第一章勾股定理同步练2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 同步练 一、单选题 1．若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．7 2．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（   ） A．2，2，3 B．5，12，13 C．8， 12， 16 D．7，20，25 3．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 9．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 10．如图，四边形中，于点，若，则等于（   ） A．15 B．16 C．17 D．20 二、填空题 11．在一直角三角形中，已知两边的长是3、4，则第三边的长是 ． 12．如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 13．凹四边形的各边长度如题图所示，已知，那么凹四边形的面积为 ．（其中，） 14．如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为 ． 15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则 ． 三、解答题 16．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 17．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴成轴对称的图形，点、的对应点分别是点、； (2)在（1）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是___________，___________． 18．如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿运动，设运动时间为秒． (1)若点P在上，且满足，求出此时t的值； (2)若点P恰好在的平分线上，求t的值． 19．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 20．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 同步练2025—2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A B D C D C 1．B 【分析】本题考查了勾股数的定义． 分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可． 【详解】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意， 当为斜边时，，不是正整数，不符合题意， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行判定即可． 【详解】解：A、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，能构成直角三角形，故符合题意； C、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 5．A 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查利用直角三角形的性质和面积公式来求解的长度．首先，利用三角形的面积公式求出的长度；然后，利用直角三角形BCD的勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即 ， 解得：(负值舍去)， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】解：如图，作于点O， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴大树的高度为， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 9．D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴的值为17 故选：C． 11．或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当3、4均为直角边时；当3为直角边，4为斜边时；利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：当3、4均为直角边时，第三边长为， 当3为直角边，4为斜边时，第三边长为， 综上所述，第三边的长是或， 故答案为：或． 12．/ 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，设，则，，进而在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 折叠，点落在边上的点处， ，，， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为： 13．36 【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接，过B作于，因为，所以，由勾股定理计算，，凹四边形的面积，由此解答本题． 【详解】解：连接，过B作于， ∵，， ∴， 解得（负值舍弃）， ∵，， ∴， ∴，即， ∴凹四边形的面积为， 故答案为：． 14． 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，利用勾股定理可以求出. 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 15． 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，进而根据，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ； 故答案为： 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； （2）解：∵， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)；． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得．由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． 本题考查作图—轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由轴对称的性质可得，AC⊥y轴，BD⊥y轴， ∴． 由勾股定理得，，， ， ， ． 故答案为：；． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，继而得到，得到，求出； （2）当点在的角平分线上，作于点，证明，得到，得出，，根据勾股定理得到 ，求出 ；当点到达点时，， 即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ， ， ， 当时，； （2）解：当点在的角平分线上，如图，作于点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当点到达点时，， 综上，当或时，点恰好在的角平分线上． 19．(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 20．(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $