精品解析：贵州省铜仁市印江县2021-2022学年九年级下学期3月一模考试数学试题

印江自治县2022年九年级第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试题卷上作答无效． 3．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上． 1. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截至年月底，我国已无偿向个国家和个国际组织提供疫苗援助．预计年中国新冠疫苗产能有望达到剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A. 8，7 B. 8，8 C. 8.5，8 D. 8.5，7 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° 6. 如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，边长为的正方形中，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点，点在边上，，连接、，与交于点，以下结论：；；；；，其中正确结论为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”） 13. 分式方程的解是______． 14. 如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______． 16. 有一数值转换器，原理如图所示若开始输入的x为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，那么第2022次输出的结果是______． 三、解答题：（共8个大题，共86分，要有解题的主要过程） 17. 在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点，点关于轴的对称点为点． （1）若点的坐标为， 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； （2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值． 18. 如图，、、分别是各边的中点，连接、、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）加上条件 后，能使得四边形为菱形，请从①；②平分；③，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明． 19. 某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表： 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率． 20. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 21. 印江县“精准扶贫”助农平台为朗溪镇农户销售水果，其中香甜可口的橘子在平台上的销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的橘子销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据： x（元/千克） 6 7 8 9 y（千克） 9000 8500 8000 7500 （1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：____，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：_____，（______）． （2）若某一周橘子的销售量不少于6000千克，求本周朗溪镇农户获得的最大收入和橘子售价分别为多少元？ 22. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 23. 如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． （3）当时，有最大值，求的值． 24. 【问题发现】 （1）如图所示，和是有公共顶点的等边三角形，则的值是______（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，和是有公共顶点的含有角的直角三角形，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图所示，和是有公共顶点且相似比为的两个等腰直角三角形，将绕点自由旋转，若，当、、三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 印江自治县2022年九年级第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试题卷上作答无效． 3．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上． 1. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截至年月底，我国已无偿向个国家和个国际组织提供疫苗援助．预计年中国新冠疫苗产能有望达到剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A.x2+x不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确； D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 4. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A. 8，7 B. 8，8 C. 8.5，8 D. 8.5，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数与中位数的定义可以直接得到答案． 【详解】解：因为全班抽取了人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是， 这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7． 故选A． 【点睛】本题考查的是中位数与众数的概念，掌握这两个概念是解题的关键． 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案． 【详解】如图： ∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 6. 如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 7. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，确定的取值范围．本题主要考查了不等式组解集的确定和不等式组无解的条件，熟练掌握“大大小小找不到”即不等式组无解时界点值的比较是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组无解， ∴． 故选：A． 8. 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可 【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4； 当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7； 点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键． 9. 若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】当底为5时，另外两边长相等，有两个相等的实数根，求出的值，检验三边能否构成等腰三角形；当腰为5时，有一个根是5，求出的值，检验三边能否构成等腰三角形． 【详解】解：当底为5时，另外两边长相等，且为的根， 即有两个相等的实数根， 解得 ； ，， ，，能构成等腰三角形； 当腰为5时，5为的根， 即 解得 ，， ， ，，能构成等腰三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程解得情况以及构成三角形的条件；分底为5时或腰为5时讨论是解题的关键． 10. 如图，边长为的正方形中，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点，点在边上，，连接、，与交于点，以下结论：；；；；，其中正确结论为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质，结合角平分线的定义，可证，对应边相等，对应角相等，由三线合一结合角平分线的性质，可判断和②，可证，对应边相等，由勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，可得，从而可得，可判断③，由勾股定理，结合三角形相似的判定和性质，可判断④，延长和的延长线交于，可证，对应边相等，由平行线的判定，结合平行线分线段对应成比例，可得，证明，对应边成比例，等量代换，可判断⑤． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故正确， 在中，， ∴是等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故不正确， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 故正确， 延长和的延长线交于，则， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确， ∴正确的结论为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，平行线分线段对应成比例，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，三角形相似的判定和性质． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：=×（11+12+13+14+15）=13， s甲2= [（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2， =×（12+12+13+14+14）=13， s乙2= [（12-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（14-13）2]=0.8， ∵2＞0.8， ∴s甲2＞s乙2； 故答案为：＞． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 13. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 【详解】解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 14. 如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】连接CE，如图所示， 根据折叠可知：A′E＝AE＝ AB＝1， 在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°， ∴CE＝＝， ∵CE＝，A′E＝1， ∴点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E＝﹣1， 故答案为：﹣1. 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等，连接CE是解决本题的关键． 16. 有一数值转换器，原理如图所示若开始输入的x为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，那么第2022次输出的结果是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2022次输出的结果是多少即可． 【详解】解：第一次输出的结果是：1+3=4， 第二次输出的结果是：×4+3=5， 第三次输出的结果是：5+3=8， 第四次输出的结果是：×8+3=7， 第五次输出的结果是：7+3=10， 第六次输出的结果是：×10+3=8， 第七次输出的结果是：×8+3=7， 第八次输出的结果是：7+3=10， …， ∴从第三次开始，输出的结果分别是8、7、10、8、7、10、…，每三个结果为一组循环， （2022-2）÷3 =2020÷3 =673…1， ∴2022次输出的结果是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是进行有理数的混合运算． 三、解答题：（共8个大题，共86分，要有解题的主要过程） 17. 在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点，点关于轴的对称点为点． （1）若点的坐标为， 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； （2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值． 【答案】（1） ，， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，关于轴对称的点的坐标特征，求函数解析式． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，可得点，再将点的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；由结合图象即可得的取值范围； （2）设点，则，将点的坐标代入，将点的坐标代入，可得和，相加即可． 【小问1详解】 解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点， ∴，， ∴，． 由结合图象可知，当时，． 【小问2详解】 解：设点，则， ∵点在函数（是常数，，）的图象上，点在函数（是常数，）的图象上， ∴，， ∴． 18. 如图，、、分别是各边的中点，连接、、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）加上条件 后，能使得四边形为菱形，请从①；②平分；③，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）②或③，见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，根据平行的传递性证明，即可证明四边形为平行四边形． （2）选②平分，先证明，由四边形是平行四边形，得出，即可证明平行四边形是菱形．选③，由且，得出，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：已知、是、中点 ∴ 又∵、是、的中点 ∴ ∵ ∴ ∴四边形为平行四边形 （2）证明：选②平分 ∵平分 ∴ 又∵平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 选③ ∵且 且 又∵ ∴ ∴平行四边形为菱形 故答案为：②或③ 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点． 19. 某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表： 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1）25；0.1；100； （2）补全图形如下： （3）1520人； （4） 【解析】 【分析】（1）根据成绩为优秀的频数和频率计算出本次抽取的人数，然后计算a、b的值； （2）根据求解的良好部分的人数，补全统计图即可； （3）根据统计图中的数据，可以计算该校测试成绩等级在合格以上的学生共有多少人； （4）列树状图将可能出现的情况列出来，找出甲、乙两名同学同时被选中的情况，进一步计算概率即可． 【详解】（1）(人)，即； (人)，即； ，即； （2）略 （3）(人)， 答：成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有1520人； （4）画树状图如图： 共有12种可能出现的结果，甲、乙两名同学同时被选中的有两种， 所以甲、乙两名同学同时被选中的概率为：． 【点睛】本题主要考查根据频数、频率计算样本总数，根据样本情况估算满足情况的总人数，频数直方图的画法，用列表法或树状图求概率等知识点，准确理解统计图中所给数据、正确画出树状图是解决本题的关键． 20. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【解析】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，， 在中，， ， 解得，． 答：宝塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 21. 印江县“精准扶贫”助农平台为朗溪镇农户销售水果，其中香甜可口的橘子在平台上的销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的橘子销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据： x（元/千克） 6 7 8 9 y（千克） 9000 8500 8000 7500 （1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：____，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：_____，（______）． （2）若某一周橘子的销售量不少于6000千克，求本周朗溪镇农户获得的最大收入和橘子售价分别为多少元？ 【答案】（1）， （2）最大收入和橘子售价分别为54000元和12元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数的性质是解题的关键． （1）首先判断出y是x的一次函数，然后利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）设本周朗溪镇农户获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：根据表格可知，售价x每增加1元，销售量y减少500千克，故y是x的一次函数， 设， 代入，；，得：， 解得：， ∴， ∵平台的运营成本为每千克3元，农户的保底收入为每千克3元，且售价不超过15元/千克， ∴； 【小问2详解】 解：设本周朗溪镇农户获得的收入为w元， 由题意得：， ，即， ， ， ，对称轴为， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴本周朗溪镇农户获得的最大收入和橘子售价分别为54000元和12元． 22. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 23. 如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． （3）当时，有最大值，求的值． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2） 解：直线与抛物线有两个交点，理由： 由得， 整理得， ∴， ∴方程两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值． （1）把点的坐标代入，可得，从而可得抛物线的解析式； （2）联立直线和抛物线的方程，由根的判别式判断方程的解的个数，从而可得交点的个数； （3）根据与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 24. 【问题发现】 （1）如图所示，和是有公共顶点的等边三角形，则的值是______（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，和是有公共顶点的含有角的直角三角形，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图所示，和是有公共顶点且相似比为的两个等腰直角三角形，将绕点自由旋转，若，当、、三点共线时，求的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可得出结论； （2）在和中，，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，证明，即可求出的值； （3）分两种情况求出的长即可． 【详解】解： （1）如图． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）如图所示． 在和中， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 分为两种情况： ①如图所示． 同理：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解之得：（舍去）， ∴； ②如图所示． 同理：，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解之得：（舍去）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $