精品解析：广西南宁市第三十三中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

2025年9月9日高二数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 2. 经过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在，  又由直线过点 ， 则其方程为 故选：. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 5. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则下列命题正确的个数为（    ） ①；② ③侧棱与底面所成角的余弦值为；④直线与所成角的正弦值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断向量垂直来判断直线垂直；利用勾股定理求线段长度；利用余弦定理求空间中的角度. 【详解】. 所以，故.命题①正确. 连接，，由勾股定理得，所以是等腰三角形. .命题②错误. 在中，由余弦定理得，求得. 侧棱在底面上的投影为，所以侧棱与底面所成的角即为.命题③正确. 连接，，其中为中点.在中，为中位线，所以，. 要求与所成角，即求与夹角，即. 由勾股定理得. 在中，由余弦定理得， 解得,从而.命题④正确. 故选：C 6. 已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C 8. 如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示关于坐标的函数，再求函数的值域. 【详解】连接，在中，易得，． 以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 设平面平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以， 当时，可得点在平面内，可得，， 又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角， 又因为平面平面，所以，所以，． 又因为，，即．， 当时，，其中； 当时，，其中； 的取值范围为， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的倾斜角不可能为 B. 恒过定点 C. 的一个法向量为时， D. 时，不经过第二象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，恒过顶点进行判断各个选项． 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 10. 如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成二面角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 对于A，，故， 故，即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故点到平面的距离，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确． 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的面积最小，最小面积是__________. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率. 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【小问1详解】 由，得． 【小问2详解】 由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 16. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【小问1详解】 由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． 【小问2详解】 由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【小问1详解】 直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. 【小问2详解】 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． （1）求证：． （2）若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由已知得为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面,所以． （2）存在，2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）记，则为的中点．取侧棱上的点，使得平面，连结，交于点，连结，然后根据其他已知条件利用空间向量解决即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，记，显然为的中点． 取侧棱上的点，使得平面， 连结，交于点，连结， 则，从而是的中点． 因为为的中点，所以． 设， 则． 因为三点共线， 所以，解得． 所以，故． 又当时，确有是的中点， 从而，故平面． 所以在侧棱上存在点，使得平面， 此时． 19. 已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明: 因底面是菱形，，是中点，所以， 又，则．已知平面，平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，继而得到平面平面； （2）解法1：过作，过作，再说明为平面与平面的夹角，然后求其正切值即可；解法2：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求夹角的余弦值，再求正切值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解法1：在等腰直角中，过作， 则是中点，． 又，所以平面， 又因为平面，所以， 过作，连接， 由于，平面，所以平面， 又平面，故，所以为平面与平面的夹角， 由（1）知，在中，， 故， 因为平面，平面，所以， 则． 解法2：因为平面，所以两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 则，∴， 由（1）易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则不妨取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 故正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月9日高二数学测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则下列命题正确的个数为（    ） ①；② ③侧棱与底面所成角的余弦值为；④直线与所成角的正弦值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的倾斜角不可能为 B. 恒过定点 C. 的一个法向量为时， D. 时，不经过第二象限 10. 如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成二面角的正弦值为 11. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 13. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的面积最小，最小面积是__________. 14. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求的值． 16. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． （1）求证：． （2）若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $