专题02 空间向量解决空间点、线、面位置关系问题 2大高频考点（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题02 空间向量解决空间点、线、面位置关系问题 2大高频考点概览 考点01 空间线面、面面平行问题 考点02 空间线面、面面垂直问题 地 城 考点01 空间线面、面面平行问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 二、多选题 3．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 4．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（    ）    A．若，则 B．存在点H，使得平面 C．线段长度的最小值是 D．存在点H，使得 三、填空题 7、(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为， 且，那么 四、解答题 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 9．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 10．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 地 城 考点02 空间线面、面面垂直问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．(24-25高二上·河北保定市部分学校联考·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 3．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（    ） A． B．平面平面 C． D．点到平面的距离为 4．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在正三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法错误的是（    ） A．当且时，有 B．当且时，有 C．当时，的周长为定值 D．当时，三棱锥的体积为定值 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（   ） A．平面 B．直线与平面所成的角为 C．平面平面 D．点到平面的距离为 6．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 三、填空题 7．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 8．(24-25高二上·河北张家口·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 四、解答题 9．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 10．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②． (1)证明：； (2)若平面，且，求点C到平面的距离 11．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 12．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． (1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD； (2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E－ABC的体积． 13．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 14．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量解决空间点、线、面位置关系问题 2大高频考点概览 考点01 空间线面、面面平行问题 考点02 空间线面、面面垂直问题 地 城 考点01 空间线面、面面平行问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面平行的向量表示可得，再利用空间向量垂直的坐标表示即可列式求解. 【详解】因为，所以，所以，即，解得.故选：C 2．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【详解】因为，，所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，所以或.故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】BC 【分析】根据直线的方向向量及法向量的位置关系分别判断各选项. 【详解】对于选项A,由已知，则不存在，使，即与不平行，故A选项错误； 对于B选项,由已知，则，即，则，故B选项正确； 对于C选项,由，则，即，则，故C选项正确； 对于D选项,由，则，即，则，故D选项错误. 故选：BC 4．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以， 所以，故A选项错误； 设平面的法向量为，则， 令则，所以，所以，由于平面，所以平面，故B选项正确；，所以到平面的距离为故C选项正确；由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，所以 ，故D选项错误，故选：BC 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点，， ．又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，． ，，．与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．0，，1，， 由，即，得取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d．又2，，， 点到平面DEF的距离为，故D正确．故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（    ）    A．若，则 B．存在点H，使得平面 C．线段长度的最小值是 D．存在点H，使得 【答案】ABC 【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于D，依据，则，从而可判定H的存在性. 【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，    则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则， 即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确， 对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误. 故选：ABC 三、填空题 7、(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为， 且，那么 【答案】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以，解得. 四、解答题 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，是棱的中点．    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，求到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据三线合一得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，证明出； （2）作出辅助线，得到，由线面平行的判定得到结论； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【详解】（1）因为为等边三角形，是棱的中点，所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面，因为平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接，因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故，又平面，平面，所以平面；    （3）由（2）知，平面，故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则，由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 设平面的法向量为，则， 解得，令得，故，    所以到平面的距离，故到平面的距离为. 9．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接BD交AC与O，连接，构造三角形中位线即可求得；（2）根据面面垂直的性质定理可以证得线面垂直，进而得到线线垂直，再结合正三角形三线合一可以求得；（3）建立空间直角坐标系即可求得. 【详解】（1）连接BD交AC与O，连接，如图所示： 因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面， 平面底面， ，所以平面，所以，因为侧面是正三角形，M是的中点，所以， 因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （3）过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设底面正方形的边长为2，则，，， 由第二问可知，即为平面的法向量，，， ，直线与平面所成角的大小为. 10．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设平面的法向量为，则，令，则，则，    直线平面夹角的正弦值为； （3）由（2）知，平面的法向量为，点到平面的距离为. 地 城 考点02 空间线面、面面垂直问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，所以，因为平面的一个法向量为，所以，则，解得， 故选：C. 2．(24-25高二上·河北保定市部分学校联考·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以，因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以，所以，，故，即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，，故，所以，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，故，，即，所以不垂直，则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（    ） A． B．平面平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据面面平行的判定定理判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断线线关系判断AC，根据点面距离的向量公式求解距离判断D. 【详解】因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因为∥，且，则为平行四边形， 可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正确；如图， 分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A错误，C正确；设平面的法向量，， 则，令，则，即，又， 所以，故点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD 4．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在正三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法错误的是（    ） A．当且时，有 B．当且时，有 C．当时，的周长为定值 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ABC 【分析】当且时，点为棱的中点，可判定是异面直线，即可判断A；当且时，点是棱中点，计算可判断B；当时，点在棱上，分别计算，时的周长，即可判断C；当时，点在棱上，利用线面平行的性质以及棱锥的体积公式，即可判断D. 【详解】对于A，当且时，，则点为棱的中点，如图， 因为平面，平面，，平面，所以是异面直线，故A错误；对于B，当且时，，则点是棱中点，如图， 因为 ，所以与不垂直，故B错误； 对于C，当时，，则，点在棱上，周长为，如图， 当时，点为棱中点，， 当时，点与点重合，，从而可知的周长不是定值，故C错误； 对于D，当时，，则，点在棱上，如图， 因平面平面，则平面，因此点到平面距离为定值， 而 面积是定值，即有三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ABC. 5．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（   ） A．平面 B．直线与平面所成的角为 C．平面平面 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量关系证明，；利用向量法求线面角即可判断；根据点到面的距离公式即可判断. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 对于，，，，显然， 即平行于平面，而平面，因此平面，正确； 对于，，，，， 所以，，即，， 又，平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，， 所以，所以直线与平面所成的角为，错误； 对于，，，而，显然， ，即，，又，，平面， 于是平面，而平面，因此平面平面，正确； 对于，，，设平面的一个法向量， 则，令，得，，又， 所以点到平面的距离，正确. 故选：. 6．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【来源】河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二上学期学科素养评估（期中）数学试题 【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于为正方体的体对角线，在平面内，据此可得平面平面于，又交平面于点，故点在上，故项正确；很明显平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，故项正确；设到平面的距离为，，，解得，故D项错误；故选：ABC． 三、填空题 7．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，，平面ABC， ，，，. 故答案为：. 8．(24-25高二上·河北张家口·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又，所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 四、解答题 9．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）利用空间向量法可求得平面和平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为正方形，平面， 所以、、两两相互垂直. 以点为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即， 因为，所以，即. 又因为、平面，，所以平面. （2）易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为， 则，令，得，， 所以为平面的一个法向量，因为， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 10．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②． (1)证明：； (2)若平面，且，求点C到平面的距离 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用等积法结合条件即得. 【详解】（1）证明：在图1中，因为，且为的中点， ，又为的中点，所以， 在图2中，，且，平面， 平面，又平面，所以； （2）因为平面，平面， 所以 ，又平面， 所以平面，连接，则 ， 因为，为等边三角形， 所以，，， 所以， 取的中点，连接，则，设点到平面的距离为， ，即，解得，即点到平面的距离为． 11．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以， 即，所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为，则. 平面与平面夹角的余弦值. 12．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． (1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD； (2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E－ABC的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，先证得面PAD，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而证得结论 （2）根据线面角的正弦等于直线与法向量夹角的余弦的绝对值，得，再由基本不等式取等的条件求得a，进而求得三棱锥E－ABC的体积 【详解】（1）证明：平面ABCD,CD平面ABCD，,面 面 四边形ABCD为矩形，面面 在中，PA=AD=1，E为PD中点，,面，面平面PCD （2）解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设 设平面ACE的一个法向量为，则，令，解得 ，设直线PC与平面ACE所成角为， 则，当且仅当时，等号成立， 三棱锥的体积为 13．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以.又因为平面平面， 平面，所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则， 设平面的法向量为，由，得 ，点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值. ， 解得：或. 14．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得结果； （2）建系标点，（ⅰ）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （ⅱ）设，，根据垂直关系列式求，即可得结果. 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故． （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为，则，，，，，， 故，，设为平面的法向量，则， 令，则，可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意，设，， 故，，设，，则， 而，， 若平面，则，解得， 故当重合，点的坐标为时，平面，此时． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $