精品解析：甘肃省张掖市山丹县2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年甘肃省张掖市山丹县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　 　） A. PO B. PQ C. MO D. MQ 4. 如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么在形成的这个图中与∠α互余的角共有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 6. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 7. 如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 8. 使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＞﹣2 C. x≥2 D. x≥﹣2 9. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 11. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. 4，5，6 D. 9，， 12. 下列命题中，真命题是 A. 矩形的对角线相互垂直 B. 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C. 等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 13. 如图，直线，它们之间的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长 D. 线段的长度 14. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 15. 如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ 　　） A. B. C. D. 16. 设四边形的内角和等于a，六边形的外角和等于b，则a与b的关系是（　　） A. a＞b B. a＜b C. a＝b D. b＝a+360° 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 18. 一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ） A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，108° C. 88°，92°， 92° D. 88°，92°，88° 二、填空题：本题共10小题，共34分． 19. 一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是_______． 20. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 21. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为__________________. 22. 如图，已知于A，于B，且，则______． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，S△ABC＝6 cm2，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___ cm. 24. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为__________． 25. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 26. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____． 27. 菱形的一个内角为 ,且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的面积为______________. 28. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 29. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共7小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 30. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情况下，证明：为等腰三角形． 31. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1 （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1________ ；B1________；C1________ （3）求△ABC的面积． 33. 如图，AB＝CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE＝CF．求证：BD平分EF． 34. 和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． （1）按小英的思路完成这一结论． （2）如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 35. 如图在四边形中，，；，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 36. 计算： （1）； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省张掖市山丹县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； C、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故此项符合题意； 故选D． 3. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　 　） A. PO B. PQ C. MO D. MQ 【答案】B 【解析】 【分析】要想利用求得MN的长，只需求得线段PQ的长． 【详解】解：∵△PQO≌△NMO， ∴PQ=MN． 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 4. 如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么在形成的这个图中与∠α互余的角共有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用角互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可． 【详解】解：∵斜边与这根直尺平行， ∴∠α=∠2， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠α=90°， 又∠α+∠3=90° ∴与α互余的角为∠1和∠3． 故选：C． 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 6. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和的定理，解决此题的关键是计算要细心，不要出错． 7. 如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 8. 使代数式有意义的x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＞﹣2 C. x≥2 D. x≥﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x+2≥0， 解得x≥﹣2， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键. 9. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 10. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 5，6，7 C. 4，5，6 D. 9，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理：两短边平方和等于长边平方的三角形是直角三角形． 12. 下列命题中，真命题是 A. 矩形的对角线相互垂直 B. 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C. 等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，此选项错误； B、顺次连接四边形各边中点所得到的四边形不一定是矩形，此选项错误； C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项错误； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 故答案选：D． 【点睛】本题考查了矩形、菱形的定义及性质，轴对称图形和中心对称图形的概念，准确掌握各概念及定义是解答本题的关键． 13. 如图，直线，它们之间的距离是（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长 D. 线段的长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离的定义判断即可． 【详解】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度． 观察图形可得为直线之间的垂线段． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，熟练掌握定义，并结合图形准确判断是解题的关键． 14. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 15. 如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形FDCE全等， 所以EC=AF=AE， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即42+（8﹣AE）2=AE2， 解得，AE=AF=5， 所以BE=3， 作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形， 所以AG=3，GF=2，GE=AB=4， 由勾股定理得EF=． 故选：D． 16. 设四边形的内角和等于a，六边形的外角和等于b，则a与b的关系是（　　） A. a＞b B. a＜b C. a＝b D. b＝a+360° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论． 【详解】解：∵四边形的内角和等于a， ∴a＝（4－2）•180°＝360°． ∵六边形的外角和等于b， ∴b＝360°， ∴a＝b． 故选C． 【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°． ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC=BD． ∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30° ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质. 18. 一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ） A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，108° C. 88°，92°， 92° D. 88°，92°，88° 【答案】D 【解析】 【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,根据所给的三个角的度数可以求出第四个角,然后根据平行四边形的判定方法验证即可. 【详解】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故B不是; 当三个内角度数依次是88°,108°,88°时,第四个角是76°,故A不是; 当三个内角度数依次是88°,92°, 92°时,第四个角是88°,而C中相等的两个角不是对角，故C不对; D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形. 故选D. 【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质定理以及四边形内角和等于360°，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，共34分． 19. 一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是_______． 【答案】10cm<x<70cm 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围． 【详解】三角形的第三边长大于两边之差，小于两边之和， ∴x的取值范围为：． 故答案为：10cm<x<70cm 【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 20. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 21. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为__________________. 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】此题应分两种情况讨论，4可能为底边，也可能为腰长，且两种情况都成立. 【详解】解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6-4＜4，满足三边关系定理， 当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5-4＜5，满足三边关系定理， ∴该等腰三角形的底边为4或6， 故答案为：4或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中． 22. 如图，已知于A，于B，且，则______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，S△ABC＝6 cm2，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___ cm. 【答案】7 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【详解】∵∠B=90°，AB=3cm，S△ABC=6cm2， ∴BC=4cm， 由折叠的性质知，AE=CE， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm． 故答案为7 【点睛】本题考查了翻折变换的知识，利用了折叠的性质． 24. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可． 【详解】∵α=20°， ∴β=2α=40°， ∴最大内角的度数=180°-20°-40°=120°． 故答案为120°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键． 25. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可. 【详解】∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题是对同类二次根式的考查，熟练掌握同类二次根式知识是解决本题的关键. 26. 一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____． 【答案】4或 【解析】 【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34； ②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42， 故答案是：4或． 27. 菱形的一个内角为 ,且平分这个内角的对角线长为8cm，则这个菱形的面积为______________. 【答案】． 【解析】 【分析】根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长，根据勾股定理得出另一条对角线求出面积即可． 【详解】菱形的一个内角为，则邻角为， 则这条对角线和一组邻边组成等边三角形， 可得边长为， 另一条对角线为：， 这个菱形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握菱形的性质． 28. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】当时，有最小值，由正方形的性质可得，进而求出此时，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴，， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 29. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式= = =， 当x=时，原式==3﹣2． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 四、解答题：本题共7小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 30. 如图，是等腰三角形，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的情况下，证明：为等腰三角形． 【答案】（1） 如图，射线为所求． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质及判定，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． （1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，两点，然后以这两个交点为圆心，大于两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点B与该交点即可求解； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得，根据角平分线求得，从而利用三角形外角的性质求得，得到，即可得证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 31. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1 （2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1________ ；B1________；C1________ （3）求△ABC的面积． 【答案】（1） 如图，是所求作的三角形， （2）（1，-2），（3，-1），（-2，1） （3） 【解析】 【分析】（1）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可； （2）根据点在坐标系内的位置，直接写出其坐标即可； （3）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据点在坐标系内的位置可得： 故答案为：（1，-2），（3，-1），（-2，1） 【小问3详解】 解： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的作图，图形面积的计算，掌握“画关于轴对称的图形”是解本题的关键． 33. 如图，AB＝CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE＝CF．求证：BD平分EF． 【答案】 证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴DE=BF， 在△DEO和△BFO中， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴EO=FO， ∴BD平分EF． 【解析】 【分析】证明Rt△ABF≌Rt△CDE，得到DE=BF，再证△DEO≌△BFO（AAS），由此得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及性质定理并正确应用是解题的关键． 34. 和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． （1）按小英的思路完成这一结论． （2）如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：如图（3），延长交于， 是的外角， ∴， 同理可得， ∴； （2） 解：与的关系：， 证明：、分别是与的角平分线， ，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 35. 如图在四边形中，，；，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若与交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． （2） 证明：如图 由（1），得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】（1）利用“”即可求证； （2）证明四边形是平行四边形即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．熟记相关定理内容是进行几何推导的前提． 36. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的化简，加减法即可求解； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $