精品解析：2025-2026学年黑龙江省大庆市肇源县九年级上学期期初考试数学试题

2025-2026学年度上学期期初质量检测 初四数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质可得△BCD是直角三角形，再根据勾股定理即可求出. 【详解】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以. 【点睛】本题考查矩形性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：， 方程没有实数根， 故选：D． 4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键． 画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果， ∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由于第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，那么求出方程的根就可以求出三角形的周长． 【详解】∵x2﹣16x+60=0，∴（x﹣6）（x﹣10）=0，∴x=6或x=10． 当x=6时，三角形的三边分别为6、4和6，∴该三角形的周长是16； 当x=10时，三角形的三边分别为10、4和6，而4+6=10，∴不能构成三角形． 故三角形的周长为16． 故选C． 【点睛】主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程及等腰三角形的性质、周长，解题的关键是利用因式分解求出三角形的第三边，然后求出三角形的周长． 7. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积和性质，以及勾股定理，利用可知，，连接菱形对角线和，在中利用勾股定理即可求出的长度，． 【详解】解：连接和交于点O，如图， 四边形为菱形，， 又在中，， 为等边三角形，， 在中，，， 由勾股定理可知， ，即， 菱形的面积为． 故选：． 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9. 用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选A． 10. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A. 一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C. 从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意； B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意； C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分，请将答案填在下面的空格内．） 11. 已知方程的两根为，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则，， ∴， 故答案为：1． 12. 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和三角形中位线定理进行求解即可； 【详解】解：长为8，宽为6的矩形的对角线长为， 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形各边的长分别为对角线的一半， 故四边形的周长为， 故答案为：． 13. 一个不透明的盒子里放置了2个白球和2个黑球，每个球除颜色外都相同，若同时从盒子中摸出两个球，则两个球都是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，两个白球分别表示为，2个黑球分别表示为，画出树状图，利用符合题意的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】解：两个白球分别表示为，2个黑球分别表示为，画树状图如下： 共有12种等可能情况，两个球都是白球的有2种， ∴两个球都是白球的概率是 故答案为：． 14. 菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用解一元二次方程-因式分解法，求出，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， 或， ， 当菱形边长是3时， ， 不能组成三角形； 该菱形的边长是5， 如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 15. 三角形的每条边的长都是方程x2-7x+10=0的根，则三角形的周长是__________． 【答案】12或6或15 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程x2﹣7x+10=0，求得方程的两个根，再利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可． 【详解】方程x2-7x+10=0， 分解因式得：（x-2）（x-5）=0， 解得：x=2或x=5， 三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5， 则周长为12或6或15． 故答案为12或6或15 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．正确的解出方程，再利用三角形的三边关系解答是解决本题的基本思路. 16. 如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，是正方形的中心，则阴影部分的面积是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】连接OA、OD，证明OAM≌△ODN，得阴影部分的面积等于△OAD的面积，再由△OAD的面积与正方形ABCD的面积的关系求得结果． 【详解】如图，连接OA、OD，则∠AOD=∠GOE=90°， ∴∠AOM=∠DON， ∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心， ∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°， 在△OAM和△ODN中，， ∴△OAM≌△ODN（ASA）， ∴S△OAM=S△ODN， ∴S阴影=S△ODM+S△ODN=S△OAM+S△ODM=S△OAD ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于△OAD的面积． 三、解答题：（共72分） 17. 解方程． （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论； （2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C． 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中相关信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名同学；请将条形统计图补全； （2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______度； （3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率． 【答案】（1） 40, 补图如下： （2）108； （3） 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意，得被调查的总人数为 （人）， 一等奖的人数为：(人)， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：108． 【小问3详解】 解：一等奖中七年级人数为（人），九年级人数为（人），则八年级的有1人， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的有4种结果， 所以所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 21. 要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）． (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 【答案】（1）围栏长为20米，宽为15米；（2）不能，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50-2x）米，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后由墙的长度得到x的取值范围，由此即可得出结论； （2）假设能围成，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】解:（1）设与墙相垂直的一边长为x米，则围栏的长为（50-2x）米， ∴x(50-2x)=300， 解得：x=10 或x=15， ∵当x=10时， ，故舍去； ∴围栏的宽为15米，长为：米； （2）根据题意，假设能围成，则 x(50-2x)=400， ∴， ∴， ∴原方程无解. 故不能围成面积为400m2的长方形围栏. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况． 22. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：四边形是矩形． 理由：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）由平行得，进而证明，推出，等量代换可得； （2）由等腰三角形三线合一，可得，再证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 2020年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染，口罩成为了大众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2020年2月份一盒口罩价格比2020年1月份上涨了，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒口罩花了52元． （1）问：2020年1月份一盒口罩的价格为多少元？ （2）某超市将进货价为每盒39元的口罩，按2020年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查表明：口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒口罩的售价应该下降多少元？ 【答案】（1）2020年1月份一盒口罩的价格为40元；（2）每盒口罩的售价应该下降2元． 【解析】 【分析】（1）设2020年1月份一盒口罩的价格为元，根据增长率问题得出关于x的一元一次方程，解之即可； （2）设每盒口罩的售价应该下降元，则每日可售出盒，根据总利润=每盒的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【详解】解：（1）设2020年1月份一盒口罩的价格为元，依题意得． 解得． 答：2020年1月份一盒口罩的价格为40元； （2）设每盒口罩的售价应该下降元，则每日可售出盒，依题意，得： ． 解得，． 因为要尽可能让顾客得到实惠，所以 答：每盒口罩的售价应该下降2元． 【点睛】本题考查了增长率问题的一元一次方程的应用和利润问题的一元二次方程的应用，理解题意，找到相等关系式是解题的关键． 24. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期初质量检测 初四数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A. B. C. 4 D. 3 8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A. 一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C. 从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 二、填空题（每题3分，共18分，请将答案填在下面的空格内．） 11. 已知方程的两根为，那么________． 12. 以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为______． 13. 一个不透明的盒子里放置了2个白球和2个黑球，每个球除颜色外都相同，若同时从盒子中摸出两个球，则两个球都是白球的概率是______． 14. 菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是________． 15. 三角形的每条边的长都是方程x2-7x+10=0的根，则三角形的周长是__________． 16. 如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，是正方形的中心，则阴影部分的面积是_________． 三、解答题：（共72分） 17. 解方程． （1）； （2） 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中相关信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名同学；请将条形统计图补全； （2）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______度； （3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率． 21. 要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）． (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 22. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 2020年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染，口罩成为了大众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2020年2月份一盒口罩价格比2020年1月份上涨了，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒口罩花了52元． （1）问：2020年1月份一盒口罩的价格为多少元？ （2）某超市将进货价为每盒39元的口罩，按2020年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查表明：口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒口罩的售价应该下降多少元？ 24. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $