专题03 利用空间向量解决空间角问题 4大高频考点（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题03 利用空间向量解决空间角问题 4大高频考点概览 考点01 空间线线角问题 考点02 空间线面角问题 考点03 空间二面角问题 考点04 空间角的综合性问题 地 城 考点01 空间线线角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与所成角的余弦值为 C．平面AEF的一个法向量是 D．点D到平面AEF的距离为 12．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 三、填空题 13．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 . 四、解答题 14．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 地 城 考点02 空间线面角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．   2．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 3．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（   ） A．平面 B．直线与平面所成的角为 C．平面平面 D．点到平面的距离为 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．Q到平面的距离为 四、解答题 6．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．(24-25高二上·河北邯郸·期中)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且． (1)证明：，，，四点共面． (2)设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值． 9．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 10．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小． 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. (1)证明：. (2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 12．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 13．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． (1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD； (2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E－ABC的体积． 地 城 考点03 空间二面角问题 一、填空题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为 . 2．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 二、解答题 3．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在三棱柱中，平面平面， (1)设D为AC中点，证明: AC⊥平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)如图，在四棱锥中，与交于点O，E为中点，经过P，E，O三点的平面交直线于点F，且． (1)证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值． 5．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 6．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 7．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.    (1)证明： 平面. (2)求二面角的余弦值. 8．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. (1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； (2)证明：平面平面BCD； (3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 9．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 10．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 12．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.    (1)求证：平面PCD； (2)求平面BPD与平面夹角的余弦值. 13．(24-25高二上·河北部分校·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． (1)若为棱中点，证明： 面； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 14．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，. (1)在上找一点，使得平面； (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 15．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面 平面. (1)求证：在四棱锥中，； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 16．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，三棱锥中，平面 ，，．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 地 城 考点04 空间角的综合性问题 一、多选题 1．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)在三棱锥中，△为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与所成的角为 D．若，则 2．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 3．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．点到面的距离为 C．两条异面直线和所成的角为 D．三棱柱的体积是 4．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 5．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的半径为 二、解答题 6．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 8．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． (1)证明： (2)设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 试卷第1页，共3页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用空间向量解决空间角问题 4大高频考点概览 考点01 空间线线角问题 考点02 空间线面角问题 考点03 空间二面角问题 考点04 空间角的综合性问题 地 城 考点01 空间线线角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦市第二中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 2．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故，故直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的中点为，有，余弦定理求即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角. 【详解】以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，有， ，所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 4．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为，所以， ，设异面直线与所成角为， 则，解得，即. 故选：C 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解． 【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 ,则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 6．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（法一）连接，则即为异面直线与所成的角，解三角形即可； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，可得、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出、的夹角余弦之值，即可得到异面直线与所成的角的余弦值． 【详解】解：（法一）连接， 由题意，，则即为异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为2，则，则，在中，； （法二）分别以、、为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2，得，2，，，0，，，2，，，2，， ，，，，0，，因此，得到， ，且， ，异面直线与所成的角是锐角或直角， 面直线与所成的角的余弦值是， 故选：A． 7．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求向量夹角，即可确定异面直线与直线所成的角. 【详解】，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，所以，所以，又，所以，因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 8．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用基向量表示和，再利用异面直线所成角的向量公式即可求解. 【详解】依题意得，，所以 ， 又，，所以设异面直线AE与BD所成的角为，则 故选：A. 9．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，    则，， 因此，所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A 10．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解 【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，又，且 所以，所以,取的中点，易得,又 所以平面，又平面，所以平面平面，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，令，所以， 因为，所以，所以，所以， 因为直线AC与BD所成角为，所以， 解得，即，如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心， 设点A在平面内的投影为，作， 所以, 所以在中， ,, 所以在中，，解得， 所以，三棱锥外接球表面积为， 故选：A 二、多选题 11．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与所成角的余弦值为 C．平面AEF的一个法向量是 D．点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，设，则，，而，所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．故选：BCD 12．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（    ） A．与EF相交 B．平面DEF C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点，， ．又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，． ，，．与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，，由，即，得 取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d． 又2，，，点到平面DEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 13．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 . 【答案】 【详解】试题分析：取的中点，因为正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，易证，因为是的中点，所以,又，所以，所以所以异面直线所成的角的大小是. 四、解答题 14．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． (1)试用表示向量； (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【详解】（1）由图可得： . （2）由（1）可知，因为， 所以，，， ， 所以，，， 所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为. 地 城 考点02 空间线面角问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，，设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得，所以， 设直线与平面所成角的为，则. 故选：D.    2．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D． 3．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，. 故与平面所成角的大小为，故选A． 4．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（   ） A．平面 B．直线与平面所成的角为 C．平面平面 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量关系证明，；利用向量法求线面角即可判断；根据点到面的距离公式即可判断. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 对于，，，，显然， 即平行于平面，而平面，因此平面，正确； 对于，，，，， 所以，，即，， 又，平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，， 所以，所以直线与平面所成的角为，错误； 对于，，，而，显然， ，即，，又，，平面， 于是平面，而平面，因此平面平面，正确； 对于，，，设平面的一个法向量， 则，令，得，，又， 所以点到平面的距离，正确. 故选：. 二、多选题 5．(24-25高二上·河北石家庄六中·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角的余弦值为 D．Q到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据空间向量的公式计算各选项即可判断. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，， 对于选项A，，，则有，所以，故，所以选项A正确；对于选项B，，因为，所以，故，所以选项B正确；对于选项C，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故选项C正确； 对于选项D，因为，，设平面的法向量为， 则有，即，令，则，，所以， 又，故Q到平面的距离为，故选项D错误.故选：ABC. 四、解答题 6．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设平面的法向量为， 则，令，则，则，    直线平面夹角的正弦值为； （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得结果； （2）建系标点，（ⅰ）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （ⅱ）设，，根据垂直关系列式求，即可得结果. 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故． （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为，则，，，，，， 故，，设为平面的法向量，则， 令，则，可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为，则； （ⅱ）由题意，设，， 故，，设，，则， 而，， 若平面，则，解得， 故当重合，点的坐标为时，平面，此时． 8．(24-25高二上·河北邯郸·期中)如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且． (1)证明：，，，四点共面． (2)设平面与棱的交点为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用共面向量定理，结合向量的坐标运算计算推理得证. （2）结合（1）的信息，求出点的坐标及平面法向量，利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 则， 于是，即向量共面， 又向量有公共点，所以，，，四点共面. （2）设，则，由点平面， 得，即，则， 解得，即，， 而，则， 设平面的法向量，则，令，得， 令与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 9．(24-25高二上·河北秦皇岛昌黎文汇学校·期中)如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高，所以 因为平面且平面所以 又因为且平面，所以平面. （2）解：因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，设直线与平面所成角为， 则，故与平面所成角的正弦值为. 10．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面平面. （2）结合向量法求得直线与平面所成角的余弦值，进而求得所成角的大小. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，， ，所以， 所以，由于，所以平面，由于平面， 所以平面平面. （2）当且为中点时，， 设，则，连接，则，平面，. 由（1）知平面，所以是与平面所成角， ，所以， 由于，所以. 11．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. (1)证明：. (2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为为等边三角形，所以. 因为为等腰直角三角形，且，所以. 因为平面平面，所以平面，所以. （2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则. 设平面的法向量为，则即 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为，则 ，当且仅当时，等号成立. 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 12．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接BD交AC与O，连接，构造三角形中位线即可求得；（2）根据面面垂直的性质定理可以证得线面垂直，进而得到线线垂直，再结合正三角形三线合一可以求得；（3）建立空间直角坐标系即可求得. 【详解】（1）连接BD交AC与O，连接，如图所示： 因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面， 平面底面， ，所以平面，所以，因为侧面是正三角形，M是的中点，所以， 因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （3）过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设底面正方形的边长为2，则，，， 由第二问可知，即为平面的法向量，，， ，直线与平面所成角的大小为. 13．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． (1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD； (2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E－ABC的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，先证得面PAD，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而证得结论 （2）根据线面角的正弦等于直线与法向量夹角的余弦的绝对值，得，再由基本不等式取等的条件求得a，进而求得三棱锥E－ABC的体积 【详解】（1）证明：平面ABCD,CD平面ABCD，,面 面 四边形ABCD为矩形，面面， 在中，PA=AD=1，E为PD中点，,面，面平面PCD （2）解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设 设平面ACE的一个法向量为，则， 令，解得，设直线PC与平面ACE所成角为， 则，当且仅当时，等号成立 三棱锥的体积为。 地 城 考点03 空间二面角问题 一、填空题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解即得. 【详解】依题意，，，则，，， 设的大小为，则与互补，而， 则，， 于是，解得， 因此，又，所以. 2．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值. 【详解】因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 设平面的法向量，则，取，可得， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则. 二、解答题 3．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)如图，在三棱柱中，平面平面， (1)设D为AC中点，证明: AC⊥平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平面平面得出平面，，利用勾股定理得出，从而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量求平面与平面的夹角余弦值． 【详解】（1）证明：因为为中点，且，所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面，平面, 所以平面，又平面，则，由，，得， 因为，，，所以由勾股定理，得， 又，平面，所以平面； （2）如图所示，以（1）中的为原点，建立空间直角坐标系， 可得，则， 设平面的法向量为，由，令，得，， 所以,由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)如图，在四棱锥中，与交于点O，E为中点，经过P，E，O三点的平面交直线于点F，且． (1)证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）建系标点，利用向量可得，结合题意可知线面垂直； （2）根据题意结合空间向量列式可得点，进而可求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 因为，可得，则， 可得，因为，可知， 又因为，，平面，所以平面. （2）设，则， 由题意可得：，解得，即， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量，则， 由题意可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 5．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）利用空间向量法可求得平面和平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为正方形，平面，所以、、两两相互垂直.以点为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即， 因为，所以，即. 又因为、平面，，所以平面. （2） 易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为， 则，令，得，，所以为平面的一个法向量， 因为，所以平面和平面的夹角的余弦值为. 6．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长度为或 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内，所以平面. （2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故，由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为，则满足， 化简得， 解得或， 即或，故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 7．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.    (1)证明： 平面. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则即令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以 平面. （2）易知为平面的一个法向量，且.. 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 8．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. (1)若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； (2)证明：平面平面BCD； (3)若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形BCMF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据平面平面BCEF得平面BCEF，得，再利用勾股定理的逆定理得，进而平面DEB，故平面平面BCD； （3）建立空间直角坐标系，求出平面BNE与平面ABF的法向量，利用面面角的向量坐标公式列方程，求解点的坐标，进而得DN的长. 【详解】（1） 由，，得，. 因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且. 所以四边形BCMF为平行四边形，所以. 又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC. （2） 因为平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF. 又平面BCEF，所以.由，，，得. 又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD. （3）由（2），得EF，EC，ED两两垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，则. 设（），则. 设平面BNE的法向量为.由， 令，得.易知平面ABF的法向量为. 所以，解得，此时，所以，即DN的长为. 9．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【详解】（1）因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2）因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. （3）设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 10．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以， 即，所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为，则. 平面与平面夹角的余弦值. 11．(24-25高二上·河北石家庄第十五中·期中)如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． (1)求证：; (2)记二面角的大小为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用法向量方法，用表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求最大值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面. 因为过的平面分别与棱交于，所以； （2）因为平面，平面，平面，所以， 又因为，如图，建立空间直角坐标系， 则，所以， 设，则， 设平面即平面的法向量为， 则，令，则， 于是；设平面即平面的法向量为， 则，令，则，于是， 所以， 因为，所以，由二面角的大小为， 根据的方向判断可得， 所以，当时，的最大值为. 12．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.    (1)求证：平面PCD； (2)求平面BPD与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得平面，再得线线垂直，再根据正三角形三线合一证，最后由线面垂直的判定，证得平面PCD； （2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面， 又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面，所以平面. （2）取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 则，，，，， 所以，.设平面的法向量为，则 由得取，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为.    13．(24-25高二上·河北部分校·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． (1)若为棱中点，证明： 面； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在满足条件的点，； (3) 【分析】（1）运用中位线性质得到线线平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角得向量法求解即可；（3）在中，由余弦定理，设，则，得到，在用等体积法计算即可. 【详解】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知， 又因为上， 面，所以 面； （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得， 由为棱上一点，设， ．设平面的法向量为， 由可得令，则，则． 取平面的法向量为，则二面角的平面角满足： ， 化简得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点，此时． （3）因为，可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有： 可得， 设，则， 由题可知：该方程有实根，则，解得， 同理可得．设点到平面的距离为，则由等体积法得到：， ，解得：． 当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大， 最大体积为：． 14．(24-25高二上·河北张家口·期中)如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，. (1)在上找一点，使得平面； (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)为的三等分点，且 (2) 【分析】（1）当为的三等分点，且，在上取点，且，利用几何关系可得，，从而可得面面，再利用面面平行的性质即可说明结果成立； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求角. 【详解】（1）当为的三等分点，且时，平面，理由如下， 在上取点，使，连接， 因为，所以，又平面，平面，所以平面， 又因为，即，所以，又平面，平面，所以平面， 又面，所以面面， 又面，所以平面. （2）因为底面，底面是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，取，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 15．(24-25高二上·河北唐山滦南县·期中)已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面 平面. (1)求证：在四棱锥中，； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 【分析】（1）、先在长方形中证明；再根据面面垂直的性质定理证明平面,得到；然后利用线面垂直的判定证明平面，进而证明; （2）、以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设表示出，再分别求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，进而求出最终确定的位置； 【详解】（1）连接,为的中点，，, 为长方形,中，,，在中，, 同理,,,在折叠后的图形中： 平面 平面，平面 平面，,平面, 又平面，,又，平面,平面,,平面， 又平面,, （2）由（1）可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则,,,, 易知平面的一个法向量为，假设在线段上存在点，使二面角的余弦值为， 设,则 设平面的一个法向量为 ， 取，则 ，， 即当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为. 16．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)如图，三棱锥中，平面 ，，．分别为线段上的点，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面，可知，再分析已知由得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于，平面，因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面和平面的法向量，向量的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论． 试题解析：（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE 由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE 由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD （2）由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝． 以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），， 设平面的法向量，由，， 得. 由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即. 从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为. 地 城 考点04 空间角的综合性问题 一、多选题 1．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)在三棱锥中，△为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与所成的角为 D．若，则 【答案】ABD 【详解】如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，，因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则.以，，为基底向量，则，.对于项，若，即，所以. 因为， 所以，故正确； 对于项，由知， 所以，所以，所以，解得，所以，故正确； 对于项，若，即，所以.由知，又， 所以, ，，设与所成的角为，则，所以与所成的角不是，故错误； 对于项，若，即，所以，又，，平面，所以平面，又，所以平面，则三线两两垂直，建立如图坐标系. 则，，，，则根据三角形重心坐标公式得， 所以，所以，故正确. 故选：. 2．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故，故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确；故选：ACD. 3．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成的角等于 B．点到面的距离为 C．两条异面直线和所成的角为 D．三棱柱的体积是 【答案】AB 【解析】采用逐一验证法，根据线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式进行计算和判断，可得结果. 【详解】正方体的棱长为1，对于选项直线与平面所成的角为，故选项A正确.对于选项如图 由平面，平面，所以，又,，面 所以面，所以点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确. 对于选项如图 由//，所以异面直线和所成的角为，连接，所以为等边三角形，则两条异面直线和所成的角为，故选项C错误. 对于选项如图 三棱柱的体积是，故选项D错误. 故选：AB 4．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．直线到平面的距离是 C．点到直线的距离为 D．平面与平面所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由线面垂直得证线线垂直，判断A，由直角三角形求点线距判断C，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面距判断B，结合正方体的性质得平面的法向量，由法向量夹角求二面角判断D． 【详解】平面，平面，所以，A错；以为原点，分别以为轴建立直角坐标系，如图，则，，，，，，设平面的一个法向量是， 则，取，得， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，即为，B正确； 是直角三角形，，因此到直线的距离等于，C正确； 由正方体的性质，可得平面，平面，，， ，， 所以平面与平面所成角的余弦值为，D正确．故选：BCD． 5．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的半径为 【答案】ABD 【分析】由三角形中位线的性质可得与的夹角为与的夹角即再由为正三角形可得A正确；建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量，代入线面角公式求解可得B正确；求出平面的法向量，代入空间点面距离公式可得C错误；画出图形，找到球心，由勾股定理列方程组可得D正确； 【详解】对于A，由点分别是棱的中点，所以， 所以与的夹角为与的夹角即为正三角形，，故A正确； 对于B，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为，则， 与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，，设平面的法向量 不放设，则设点到平面的距离为，则，故C错误； 对于D，的外接圆是以为直径的圆，设圆心为则，易得， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为，故D正确； 故选：ABD. 二、解答题 6．(24-25高二上·河北石家庄第一中学·期中)如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直证平面，利用线面垂直的性质易得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用（2）中建系，分别求出两个半平面的法向量，再根据空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）因平面平面，平面平面, 由底面是正方形，可知,且平面,则平面， 又平面，故； （2） 如图，分别取的中点为，连接.因，则, 因平面平面，平面平面, 且平面，则平面， 又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是，, 设平面的法向量为， 则，故可取； 因,设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）建系，则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，，平面PAD，平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO，又，则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ，设为平面ADM的一个法向量， 由得，则， 易知平面ABCD的一个法向量为，设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ，， 8．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． (1)证明： (2)设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，再由题意证出平面，进而由平面，所以，再由线面垂直的判定证出即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出平面的法向量，解出，换元法令，再结合二次函数在定区间的最值求得即可. 【详解】（1）证明：由题意可知为球的直径，所以．又因为，所以， ，所以平面，平面，所以，，所以平面． （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 根据题意可得，则， 所以，， 则， 设平面的法向量为，则，取． 设，则． 设平面的法向量为，则取， ． 令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 【点睛】关键点点睛：换元法令，再结合二次函数在定区间的最值是解决最值问题的一种重要方法，也是本题解题的关键. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $