即可； （4）按照化简分式的一般步骤，进行化简即可． 【解答】解：（1）第一步将原式中的这一项变形为属于分解因式， 故答案为：B； （2）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； （3）第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四，第二个括号去括号时后两项没有变号； （4） ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分、几种常见的分解因式的方法和完全平方公式． 8．（2025•宁夏中宁县模拟）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代值求解即可． 【解答】解：原式 ． 将，代入可得， 原式． 【点评】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025•宁夏一模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，读懂题意，找准等量关系即可列分式方程． 【解答】解：根据题意可得， 故选：B． 【点评】本题考查列分式方程解应用题，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 10．（2025•宁夏利通区校级三模）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，⋯，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植x棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为　 　 ． 【分析】根据方程知，乙每小时种植（7﹣x）颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【解答】解：乙每小时种植（7﹣x）颗花苗，则和为x+7﹣x＝7， 故应该加上：两人每小时共种植7颗花苗； 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确分析所列方程是解题的关键． 11．（2025•宁夏金凤区校级三模）露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车．已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元，用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍． （1）求甲型房车和乙型房车的单价； （2）若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆，为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少？ 【分析】（1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为（x+5）万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车（20﹣a）辆，设总费用为w元，则w＝8a+13（20﹣a）＝﹣5a+260，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【解答】解：（1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为（x+5）万元， ∵用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍， ∴， 解得x＝8， 经检验，当x＝8是原分式方程的解， ∴x+5＝13， ∴甲型房车的单价为8万元，乙型房车的单价为13万元； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车（20﹣a）辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴20﹣a≥8， 解得a≤12， 设总费用为w元， 由题意可得：w＝8a+13（20﹣a）＝﹣5a+260， ∴w随a的增大而减小， ∴当a＝12时，w最小，此时w＝200，20﹣a＝8， 答：当购买甲型房车12辆，购买乙型房车8辆时，总费用最低，最低费用为200万元． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式解实际问题，一次函数求最值的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 12．（2025•宁夏吴忠模拟）科技的力量正在悄然改变我们的生活，AI（人工智能）技术的浪潮扑面而来，无人配送正在成为物流运输行业的新趋势．现有甲、乙两种型号的无人配送车被用来运送快件，甲型车比乙型车平均每小时多运送20件，甲型车运送800件所用时间与乙型车运送600件所用时间相等．求甲型车平均每小时运送快件的数量． 【分析】根据“甲型车运送800件所用时间与乙型车运送600件所用时间相等”列方程求解． 【解答】解：设甲型车平均每小时运送快件的数量为x， 则：， 解得：x＝80， 经检验：x＝80是原分式方程的解， ∴x﹣20＝60， 答：甲型车平均每小时运送快件的数量为80件． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 13．（2025•宁夏兴庆区校级四模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【分析】（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，根据采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，但所用时间要比无人机配送多6分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，根据10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时， 由题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×40＝60， 答：无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时； （2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务， 由题意得：40y≥16， 解得：y≥70， 答：无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． / 学科网（北京）股份有限公司 $