专题02 等式与不等式（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高一数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等式与不等式 ☆3大高频考点概览 考点01等式与不等式的性质 考点02基本不等式 考点03二次函数与一元二次方程不等式 目目 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 1.(24-25高一上重庆第二外国语学校期中)已知p:x+y>2,y>1;9:x>1,y>1,，则9是p的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中设a、b、c均为实数，且a<b,下列结论正确的是() A.ac <bc B.ac2<bc2 C.a-c<b-c D.a2<b2 3.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中若x>y,则ax<ay,那么a一定是() A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0 4.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)实数a,b,c,d,下列说法正确的是() A.若a<b,c<d,则ac<bd B.若c>b>a>0,则b>a c-a c-b C.若b>c,则，1>1 2 2 D.若a>b>2,则a+二>b+ b-cb a b 二、多选题 5.(24-25高一上·重庆暨华中学校期中)若a、b、c∈R,则下列命题正确的是() A.若ab≠0且a<b,则2>6 B.若0<a<1,则a2<a C.若b>a>0且c>0,则b+c>b D.a2+b2+1≥2(a-2b-2) a+c a 6.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中)若实数4，b,c满足ab≠0，则下列不等式一定成立的是() A.若ac2>bc2,则a>b m11 B.若a>b,则二< a b C.若√a>√b,则a>b 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 D.若a>b,则a+三>b+二 a 7.(24-25高一上·重庆部分学校·期中已知a>b>c,d>0,则() A.1 1 B.a3>c a-db-d C.ab d"d D.b、c2 dd 8.(24-25高一上·重庆礼嘉中学校期中)已知实数a,b,c,d满足：Q>b>0>c>d,则下列不等式正确的 是() A.c2<ca B.a-c<b-d C.ad<be D.口<b 9.(24-25高一上·重庆第十八中学期中下列说法中正确的是() A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b>c>0,则9<9 a b C.若a>b,e>d,则a-c>b-d D.若a>b>0,则a2>ab>b2 10.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)下列选项是正确的是() A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b>0且m<0,则？>m a2>62 C.若ad2>bd2,则a>b D.若a>b且c<d,则a-c>b-d 11.(24-25高一上·重庆第八中学校期中下列命题中正确的是() A.若a>b,c<d,则a-c>b-d B.若a>b则a>b C.若a>b>0,c<0,则S>S a b D.若a>b>c>0,则<a+g bb+c 11 12.(24-25高一上重庆育才中学校期中已知实数a、b、c、m满足c<0<二<二，m>0,则下列选项正 b a 确的是() A.0<a<b B.ac bc C. a+ma b+m b D.b、 2>2 三、填空题 13.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)设2X-3<7,则X< 四、解答题 14.(24-25高一上重庆字水中学期中已知0<x<5,1<y<2 ①)求x-2y,x的取值范围： x+2v (2)若将条件变为-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1”，求x-2y的范围 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 基本不等式 一、单选题 2425高一上重肤巴置学数有团期中已知实数a>0,5>0,满足+264，测。子十62的最 小值是() A. B. C.1 D.2 2.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)已知m>3,则m+ 4的最小值为(） m- A.1 B.3 C.5 D.7 ,19 3.(24-25高一上·重庆南开中学期中)设a>0,b>0,若a+b=2,则二+三的最小值为() a b A.8 B.4 4.(24-25高一上重庆万州第三中学等多校联考期中)已知x2+y2=x2y2(xy≠0)，则1-16x2-9y2的最大值 为() A.-48 B.-49 C.-42 D.-35 二、多选题 5.(24-25高一上·重庆第二外国语学校期中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则() A生 B. 一十 C. D.√a+√b≤√2 6.(24-25高一上·重庆南坪中学校期中下列命题中正确的是() A.若a>0,b>0,2a+b=1,则ab的最大值为2 4 B.已知a>0,b>0,3a+b=2,则，1 ,+a+b的最小值是2√2-2 2at C.若ab>0,则。+46+1的最小值为4 ab 若a>0,b>0,5+1,则a+2b的最小值为 a+3b 2a+b 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 7.(24-25高一上·重庆南开中学.期中)已知实数a>1,b>1,且满足ab=a+b+3,则() A.ab的最小值为9 B.a+b的最小值为7 C.a2+b2的最大值为18 D.1+的最小值为1 a-1b-1 8.(2425高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)己知正实数，b,则下列说法正确的是() A,V后+5+的最小值是2 Va2+5 B.若3a+2b=10,则√3a+√2b的最大值是25 C.若a+6=1,则2+的最小值是3+22 a b D,若4a+6+b=2,则一的最小值是3/ a+l b 9.(24-25高一上·重庆朝阳中学·期中)设正实数m,n满足m+n=2,则下列说法正确的是() A.√m+√n的最小值为2 B.m2+n2的最小值为 C.1+2的最小值为3+22 m n D.m”的最大值为 2 2 10.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)己知正数x,y满足x+y=2,则下列选项正确的是（) A.y的最小值是1 B.x2+y2的最小值是2 C.+±的最小值尼9 x y D.xy+)的最大值是9 11.(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团期中)已知x,y都为正数，且x+2y=4,则下列说法正确 的是() A.2y的最大值为4 B.x2+4y2的最小值为12 c的最小为号 D.√x+√2y的最大值为2W2 12.(24-25高一上重庆第八中学校期中已知a>0,b>0,a+b2=1,则下列选项一定正确的是() A.√a+b的最大值为√2 B.京-a的最小值为1 C.a+2b的最大值为2 D.1+4 。十标最小值为9 13.(24-25高一上重庆万州第三中学等多校联考期中下列命题既是全称量词命题又是真命题的是() A.7x>0,r+8≥42 B.存在实数ae{2,6-a / 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.xeR,-V5x2-1<0 D.每个等腰三角形的顶角都大于30 14.(24-25高一上重庆西南大学附属中学校)已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列结论正确的是() A.的最大值为月 B.上+4的最大值为4 x y C.×2+y的最小值为 D.立的最小值为0 三、填空题 15.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中)若x,y∈R满足x2+4y2-2xy=1,则x2+4y2的最大值 是一，y的最小值是一 16.2425高一上重庆渝高中学期中)已知x>0,y>0,且？+1，=2，则x+y的最小值是」 x y+1 17.(24-25高一上重庆第十八中学期中)若正实数x,y满足(3x-2+8(y-1)=4-3x-2y,则 2x+上+3江的最小值是」 x v 18.(24-25高一上重庆实验外国语学校期中记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数，已知x为正实数，记 M=mx2产+4的.若y=分则w的最小值为一·若y>0.则w的最小值为— 19.(24-25高一上·重庆第八中学校·期中设矩形ABCD(AB>BC)的周长为定值2aa>0),把ABC沿AC 向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P,如图，则当△APD的面积最大时，矩形ABCD的面积为一 B A B 20.2425高一上重庆有才中学校期中)已知正实数a、b、c满足b+c=1,则+，1的最小值为 2b1+c 8ab2+a+16的最小值为— bc a+1 四、解答题 2425高一上·重庆巴渝学校期中)(1)求不等式的解集，子 (2)求下列各式的最值：当x>1时，求x+4的最小值； x-1 (3)求下列各式的最值：已知0<x<行，求y=x1-3x)的最大值， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(24-25高一上·重庆第十八中学期中)校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学 校申请面积为1600m)的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻 矩形区域之间间隔1(m)，,三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1(m)宽的通道，左、右两块矩形区域分 别与相邻的左右边沿保留3(m)宽的通道，如图.设矩形空地长为x(m,三块种植植物的矩形区域（如下图 中阴影部分所示)的总面积为m) (1)求S关于x的函数关系式： (2)求S的最大值，及此时长x的值 23.(24-25高一上重庆万州第三中学等多校联考期中)(1)已知x>0,y>0,且x+4y=4√3，求y的最 大值 (2)证明：x,y,z∈(0，+o0）,x+4y)(y+z(4z+x)≥32x3z. (3)求 (a2+1 的最小值 (a2+22a2+1 目目 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1.(24-25高一上·重庆第二外国语学校期中不等式x2-3x-4<0的解集为() A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1 C.{xx>4或x<-1} D.{xx>1或x<-4} 2.(24-25高一上·重庆鲁能巴蜀中学校期中)已知关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为R,则实 数m的取值范围是() 、25 A.3m m> B.{m|m< 25或m> 23 3 3 3 C.{mm> 23或m=-l D.{mlm≥-l 3 3.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中)“m>2”是“一元二次方程x2-mx+m+1=0有两个正实根”的 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)一元二次方程x2-mx+4=0有实数解的条件是m∈() A.(-4,4 B.【-4,4 C.（-0,-4)U(4,+o∞) D.（-0,-4U[4,+0 5.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校期中)下列不等式中，解集是空集的是() A.x2-3x-4>0 B.x2-3x+4≥0 C.x2-3x+4<0 D.x2-4x+4≥0 6.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)一元二次不等式x2+2x-3>0的解集为() A.（-3,1 B.[-3, C.-o,-3)U(1,+o） D.（-0,-3]U[1,+0 7.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中)不等式3x>9的解集是() A.{xx<-3或x>3} B.{xx<-3 C.{x-3<x<3 D.{xx>3} 8.2425高一上重庆重庆复且中学教育集团期中3≤2的一个充分不必要条件是（) x+1 A0<x<分 B.-1r时 C.<-1或x≥ D.x>1 9.(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校期中)当x>0时，x2+ax+1>x恒成立，则a的取值范围为() A.-1<a<3 B.-1≤a≤3 C.a>-1 D.a>-2 10.(24-25高一上·重庆朝阳中学期中)若任意x∈R, 一2x+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为() 4x2-m A.{mm<-2B.{mm≤0 C.{mm≥-2 D.{mm≥0 11.(24-25高一上·重庆渝北中学.期中已知a>0,b>0,且不等式2a+b≤m2+6m+17对任意m∈R恒成立， 则(a+2)b的最大值为() A.3 B.6 C.18 D.36 12.(24-25高一上重庆第十一中学校教育集团期中)若关于x的不等式ax2+2ax+4-3a≥0对x∈R恒成立， 则a的取值集合为() 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{a|0<a≤1B.{a0≤a≤1 C.ala)o D.{aa≥0 13.(24-25高一上重庆第十一中学校教育集团期中)设p:x>√5,9：x2>3,则p是9的()条件. A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 14.(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考期中)若一元二次不等式ax2-ax+30≥0对一切实数x都成 立，则整数a的个数为() A.118 B.119 C.120 D.121 二、多选题 15.(24-25高一上·重庆第一中学校期中)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(-2,3)，则下列说法正确的是 () A.a>0 B.不等式c++a<0的解架是（兮》 C.当c=2时，f(x)=3ax2+6bx,x∈[n1,n2]上的值域为[-8,1，则n2-n,的取值范围是[3,6 b+5 D.若关于m的不等式m2-m> 有解，则实数m的取值范围是{mm>2或m<1 Vb+4 16.(24-25高一上·重庆字水中学期中已知关于x的方程mx2+(m-3)x+m=0,则下列说法正确的是() A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0 B.方程无实数根的一个必要条件是m>1或m<-3 C.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D.当m=3时，方程的两个实数根之和为0 17.(24-25高一上·重庆重庆复日中学教育集团期中)不等式(x-a)223(x-1)2024(x-2)2025<0（其中aeR)的 解集可以是() A.{x0<x<2且x≠1 B.{x1<0<2} C.0 D.{x<1或1<x<2或x>3} 三、填空题 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 18.(24-25高一上·重庆字水中学.期中)不等 2x+1≤1的解集为一 x-2 19.(24-25高一上重庆南开中学期中)已知关于x的不等式x2-x-k+3>0在区间[0,2]有解，则实数k的 取值范围为 20.(24-25高一上·重庆渝北区竞成中学校期中)已知一元二次不等式-x2+6x+8>0的解集为a,b),求 a+b= 21.(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团期中当x≥0时，关于x的不等式 (x-a+2)x2-(a+a2）x+a]≥0恒成立，则实数a的值为一 22.2425高一上重庆渝北区竞成中学校期当X时，代数式：4之0有意义. 3x+6 3,2425高肤影学夜中已知不等式子-之>2m-3m对任意x≠0恒成之，则实数m的 取值范围为一 24.(2425高一上重庆重庆复旦中学教育集团期中)已知函数f)-+r+6,a为实数，若对于 x+1 x∈(0，+oo),f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是 25.(24-25高一上重庆字水中学期中)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为[-2,6]，则 a-b-c的取值范围是 26.(24-25高一上·重庆第七中学校期中)已知关于x的不等式(a.x+2)(x-1≤0(a∈R,若a=-3,则该不 等式的解集是」 若该不等式对任意的-1≤x≤1均成立，则实数a的取值范围是一· 四、解答题 27.(24-25高一上·重庆第二外国语学校期中)已知全集U-R,集合A= x-2<0,集合 Xx-1<0 B={x《x+1(x-a<0(a>-1 (1)当a=3时，求RAnB: (2)设命题p:x∈A,q:x∈B,若P是9的充分不必要条件，求实数a的取值范围 28.(24-25高一上重庆第一中学校期中)已知集合A={xx2+(2-m)x+3-m=0,集合B={x,x2}, B∈A. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若x2+x好=6，求实数m的值： (2)若0<x,<x2<2,求实数m的取值范围 29.(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)解不等式，解集用区间表示. (1)x2-5x-6<0 2x-1≥3 (②)12-x>-8 30.(24-25高一上·重庆渝北中学期中)某单位为响应改府旧城改造号召，决定在单位内投资156000元建一 个长方体的功能用房，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖， 每平方米造价450元，地面和顶部每平方米造价均为600元，设正面长为x米，每侧砖墙长均为y米 (1)写出x与y的关系式： (②)求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？ 31.(24-25高一上重庆礼嘉中学校期中)已知a∈R,集合A={xa01≤x≤2a+1,B={xx209≤0 (1)若a=2,求RA∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围 32.(24-25高一上重庆实验外国语学校期中)已知aeR,集合A=xx2>a,B={xx2-3x+2<0 ④若a=求4n(eB, (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围. 33.(24-25高一上·重庆育才中学校期中)已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+3,实数meR. (1)若不等式f(x)≥-x对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)≤mx 34.(24-25高一上重庆渝北中学期中)已知二次函数f(x=ax2+bx+c,满足f(0)=2,且f(x>4的解集 为-0，-1)U2,+0. (1)求函数f(x的解析式： (2)当x∈(1，+o)时，fx)≥k(x-1恒成立，求k的取值范围 35.(24-25高一上重庆第八中学校期中)已知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集为{x1≤x≤2. (1)求实数a,b的值： 专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 等式与不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 地 城 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误. 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 2．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)设、、均为实数，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，B，当时，显然不成立， 对于C：由可得：，正确. 对于D，取，满足，显然不成立， 故选：C 3．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)若，则，那么一定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】若，则， 当，则，即，所以有. 故选：B 4．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值即可判断D得解. 【详解】对于A，取时，满足，， 但，不满足，故A错误； 对于B，取时，满足， 但，不满足，故B错误； 对于C，取，满足， 但，不满足，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高一上·重庆暨华中学校·期中)若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，，则，故A不正确； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若且，则，则，故，故C不正确； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：BD. 6．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)若实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可得AC正确；举反例可得BD错误； 【详解】选项，由不等式乘法性质知 正确，故A正确； 选项， 时不成立，故 错误； C选项，由不等式的平方性质知 正确，故C正确； 选项， 时不成立，故 错误； 故选： AC. 7．(24-25高一上·重庆部分学校·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据不等式性质分析判断；对于C：利用作差法分析判断. 【详解】因为， 对于A：取，则，可得不正确； 对于选项B：因为，所以，B正确； 对于选项C：因为，则，C正确； 对于选项D：取，则，可得不正确. 故选：BC. 8．(24-25高一上·重庆礼嘉中学校·期中)已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质，可判断ACD是否正确；通过特例，说明B错误. 【详解】对A：由，得：，故A错误； 对B：取，，，，则，且，，所以，此时B不成立； 对C：因为，，所以，故C正确； 对D：因为，所以即，故D正确. 故选：CD 9．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据分式的性质判断即可；对C，举反例判断即可；对D，根据不等式性质判断即可. 【详解】对A，若，则，故A错误； 对B，若，则，故，故B正确； 对C，若，，则，故C错误； 对D，若，则，，即，故D正确. 故选：BD 10．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)下列选项是正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质判断. 【详解】对A，当，时，，故A错误； 对B，当时，，又，，故B正确； 对C，因为，所以，则，故C正确； 对D，因为且，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：由，可得：，故，正确； 对于B：若，则，正确； 对于C：若，则，所以，故正确； 对于D: 由，可得：，故错误. 故选：ABC 12．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知实数、、、满足，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知得，，利用作差法可判断A，C，D；根据不等式的性质可判断B. 【详解】，，， 对于A，，，即，故A正确； 对于B，，，，故B错误； 对于C，， ，， ，即，故C正确； 对于D，，，则，， 则， ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 13．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)设，则 ． 【答案】5 【分析】解一元一次不等式求结果. 【详解】由. 故答案为：5 四、解答题 14．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 2．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为7. 故选：D 3．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)设，，若，则的最小值为（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为8. 故选：A. 4．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可． 【详解】对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 6．(24-25高一上·重庆南坪中学校·期中)下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则的最大值为 B．已知，，，则的最小值是 C．若，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为 【答案】CD 【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D. 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故B错误； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：CD 7．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【答案】AD 【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 8．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知正实数a，b，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值是2 B．若，则的最大值是 C．若，则的最小值是 D．若，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式等号成立条件判断A；利用基本不等式及“1”的妙用求解判断BCD. 【详解】对于A，，当且仅当， 即时取等号，而，因此不能取等号，A错误； 对于B ，由，得， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 9．(24-25高一上·重庆朝阳中学·期中)设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】由基本不等式逐项判断即可. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故A错误； ， 当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故B错误. ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，则C正确； 因为为正实数，， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，所以的最大值为，则D正确； 故选：CD 10．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)已知正数，满足，则下列选项正确的是（   ） A．的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是9 D．的最大值是 【答案】BD 【分析】对于A，由基本不等式得的最大值是1即可判断；对于B，变形结合基本不等式得即可计算得解；对于C，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；对于D，将消元变形为一元二次函数即可求解判断. 【详解】，为正数，且满足， 则且，所以，， 对于A，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是1，故A错误； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是2，故B正确； 对于C，，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是，故C错误； 对于D，， 所以当时，有最大值，故D正确. 故选：BD. 11．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】正数，，满足， 对于A，，当且仅当取等号，A正确； 对于B，，当且仅当取等号，B错误； 对于C，，当且仅当取等号，C正确； 对于D，，当且仅当取等号，D正确. 故选：ACD 12．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)已知，则下列选项一定正确的是（　　） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为2 D．最小值为9 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断AB的正误，利用二次函数的性质可判断C的正误，利用“1”的代换结合基本不等式可判断D的正误. 【详解】对于A，， 而，故即， 故即， 当且仅当时等号成立即的最大值为，故A成立； 对于B，， 等号成立的条件为即，但，故等号不成立， 所以的最小值不为1，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， 但此时，与矛盾，故的最大值不为2，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故最小值为9， 故D正确； 故选：AD. 13．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A． B．存在实数 C． D．每个等腰三角形的顶角都大于 【答案】AC 【分析】根据基本不等式、全称量词命题、存在量词命题的 确定正确答案. 【详解】，当且仅当， 即时，等号成立，A既是全称量词命题又是真命题. “存在实数”是存在量词命题，B错误. C既是全称量词命题又是真命题. D是假命题. 故选：AC 14．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，由，，且，可知，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为0，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 16．(24-25高一上·重庆渝高中学·期中)已知，且，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】先利用常数代换法求的最小值，继而即可求解. 【详解】因为， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 17．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 18．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)记表示中最大的数，已知为正实数，记．若，则的最小值为 ，若，则的最小值为 ． 【答案】 2 2 【分析】当时，由给定信息结合不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值；当时，由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，则， ，当且仅当，即时取等号，， 所以当时，取得最小值2； 由，，得， 则，当且仅当，即时取等号， 则，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2；2 19．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则当的面积最大时，矩形的面积为 【答案】 【分析】设，，计算可得，则，利用基本不等式可求最大值，从而可求对应的矩形的面积. 【详解】由题设有，由折叠过程可得， 故，设，，而， 故即即， 则，故， 所以，故， 所以，故， 令， 则， 当且仅当，故当时，的面积最大时， 矩形的面积为. 故答案为：. 20．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 四、解答题 21．(24-25高一上·重庆巴渝学校·期中)（1）求不等式的解集． （2）求下列各式的最值：当时，求的最小值； （3）求下列各式的最值：已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）5；（3）． 【分析】（1）由可得，，整理后即可求解． （2）由，结合基本不等式求解即可； （3）由，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）由可得，， 整理可得，， 解可得，， 故不等式的解集为：． （2）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5； （3）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 22．(24-25高一上·重庆第十八中学·期中)校本选修课是中学课程创新中的重要一环，某校生物组计划向学校申请面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图.设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为.    (1)求关于的函数关系式： (2)求的最大值，及此时长的值. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时长为 【分析】（1）根据题意表示出空地宽为，再表示出关于的函数式； （2）根据基本不等式求解. 【详解】（1）由题知空地宽为，则； （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最大值为，此时长为. 23．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)（1）已知，且，求的最大值. （2）证明：. （3）求的最小值. 【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）直接应用均值不等式再解出即可； （2）直接应用均值不等式与不等式的性质即可证明； （3）将应用不等式即可解得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为3. （2）证明：因为都是正数， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故. （3）解：因为， 所以， 当且仅当，即，亦即时，等号成立， 故所求最小值为. 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．(24-25高一上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当，即时，解得，显然解集不为，故舍去； 当，即时，，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 3．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)一元二次方程有实数解的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】由题意可知：，解得：或， 所以. 故选：D 5．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)下列不等式中，解集是空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式对应函数开口方向和判别式与0的大小关系，得到不等式是否存在解集. 【详解】A、B、D选项二次不等式对应的二次函数图象均开口向上，所以一定存在实数使得函数值大于（等于）0，即不等式解集不为空集； C选项二次不等式对应二次函数的开口向上，且，不存在使得函数值小于0，即不等式解集为空集. 故选：C. 6．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)一元二次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解，结合一元二次不等式解的特征求解即可. 【详解】由题意可得，解得或， 所以一元二次不等式的解集为， 故选：C 7．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)不等式的解集是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】解绝对值不等式. 【详解】不等式，即，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：A. 8．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解，逐个选项判断，即可得答案. 【详解】解，即，即， 即，解得或， 由于，均推不出或，故A，B选项不合题意； C中条件和“”等价，不合题意， 时，一定有或成立，反之不成立， 故是“”的一个充分不必要条件， 故选：D 9．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期中)当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 10．(24-25高一上·重庆朝阳中学·期中)若任意，恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由恒成立即可求解. 【详解】因为恒成立， 所以原不等式可转换成：恒成立， 即，在上恒成立，又的最小值为0， 所以， 故选：B 11．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．18 D．36 【答案】C 【分析】先由不等式对任意恒成立求出，接着由和求出，再由得，求出的最大值即可得解. 【详解】因为不等式对任意恒成立， 所以， 因为， 所以，又，，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为18. 故选：C. 12．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)若关于的不等式对恒成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含参一元不等式恒成立对a分类讨论即可得a的取值集合. 【详解】当时，不等式化为对恒成立； 当时，要使得不等式对恒成立， 则，解得， 综上，a的取值集合为. 故选：B. 13．(24-25高一上·重庆第十一中学校教育集团·期中)设：，：，则是的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则，即能推出， 反之若，则或，即不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：B 14．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)若一元二次不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】由题意可得且，解出后计算其中整数个数即可得. 【详解】依题意可得且，解得， 则整数的值为，120，共120个. 故选：C. 二、多选题 15．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 16．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可. 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 故选：BC 17．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)不等式（其中）的解集可以是（   ） A．且 B． C． D．或或 【答案】ABC 【分析】A选项，时满足要求；B选项，时满足要求；C选项，满足要求；D选项，由于解集中出现了，故，由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 【详解】A选项，若，， 由穿针引线法可知，不等式解集为且，A正确； B选项，当时，，解得，B正确； C选项，当时，，解集为，C正确； D选项，由于解集中出现了，故， 此时， 由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 故选：ABC 三、填空题 18．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零. 【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：； 两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组： 解得.原不等式解集为. 故答案为： 19．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 20．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)已知一元二次不等式的解集为，求 【答案】6 【分析】根据题设有是的两个实根，应用根与系数关系求结果. 【详解】由题设的解集为，即是的两个实根， 所以. 故答案为：6 21．(24-25高一上·重庆巴蜀中学教育集团·期中)当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 22．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)当 时，代数式有意义． 【答案】 【分析】由分式不等式的求解得到即可； 【详解】，解得或， 所以当时，代数式有意义， 故答案为： 23．(24-25高一上·重庆礼嘉中学校·期中)已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】换元令，可得，分类讨论结合基本不等式求得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为， 令，则， 可得， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 若，则； 若，则； 综上所述：，当且仅当时，等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 24．(24-25高一上·重庆重庆复旦中学教育集团·期中)已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 25．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得出，可求出的取值范围，则，代入即可得出答案. 【详解】由题意知方程至多一个根， 方程有两根分别为，6. 所以，所以， 解得：，所以. 故答案为：. 26．(24-25高一上·重庆第七中学校·期中)已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ．若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】空1：代入，根据一元二次不等式解法求结论；空2：当时，不等式恒成立，当时，等价于，可求的取值范围. 【详解】当，不等式即， 解得或，即不等式的解集是. 若对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，，不等式可化为， 则时，恒成立， 有，解得， 所以对任意的，不等式恒成立，实数a的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题 27．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知全集，集合，集合. (1)当时，求； (2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 且， 则或，故或. （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 28．(24-25高一上·重庆第一中学校·期中)已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 29．(24-25高一上·重庆渝北区竟成中学校·期中)解不等式，解集用区间表示． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因式分解，结合一元二次不等式解的特征求解即可； （2）分别解一元一次不等式，取交集即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以解集为. （2）由解得， 所以解集为. 30．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)某单位为响应政府旧城改造号召，决定在单位内投资156000元建一个长方体的功能用房，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方米造价450元，地面和顶部每平方米造价均为600元，设正面长为米，每侧砖墙长均为米. (1)写出与的关系式； (2)求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)功能用房占地面积S的最大允许值是平方米，此时正面长应设计为15米. 【分析】（1）先由题意列出等量关系，接着化简即可得解. （2）先由基本不等式得，接着由（1）构建出不等式，解该不等式即可求出的范围，进而可求解. 【详解】（1）由题得， 化简得， 所以. （2）因为，当且仅当时取等号， 所以即， 所以，解得， 所以功能用房占地面积，即功能用房占地面积S的最大允许值是平方米， 此时且，即，故此时正面长应设计为15米. 31．(24-25高一上·重庆礼嘉中学校·期中)已知，集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，确定集合、，再求. （2）问题转化为根据求的取值范围. 【详解】（1）当时，，又. 所以或. （2）由“”是“”的充分条件，所以. 若即，则，此时； 若即，由. 综上可知：.所以实数的取值范围为：. 32．(24-25高一上·重庆实验外国语学校·期中)已知，集合， (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出集合，再利用补集、交集的定义求解即得. （2）由已知可得，再按值情况分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，， 或，所以. （2）由（1）知， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，满足，则， 当时，，由，得，则， 所以的取值范围是. 33．(24-25高一上·重庆育才中学校·期中)已知函数，实数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）含参分类讨论结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系计算即可； （2）含参分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）由得对一切实数恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，则要满足题意需，解之得； 综上实数的取值范围为：； （2）由得， 若，解不等式得； 若，解不等式得或； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 综上：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 34．(24-25高一上·重庆渝北中学·期中)已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)的取值范围为. 【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解. （2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）由题意可得，所以， 又因为的解集为， 所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根， 所以， 所以函数的解析式为. （2）当时，恒成立， 所以由（1）知当时，恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 所以， 又因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，即的取值范围为. 35．(24-25高一上·重庆第八中学校·期中)已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值; (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，为关于的方程的两根且， 所以，解得； （2）不等式， 即，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式即， 若，即，此时不等式即，解得，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 若，即时，解得或，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 36．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校联考·期中)已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）配方，可得二次函数的顶点坐标. （2）考虑函数在端点处的函数值与顶点的纵坐标，可得函数在给定区间上的值域. 【详解】（1），则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为，所以的最大值为9. 故在上的值域为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $