河北省部分学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级上学期开学考 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册第五章,必修第二册第六章、第八 章,选择性必修第一册第一章。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的, 1.角a的终边过点(0,2),则cosa= A.0 B.1 C.2 D.-1 2.为了得到函数g(x)=tan(x十1)的图象,只需把函数f(x)=tanx图象上所有的点 A向右平移1个单位长度 B.向左平移1个单位长度 C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度 3.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,则AE= A多a诚+2A动 B,A+动 C多范+A市 D花+茄 4.若直线L的方向向量和平面a的法向量夹角的余弦值为了,则直线1与平面。所成角的正切 值为 A吉 B.2 3 C.22 D. 5.已知a,B,Y是3个不同的平面,且a⊥ ,下列命题正确的是 A若B⊥Y,则a⊥Y B.若B⊥Y,则ay C.若By,则a⊥Y D.若B,则ay 6.在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinC=2 sin Acos B,则 A.a=b B.a=c C.b=c D.C= 2 【高二数学第1页(共4页)】 B2 7.如图,在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B,C1中,D,E分别为线段 B F BB1,A,C1的中点,点F在B,E上,若BF⊥平面ACD,则 BE B A号 1 B 2 C.3 D 8.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“勾股圆方图”,该图 D 被后人称为“赵爽弦图”,如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形 与一个小正方形拼成,其中小正方形EFHG的边长为1,E为DF的中点, G 点P在正方形EFHG内(不含边界),则AP AB的取值范围为 A.(1,2) B.(0,4) C.(2,4) D.(1,4) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9已知a为第一象限角,sina=号则 A6oe-号 B.tana 2 C.sin 2a-5 am受- 2 10.如图,正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为1,则 平面CDA1B,与平面ABB,A1所成二面角的正弦值为 B.平面CDA,B1与平面BB,C,C所成二面角的正弦值为1 C.点B到平面CDA,B,的距离为√2 D.三棱锥B1-BCD外接球的表面积为3 1 1.已知函数f(x)=cosx十1co5,则下列结论正确的是 Af(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x= 对称 C.f(x)≥2 D,若Vx1∈[-号,5],3x,∈[2025m-a,2025x+a](0<a<受)f(x)=f(x2),则。 取最小值时,cosa=一5十V④ 4 【高二数学第2页(共4页)】 B2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知向量a=(一1,2),b=(m,3),若a⊥b,则m= 13.已知正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为√工,则该正四棱台的体积 为 14.某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子,杆子与斜面的接触点分别为A,B, 某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子,阳光可视为平行光,其中一根杆子的影子在水平面 上,长度为1.5米,另一根杆子的影子完全在斜面上,长度为√5米,斜面的底角为0,则tan日 平行阳 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知单位向量a与b的夹角为60 (1)求|a+2b1: (2)求向量a与a+2b的夹角的余弦值; (3)若(a+2b)aa+b),求 的值 16.(15分) 已知函数f(x)=sin(ax十p)(a>0,lel≤)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式: (2)求f(x)的单调递减区间; (3)求使f(x)=2成立的x的取值集合, 【高二数学第3页(共4页)】 B2 17.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,记平面PAB∩平面PCD=l, L平面ABCD. (1)证明:ABCD. (2)证明:平面PAB⊥平面PAD, (3)已知PA=AD=AB=3,CD=2,求二面角B-PC-D的正弦值 18.(17分) 如图,在 ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD=2,coS∠BAC= 10 I若sin∠ABC=号求AC; (2)若AB=AC,求 ABC的面积; (3)若AB=AD,求 ABC的周长, 19.(17分) 如图,圆台形水桶内装有少量水,已知水桶的上底面直径B:C1=50cm,下底面直径BC= 40cm,水面直径PQ=42cm,AA1,BB1,CC1均为圆台形水桶的母线,长度均为50cm.现 有一根细棒l,其长度为16√10cm,将1放入水桶中,且将L的一端置于点B处(水桶厚度、 细棒粗细均忽略不计). (1)如何放置时,浸入水中部分的长度最小,最小为多少? (2)若将L的另一端置于母线CC1上点M2处,求1浸入水中部分的长度 (3)已知AA:⊥BC,若将l的另一端置于母线AA1上点M3处,求L浸人水中部分的长度. B 【高二数学第4页(共4页)】 B2 高二年级上学期开学考 数学参考答案 1.A cos a=0. 2.B将f(x)图象上所有的点向左平移1个单位长度可以得到g(x)的图象 3.BA应=A店+2A , 4D设直线1与平面a所成的角为0,由题意可得s如0=子,tam0=号 4 5.C若By,则a⊥Y 6.A因为sinC=2 sin Acos B,所以c=2a.a2+c2-b2 ,化简得a=b. 2ac 7.C取AC的中点G,连接BG,EG,DG(图略).因为BG⊥AC,GE⊥AC,所以AC⊥平面 BB,EG,所以AC⊥BF.要使得BF⊥平面ACD,只需BF⊥DG.设三棱柱ABC-A1B,C1的 棱长为2a,则BG=3a,BD=a,tan∠BDG=3,所以∠BDG=号,∠B1BF=若,B,F= 23a BB: tan∠B,BF=23aB,F .3 3BE 3a 8.D分别过点G,F作直线GM,FN垂直于AB,垂足分别为M,N.由题意D 可得,AE=2AB=5,AM-停AN=S市在店上份我影狗量的 模长的取值范围为,),市 店的取值范围为1,. M 9.AD因为a为第-象限角,sine=青,所以cosa=号,aa=台sin2a=2sina6o8a 24 25’ 2tang A正确,B,C错误.因为tana= -an:号亏,所以2an受+3an受-2=0,解得m号 心、 =或-2因为a为第一象限角,所以2k<a<受+2kx,k∈Z,kx<号<+km,k∈Z,所 以am号=2(am号=-2合去),D正确, 10.ABD∠BB,C是平面CDA,B,与平面ABB1A1所成二面角的平面角,sin∠BB,C= -号,即平面CDA1B,与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为号,A正确 平面CDA1B1⊥平面BB,C1C,所以平面CDA1B1与平面BB1C1C所成二面角的大小为 艺,平面CDA1B,与平面BB,C,C所成二面角的正弦值为1,B正确, 【高二数学 参考答案第1页(共6页)】 B2 连接BC1,与B1C交于点O(图略),可证得BC1⊥平面CDA1B1,所以点B到平面CDA,B1 的距离为B0-号,C错误 三棱锥B1-BCD的外接球即正方体ABCD-A1B1C,D1的外接球,外接球的直径2r=√3, 表面积为4 r2=3 ,D正确, 1.ABDf(x)的定义域为{xx≠受+kx,k∈Z.因为f(-x)=cos(-x)+1os-= cosx+1cos-f(x),所以fx)是偶函数,A正确. 1 f(2r-x)=cos(2x-x)+1os(2=r=cosx+1cos-f(x),所以f(x)的图象关于 直线x= 对称,B正确. 1 1 因为fx+2)=cos(x+2m)+1osz+2=cosx+1os-f(x),所以fx)的图象 的一个周期为2元 当x∈(0,)时,cosx∈(0,1),f(x)=cosx+。 1 cos x 因为函数)=60sx在(0,受)上单润递减,函数y=x+是在0,1上单涧递减,所以f() 在(0,乏)上单调递增,结合奇偶性可得f(x)在(一,0)上单调递减。 当x∈(3,)时,cosx∈(-1,0),fr)=cosx 1 cOS x 因为面数y=csx在(受)上单调递减,函数y=一士在(-1,0)上单调递增,所以 f(x)在(三,x)上单调递诚,结合对称性可得f(x)在( ,3)上单调递增。 根据周期性可得f(x)在(-乏+2 ,2kx],(受+2k,x十2kx](k∈Z)上单调递减,在 (2k,+2x,(+2kx,经+2kx(k∈Z上单调递增。 因为f(0)=2,f()=0,所以f(x)≥0,C错误. 当x1∈[-号,5]时,f(x)∈2,],由题意可得,当x:∈[2025x-a,2025r十a]时, fx,)<2,f(x,)m≥号因为f(x)的图象关于直线x=2025元对称,f(x)在(2025x, 2025x+受)上单调递增,f(2025x)=0,所以f(2025元+a)≥号,即c0s(2025x+a)+ 1o202十0≥号,结合0<a<受,化简得cosa+号sa-1<0,解得os&≤ 1 5 二5+/④,所以a取最小值时,osa=二5+/④,D正确 4 4 【高二数学 参考答案第2页(共6页)】 B2 12.6因为a⊥b,所以-m+2 3=0,解得m=6. 18.28该正四陵台的高为1-(2222)-3,体积V-AcS+SS+S)=专 3 (22+√22X4平+42)=28. 14.7如图,BC=AH=3,BF=5,AG=1.5.由题意可得 tam∠AGH=tan∠DEC=A=2,sin∠DEC=25 行阳 AG 5 杆H B cos∠DCE=cos(g-∠DEC)=sin∠DEC=2Y5 .在 BCF中,BF2=BC2+CF2-2BC CFcos∠DCE,即5=9+CF2-2X3CFX2y5 ,解得 cF=25(cF=2S合去.CBF=-BPCCR-原所以m∠ABD-=S 2BF BC 如0=5m0=之 15.解:(1)a b=la 1lcos60=号 2分 la+2b|=√a2+4a…b+4b2=√7.… …4分 (2)a (a十2b)=a2+2a b=2, …6分 aa,a+w)-8+器-29 …9分 (3)因为(a+2b)八a+b),所以a+2b=x(a+b)=x a+xb, …11分 所以 =以'解得入一2 2=x, 心0400000.13分 16解:1①由图可得,7-受-音=子则T==行 …1分 因为w>0,所以w=2,则f(x)=sin(2x十p). 2分 将点(受1)的坐标代入解析式可得sin(2 登+p)=sin(管+)=1, …3分 则答十9=受十2k元k∈Z,解得g=-季十2k,k∈Z…4分 因为9≤受,所以9=-, …5分 则fx)=sin(2x-5).… …6分 (②)令受+2k<2x-吾<受+2mk∈Z,解得登+kx<r<+kk∈Z…8分 所以x)的单调递减区间为[登+k,告+]k∈2. … …10分 【高二数学 参考答案第3页(共6页)】 B2 (3由f)=2可得sim(2x-)=分, …11分 所以2x-号-号+2x或2x-音=若+2次x,k∈乙, …13分 解得x=径+x或x=晋十xk∈乙 故女的取值集合为女=登十长x或x=子十x∈Z列.…15分 17.(1)证明:因为平面PAB∩平面ABCD=AB,l∥平面ABCD,所以lAB.…2分 因为平面PCD∩平面ABCD=CD,l平面ABCD,所以LCD,所以AB∥CD. 4分 (2)证明:因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB.…5分 因为AB⊥AD,PAC平面PAD,ADC平面PAD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD. …6分 因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.…7分 (3)解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴,建立如图所示的空间直角坐 标系,则B(3,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3).…9分 PC=(2,3,-3),PB=(3,0,-3),PD=(0,3,-3). 设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,21), 则m =0即1十3二3a1=0可取m=(3,3…1分A 即 m Pi=0,3x1-3z,=0, 设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2) 则 m PC=0,n2x2十3y2-3z2=0 即 n.Pi=0,3y2-3z2=0, 可取n=(0,1,1).…13分 am滑2图 …14分 所以二面角B-CD的正弦值为(②)F- …15分 19 18.解:1因为cos∠BAC=,所以sn∠BAC-3四 10, …1分 在 ABC中,由正弦定理得 BC AC in∠BAC=sin∠ABC, 3分 即3=A …4分 3w10 4,解得AC=4可 51 10 5 (2)在 ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB ACcos,∠BAC,…6分 即9=2AB-2AB X,解得AB:=10+西 …7分 2 MBC的面积为2AB ACin∠BAC=之AB'sin∠BAC=3而+9 4 …9分 【高二数学 参考答案第4页(共6页)】 B2 (3)作AE⊥BC,垂足为E,则E是BD的中点,即BE=DE=1. …10分 设AE=x(x>0),则AB=√AE2+BE区=√x2+1,AC= √AE2+CE=√x2+4.… …11分B 在 ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB ACcos∠BAC, 即9=x2+1+x2+4-2W+i √2+4x 10 13分 令x2+1=1,则6=2- v不,即24-6=i 不. 两边平方可得t2一7t+10=0,解得t=5或t=2.… 15分 当1=2时,x=1,AB=反,AC=5,c0s∠BAC=AB+AC2-BC≠ 2AB AC 10,舍去 …16分 当t=5时,x=2,AB=AD=5,AC=2V2,cos∠BAC= 0,符合题意 综上, ABC的周长为AB十AC+BC=√5+2√2+3.…17分 19.解:(1)当1垂直于圆台形水桶的底面,即直线BM1垂直于圆台形水桶的底面时,浸入水中 部分的长度最小。 …]分 记BM,nPQ=D,BM,∩B,G=E(图略,B,E=B,C,BC=5cm,QD=PQ,BC- 2 2 1cm,水桶的高h=BE=√/BB-B1EZ=15√Tcm.…2分 因为 QDB∽ B,EB,所以器-能.即=15C ,BE BE 1 =BD,解得BD=3V厅cm, 所以浸入水中部分的长度的最小值为3√Icm…4分 (2)记BM2∩PQ=H,过C作CG⊥B1C1,垂足为G(图略) oL0c0,=-as∠0c,B=8-b …5分 在 BCM2中,BM=BC2+CM径-2BC CM2cos∠BCC1, 所以16o)2=402+CMg-2 40XCM, (-),解得CM,=4(-1)cm(CM,= 4(一√61一1)舍去).…7分 由(I)得, QDBA B,EB,所以,E-S=B=5,解得BQ=PC=10cm QDBDT BQ BH PC 因为HPBC所B=MC即-BH .10 、,解得BH=2√0I+1) cm, 16104(6 - 所以1浸人水中部分的长度为20(y面+少 cm. …9分 3 (3)记圆台形水桶上底面圆的圆心为O1,下底面圆的圆心为O,连接OO,(图略) 【高二数学 参考答案第5页(共6页)】 B2 因为OO1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以OO1⊥BC 因为AA1⊥BC,直线AA1与直线OO1一定相交,所以BC⊥平面OO1A1A,BC⊥OA.… ,…11分 在等腰梯形ABB1A1中,AB=20√2cm,A1B1=25V2cm,cos∠BAA1=-cos∠AA1B1= 、② 20 在 ABM3中,BM3=AB2+AMG-2AB AM3cos∠BAA1, 所以16V)=(20v2)+AM-2X20反 AM, (-号)),解得AM,=40cm(AM,= 一44舍去).… …13分 记点M3在平面ABC内的投影为N,点A1在平面ABC内的投影为I,矩形OO1A,I如图 1所示. 因为 AMNO AI,所0-品碧-C解得MN-12Tem …15分 记BM3与水面交于点K,点K在平面ABC内的投影为S, BM3N如图2所示 因为 BKSO MN,所以器-祭即k- ,解得BK=4√10cm, "16/1012√ 所以L浸入水中部分的长度为4√10cm.… …17分 0 图1 图2 【高二数学 参考答案第6页(共6页)】 B2