专题01 空间向量的基本运算 4大高频考点（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题01 空间向量的基本运算 4大高频考点概览 考点01 空间向量的线性运算 考点02 空间向量的数量积及投影向量运算 考点03 空间向量的平行、垂直的运算 考点04 空间向量基本定理及多点共线、共面问题 地 城 考点01 空间向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在长方体中，（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，.设，，，则以为一组基底表示为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，、分别为边、上的动点，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·河北邯郸武安市第一中学·期中)如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二上·河北保定安国中学)如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． 平面 D．直线与平面所成角为 10．(24-25高二上·河北保定安国中学)已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 三、填空题 11．(24-25高二上·河北张家口·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 四、解答题 12．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示；(2)求； 13．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 地 城 考点02 空间向量的数量积及投影向量运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)已知，，均为单位向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A．－2 B．2 C． D． 5．(24-25高二上·河北保定安国中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（    ）． A．7 B． C．28 D．11 8．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量为 10．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．异面直线与所成的角的余弦值为 2、 填空题 12．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)若为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则 ． 13．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知向量，，，则 . 14．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 15．(24-25高二上·河北衡水市衡水中学·期中)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 16．(24-25高二上·河北保定安国中学)正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 地 城 考点03 空间向量的平行、垂直的运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 3．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)设，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知，向量，，，且， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 二、多选题 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 三、多选题 7．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知向量,若,则的值为 ． 8．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)已知，若，则的值为 . 地 城 考点04 空间向量基本定理中及多点共线、共面问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邢台质检联盟·期中)已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 2．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)已知，，，若共面，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 6．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 7．(24-25高二上·河北张家口·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，且，，则 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 8、(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)， D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 9．(24-25高二上·河北部分校·期中)下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 10．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 三、解答题 11．(24-25高二上·河北邯郸·期中)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且． (1)证明：，，，四点共面． (2)设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的基本运算 4大高频考点概览 考点01 空间向量的线性运算 考点02 空间向量的数量积及投影向量运算 考点03 空间向量的平行、垂直的运算 考点04 空间向量基本定理及多点共线、共面问题 地 城 考点01 空间向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在长方体中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案. 【详解】在长方体中，.故选：D. 2．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示： 易知. 故选：D 3．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ．故选：D． 4．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，.设，，，则以为一组基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法和减法法则即可求得. 【详解】因为，为的中点，则 .故选：. 5．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：，故选：B. 6．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】.故选：A 7．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)在中，、分别为边、上的动点，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的基本定理表示向量，列出方程组解出，可得答案． 【详解】在中，，则，， 所以所以，解得，故． 故选：D 8．(24-25高二上·河北邯郸武安市第一中学·期中)如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理可求解. 【详解】因为:，所以：.又因为：， 所以：， 所以：.故C项正确. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二上·河北保定安国中学)如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． 平面 D．直线与平面所成角为 【答案】ABD 【分析】通过建立空间的一组基底，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A项；利用空间向量的夹角公式计算判断B项；利用向量的数量积是否为0判断C项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D项. 【详解】不妨设则. 对于A，因,故，故，故A正确； 对于B，因，,则， ， 设直线与所成角为，则故B正确； 对于C，因 ， 即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误； 对于D，因，,因，， 则有因平面，故平面， 即平面的法向量可取为，又，设直线与平面所成角为， 因，，，则， 因，故，故D正确. 故选：ABD. 10．(24-25高二上·河北保定安国中学)已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则 故，故A错误； 对于B，当时， 当且仅当，取最小值为，故B正确; 对于C，当时，，则点在及内部，而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，当时，，当时，，可得最大值为，故C正确； 对于D，， ， 而，所以 ，则为定值，故D正确. 故答案选：BCD. 三、填空题 11．(24-25高二上·河北张家口·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又，所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 四、解答题 12．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示；(2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理求解可得答案； （2）用向量法计算，再由利用空间向量的夹角公式求解可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以 ，所以. 13．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【详解】（1）由图可得： . （2）由（1）可知，因为， 所以，，， ， 所以，，， 所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为. 地 城 考点02 空间向量的数量积及投影向量运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义即可得解. 【详解】因为，所以，向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由可得，解得.故选：A 3．(24-25高二上·河北衡水第二中学·期中)已知，，均为单位向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可． 【详解】，，则，即，则 故选：C 4．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A．－2 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】 5．(24-25高二上·河北保定安国中学·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量故选：C 6．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，， 均成立，即A、B、C正确；为与共线的向量， 为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误．故选：D 7．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（    ）． A．7 B． C．28 D．11 【答案】C 【分析】由向量，，是一组单位向量，且两两垂直，得且，然后利用向量的数量积的运算性质求解 【详解】向量，，是一组单位向量，且两两垂直，所以且． 因为，，所以． 故选：C． 8．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用基底表示向量，然后再根据空间向量的数量积的运算法则进行求解即可 【详解】已知点为中点，则，因为平面，平面，所以，又四边形为矩形，所以；因此.故选：D 9．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】首先求向量，的坐标，再根据共线向量，单位向量，以及向量的夹角公式，以及法向量公式，即可求解. 【详解】，，，所以与不共线，故A错误； ，的单位向量为，故B错误；，故，故C正确；设平面的法向量为，则，即， 令，则，，则，故D错误．故选：C 10．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，，，，，， ，当时， 取得最小值，当或1，或1时，取得最大值0， 所以的取值范围是.故选：B. 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】AB 【分析】设，则，然后结合数量积的运算律，利用模的运算公式计算判断A；又，然后利用向量垂直的向量表示判断B；利用数量积的夹角公式计算判断C；利用向量法求解异面直线的夹角判断D. 【详解】设，因为各条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 所以，因为， 所以，，故A正确；由，所以 ，所以，故B正确； 因为，且，所以，所以其夹角为，故C错误；因为 ，所以，故D错误. 故选：AB. 2、 填空题 12．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)若为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，，.故答案为： 13．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】由，求出的值，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】向量，由，解得，则有，又，则. 14．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中，连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 15．(24-25高二上·河北衡水市衡水中学·期中)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 16．(24-25高二上·河北保定安国中学)正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，所以，则，当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，当点与正方体的顶点重合时，最大，且，由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，的取值范围是． 地 城 考点03 空间向量的平行、垂直的运算 一、单选题 1．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得∵，，∴，解得 故选：D 2．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据空间向量的平行，列出比例式，求得，即得答案. 【详解】由题意，，且，故，故， 故选：B 3．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)设，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解. 【详解】因为，所以即，解得，因为，所以，解得， 所以，，所以 . 故选：B. 4．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知，向量，，，且， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，，由，则，解得， 由 ，则，解得，则．故选：A． 5．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，，所以，所以， 因为，，，所以，所以，所以， 所以.故选：D. 二、多选题 6．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确，对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 三、多选题 7．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知向量,若,则的值为 ． 【答案】 【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值． 【详解】；∵；∴；解得k＝﹣6． 8．(24-25高二上·河北保定六校联盟·期中)已知，若，则的值为 . 【答案】5 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此，即可得， 所以. 地 城 考点04 空间向量基本定理中及多点共线、共面问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邢台质检联盟·期中)已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】由空间向量共面的基本定理求解即可； 【详解】因为共面，所以，即 ， 则解得.故选：D. 2．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)已知，，，若共面，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可. 【详解】解：因为共面，所以存在实数，使得，所以 所以，解得： ，故选：D 3．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面，而，则 所以，故选：D 4．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到四点共面，即可求解. 【详解】由，得， 可得，由于，根据空间向量的基本定理，得四点共面. 故选：B. 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，A正确； 对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误； 对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确； 对于D，由于是空间的一个基底，故不共面，而与共面，故与不共面，且不共线，故也是空间的一个基底，D正确， 故选：ACD 6．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 【答案】BD 【分析】由向量平行的性质判断A；根据空间向量共面定理即可判断选项B；用向量运算法则判断C；由共线向量定理判断D. 【详解】对于：若，则，且，故错误； 对于，若对空间中任意一点，有，， 四点共面，故B正确；对于， 是空间中的一组基底， 且， 共面，不可以构成空间的一组基底，故C错误； 对于，若空间四个点，，， 三点共线，故D正确. 故选：BD 7．(24-25高二上·河北张家口·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，且，，则 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，则，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，即， 则满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 8、(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)， D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 【答案】ABD 【分析】首先求出向量，，，，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D. 【详解】易知，，，，， 因为，所以 ，故选项 A正确； 因为，且四点不共线，所以，故选项B正确； 因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误；易知当时，A，B，C，D共面，即，所以， ，  解得，，所以A，B，C，D共面，故选项D正确. 故选：ABD. 9．(24-25高二上·河北部分校·期中)下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合空间基底的意义、空间向量运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A，在长方体中，共面，则不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，，而，则四点共面，从而在平面内，B正确；对于C，依题意，，设， 即，则，解得， 因此向量在基底下的坐标为，C正确； 对于D，，， 则， ，， ，D正确.故选：BCD 10．(24-25高二上·河北保定安国中学·月考)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确；对于B：在中，由于，故四点共面，B正确；对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 三、解答题 11．(24-25高二上·河北邯郸·期中)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且． (1)证明：，，，四点共面． (2)设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用共面向量定理，结合向量的坐标运算计算推理得证. （2）结合（1）的信息，求出点的坐标及平面法向量，利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，则， 于是，即向量共面， 又向量有公共点，所以，，，四点共面. （2）设，则，由点平面，得， 即，则，解得， 即，，而，则， 设平面的法向量，则，令，得， 令与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $