专题03 圆的方程（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题03 圆的方程 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位值关系 考点04 圆中的阿氏圆问题 考点05圆中的最值问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知点，点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 4．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 三、填空题 8．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)圆的圆心坐标为 ；半径为 . 四、解答题 9．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知的顶点坐标分别为，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求三角形的外接圆方程． 10．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知，，. (1)求点到直线的距离； (2)求的外接圆的方程. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，若直线与圆相切，则 C．若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则 D．当时，直线截圆的最短弦长为 4．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 6．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（   ） A．6 B．8 C． D． 7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C．4 D． 二、多选题 8．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆，直线.则下列结论正确的是（   ） A．点，为圆上两点，，关于直线对称，则 B．当时，圆上恰有个点到直线的距离等于 C．若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为 D．直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 9．(24-25高二上·重庆开州中学·月考)已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 三、填空题 10．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为 ． 11．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)设为实数，若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 . 12．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 . 13．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则 . 14．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知直线与圆相切，则实数的值为 . 四、解答题 15．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 16．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程. (2)斜率为2的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 17．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 18．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 19．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 20．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 21．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆关于直线对称，且过点. (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 22．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点. (1)已知，求直线的方程； (2)已知点且的面积为，求直线的方程. 地 城 考点03 圆与圆的位值关系 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)若圆与圆外切，则的值是（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 3．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 4．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 5．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 7．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知直线：和圆：，则下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．圆与圆：有三条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．圆上恰有4个点到直线的距离等于，则 8．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知点，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 10．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 地 城 考点04 阿氏圆问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆开州中学·月考)已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 二、解答题 2．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. (1)当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； (2)在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 3．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 4．(24-25高二上·河南洛阳创新联盟发展·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 5．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 6．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 8．已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 9．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值． 地 城 考点05 圆中的最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆名校联盟·)点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知点是曲线围成的图形内的一个动点（包含边界），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 二、多选题 8．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 9．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 10．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知实数，满足方程，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．(24-25高二上·重庆名校联盟·)点P在圆M：上，点，点，则下列结论正确的是（   ） A．直线AB关于点M的对称直线为 B．点P到直线AB距离的最大值为 C．圆M关于直线AB对称的圆的方程为 D．当最大时， 12．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．的最小值为 D．若点在圆上，则的最小值是 13．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 三、填空题 14．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知圆上任意一点，的取值与的位置无关，则的取值范围是 . 15．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 四、解答题 16．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于、两点，求. (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 17．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的方程 5大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位值关系 考点04 圆中的阿氏圆问题 考点05圆中的最值问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知点，点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标与圆的半径，即可得出该圆的方程. 【详解】由题意可知，圆心为线段的中点， 圆的半径为， 因此，所求圆的方程为. 故选：B. 3．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到结果. 【详解】由得，， 故圆心坐标为，半径为. 故选：C. 4．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 5．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程. 【详解】由题意知，在圆上，圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为， 则一般方程为：， 故选：B. 6．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，设圆心为，根据圆心到点和点的距离相等，可得出关于实数的等式， 求出实数的值，可得出圆心坐标，再利用两点间的距离公式可求得圆的半径. 【详解】因为圆心在直线，设圆心为， 因为圆经过点和，可得， 解得，故圆心为，则圆的半径为. 故选：B. 二、多选题 7．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【分析】由求出的取值范围，对各选项逐一验证即可. 【详解】由或. 故选：AB 三、填空题 8．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)圆的圆心坐标为 ；半径为 . 【答案】 / 【分析】把圆的一般方程化成标准方程，可明确圆心和半径. 【详解】由得：. 所以圆心为，半径为：. 故答案为：；. 四、解答题 9．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知的顶点坐标分别为，，． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)求三角形的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出及的中点坐标，由两直线垂直求出，再由点斜式计算可得； （2）设三角形的外接圆方程为，将点的坐标代入方程，即可得到、、的方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）设三角形的外接圆方程为， 依题意可得，解得， 所以三角形的外接圆方程为，即. 10．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知，，. (1)求点到直线的距离； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，利用点到直线的距离公司计算即可； （2）设出圆的一般式，然后建立方程组求解即可. 【详解】（1）由题可知的直线方程为 整理得： 所以点到直线的距离为； （2）设圆的方程为 得 解得 所以的外接圆的方程为. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或. 故选：B. 2．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)若直线与圆交于两点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据“几何法”求圆的弦长. 【详解】因为：圆：，所以圆心，圆的半径. 圆心到直线的距离：，所以. 故选：D 3．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知直线与动圆，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，若直线与圆相切，则 C．若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则 D．当时，直线截圆的最短弦长为 【答案】C 【分析】对A，对于直线方程，可通过变形找到定点；对B，C，D，将圆的方程化为标准方程可得到圆心和半径，然后根据直线与圆的位置关系，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断. 【详解】对于A，将直线整理为， 令，解得， 所以直线过定点，故A错误； 对于B，当时，直线的方程为， 圆的方程可化为，则圆心，半径， 因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，解得或， 故B错误； 对于C，设圆心到直线的距离为， 则弦长，若弦长为定值，则为定值， 又圆心在直线上， 所以直线与直线平行或直线过圆心， 当直线与直线平行时，可得，解得， 此时，，则是定值，故C正确； 对于D，当时，圆，圆心，半径为， 直线过定点，圆心到点的距离为， 当直线垂直于时，弦长最短， 直线截圆的最短弦长为，故D错误. 故选：C. 4．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程. 【详解】由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线上， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 5．(24-25高二上·重庆南开中学校·期中)已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据题设为等腰直角三角形，进而有圆心到直线距离为2，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由题设，若为直角三角形，即，显然为等腰直角三角形， 由圆的圆心，半径为， 所以到直线的距离，可得. 故选：B 6．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先通过圆的方程得到圆心与半径，利用弦长与半径可求得圆心到直线的距离，再利用向量加减法的几何意义，将数量积转化为长度关系求解可得. 【详解】圆，圆心，半径. 取中点，由，得， 则圆心到直线的距离 . 因为，则， 则 . 所以. 故选：B.    7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离,再利用弦长公式求解即可. 【详解】圆心,半径, 圆心到直线的距离为, 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 二、多选题 8．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆，直线.则下列结论正确的是（   ） A．点，为圆上两点，，关于直线对称，则 B．当时，圆上恰有个点到直线的距离等于 C．若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为 D．直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A， 根据题意，由圆心在直线上求解判断；对于B，由圆心到直线的距离判断； 对于C.，设，，由题意得，解得，代入圆的方程求解判断； 对于D，利用数形结合法求解判断. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 对于A ，因为点，为圆上两点，且，关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得，故A正确； 对于B，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且， 则圆上恰有个点到直线的距离等于，故B错误； 对于C，设，，由题意得， 解得，因为点圆上， 代入化简得，故C正确； 对于D，曲线曲线方程可化为，， 该曲线表示以为圆心，半径为的圆在轴的上半部分， 如图所示： 令圆心到直线的距离为，解得， 又直线过定点，点，则，即， 所以若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD 9．(24-25高二上·重庆开州中学·月考)已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 10．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为 ． 【答案】 【分析】分析出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【详解】因为圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为， 则圆心到直线的距离为，则， 因为，解得. 故答案为：. 11．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)设为实数，若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】曲线表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案. 【详解】 由可得， 即表示以原点为圆心，2为半径的半圆， 直线是一条斜率为1的直线， 与轴交于两点分别是，， 当点在直线上时； 当直线与相切时满足， 所以(舍)或， 所以直线与曲线有公共点，实数满足. 实数的取值范围为. 故答案为：. 12．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式求得，从而得到计算得到，再利用向量线性运算的坐标表示得到关于的表示，进而代入得到关于的二次方程，利用判别式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】依题意，设中点为，，，， 故，即，则， 因为，则， 故，则， 整理得，由题意可知必存在， 即方程有解，故，解得或， 即的取值范围为. 故答案为：. 13．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【分析】由题设知圆心在直线上，得，再由两点距离公式、圆的切线性质求切线长. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，则， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 14．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】先明确圆的圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于圆的半径求的值. 【详解】将方程整理，可得，（） 则圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即， 由. 故答案为：2. 四、解答题 15．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知圆C关于y轴对称且经过点和． (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【详解】（1）由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；   ∴设圆的标准方程为，   则解得： 故圆C的标准方程为； （2）∵  ∴圆心C到直线l的距离为；   当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；     当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即     则圆心C到直线l的距离， 解得     此时直线l的方程为，即；     综上所述：直线l的方程为或． 16．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程. (2)斜率为2的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）根据题意可得圆心到直线的距离为1，设出直线的方程运算得解. 【详解】（1）由题意，中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为， 圆心在线段的垂直平分线上，由，解得， 所以圆心的坐标为，半径为， 所以圆的方程为. （2）因为，可得圆心到直线的距离， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为或.    17．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意列出方程，化简方程即可求得的方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时根据圆心到直线的距离、半径、半弦长之间的关系求解出的值，由此可求的方程. 【详解】（1）由条件可知，所以，化简可得， 所以. （2）表示圆心为，半径为的圆； 当直线的斜率不存在时，，因为恒成立， 即与圆没有交点，故不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到直线的距离为， 因为，所以，解得或， 所以的方程为或. 18．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 【答案】(1)圆过定点； (2)①直线的方程为. ②存在这样的点，使得为定值 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）①根据题意可得，进而由点到直线的距离公式可求最小值，求出此时的点的坐标，求得过的圆的方程，可求直线的方程. ②设，求得过的圆的方程，求得直线的方程，可得直线过定点，由条件可得点在以为直径的圆上，进而可求定值. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为： ， 令，即，则， 解得，即圆过定点； （2）①当时，圆，可得圆心，半径， 由平面几何知识可知， 所以， 所以最小时，最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即，此时直线， 所以直线的方程为，与直线联立，可求得， 此时以为直径的圆上任意一点， 则， 故圆的方程为，又圆， 两式作差可得直线的方程为. ②设，由平面几何知识为四点共圆， 设圆上任一点，则， 所以圆的方程为， 与圆作差可得直线的方程为， 所以，表示过与的交点的直线， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以在以为直径的圆上， 故圆心到点的距离为圆的半径（定值）， 所以存在点为线段的中点，此时坐标为， 所以存在这样的点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：重点在于利用两圆的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程，进而求得直线过的定点是解得第二问的定值的关键. 19．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解； （2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得； ②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点， 从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围． 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， 为圆上任意一点，， 又，，解得，常数. ②由①知，，，点，圆， 设，是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得. 20．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法即可求得动点的轨迹方程； （2）先利用圆的性质求得直线的斜率，进而求得直线的方程，再利用垂径定理求得的长，进而求得的面积. 【详解】（1）可化为， 设， 是线段的中点，即 又因为在圆上， ，即 整理得. 的轨迹方程是. （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于，故点在线段的垂直平分线上， 又点在圆上，故点在线段的垂直平分线上， 从而. ，直线的斜率为. 直线的方程为，即. 则到的距离为， . 又到直线的距离为. . 21．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆关于直线对称，且过点. (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设圆心到直线l的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，即，满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得 ， 所以直线l的方程为或． 即或． 22．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点. (1)已知，求直线的方程； (2)已知点且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分斜率是否存在讨论，当斜率存在时，利用半弦长、弦心距、半径关系列方程求斜率即可得解； （2）分斜率是否存在讨论，当斜率存在时，利用弦长及弦心距表示出面积，解方程即可得解. 【详解】（1）①直线的斜率不存在时，，不满足题意. ②直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 则圆心到直线的距离， 由，可得，解得， 故直线. （2）①直线的斜率不存在时，，不满足题意. ②直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 则， 到直线的距离， 故， 由可得，化简得， 即，解得， 故直线. 地 城 考点03 圆与圆的位值关系 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 【答案】C 【分析】由两圆的位置关系计算即可； 【详解】由题意可得，半径为；，半径为4， 因为两圆只有一个公共点， 所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得； 所以r的值为1或9， 故选：C 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)若圆与圆外切，则的值是（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】已知两圆外切，可根据圆心距和半径的关系求解. 【详解】圆，则圆心，半径； 圆，则圆心，半径； 则，则，解得； 故选：C. 3．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆， 则，而，因此，所以或. 故选：D 4．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】B 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距与两圆半径和差大小关系得出两圆位置关系. 【详解】由题意得，， ， 故的圆心坐标，半径， 圆圆心坐标，半径， 故圆心距， 所以， 故两圆外切. 故答案选：B. 5．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 假设圆与圆没有公切线， 此时两圆内含，所以圆心距，即，解得， 所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是， 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 7．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知直线：和圆：，则下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．圆与圆：有三条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．圆上恰有4个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【分析】根据定点的特征即可求解可判断A，根据两圆的位置关系即可求解可判断B，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C，根据题意可得，求解即可判断D. 【详解】对于A，由直线的方程，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，由圆的方程，可得圆心，半径， 由，可得圆心，半径为， 又，由于， 所以圆与圆相交，圆与圆有两条公切线，故B错误； 对于C，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时， 此时截得的弦长最短，最短弦长为，故C正确； 对于D，当圆上恰有4个点到直线的距离等于， 则圆心到直线：的距离小于， 所以，整理得，解得，故D正确. 故选：ACD. 8．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 【答案】ABD 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得直线的方程，即可判断A；对于B：分析可知当为圆的直径时，该圆面积最小，即可得结果；对于C：分析可知圆与圆外切，即可得结果；对于D：分析可知当，，，共线时，取得最大值，即可得结果. 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为， 当为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为，所以B正确； 对于C，因为，可得，可知圆与圆外切， 所以两圆的公切线共有3条，所以C错误； 对于D，当，，，共线时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知点，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设点，根据，可知点在圆上，即可转化为两圆有公共点的问题. 【详解】设点，则，， 又， 即，即， 则点在圆上， 又点在上， 且的圆心，半径上， 即圆与圆有公共点， 即， 即， 解得，即， 故答案为：. 10．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【答案】 【分析】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）首先求出的中点坐标及，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程，进而可得弦长. 【详解】（1）因为，，所以的中点为，且， 因为圆是以线段为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以圆的方程为； （2）圆的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 所以圆心到该直线的距离， 所以两圆公共弦的长的长为. 地 城 考点04 阿氏圆问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆开州中学·月考)已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】D 【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为，即可判断A；利用点到圆上点距离的最大值，即可知在C上不存在点D，即可判断B；设，利用两点间距离公式得到方程和联立，无解，即可判断C；求出C的圆心到直线的距离，可得曲线C上的点到直线的最大距离为9，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 化简得，即，故A错误； 对于B，点到圆上的点的最大距离， 故不存在点D符合题意，故B错误； 对于C，设，由， 得，又， 联立方程消去得，得无解，故C错误； 对于D，C的圆心到直线的距离为， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确. 故选：D. 二、解答题 2．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知点，是平面内不同的两点，若点满足(，且)，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的—阿波罗尼斯圆.若点满足()，则点的轨迹是以为“稳点”的—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，(）. (1)当，时，若点的轨迹是以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆，求点的轨迹方程； (2)在(1)的条件下，若点在以为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求(为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，试判断是否存在实数，，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】(1)由题意可知，设：，则，整理计算即可求解； (2)设，由定义得到，从而有， 求得，再由，即可求解； (3)由，及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程： ，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线， 关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题. 【详解】（1）由已知，且，设：，则：， ∴，整理得：， ∴点的轨迹方程为：. （2）由(1)知，，设，由， 得，所以， ，整理得，即， 所以，，由，得， 即的取值范围是. （3）若，则以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为， 整理得，该圆关于点对称. 由点，关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，，使得以为稳点的一阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 3．(24-25高二上·重庆礼嘉中学·期中)已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意列出方程，化简方程即可求得的方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时根据圆心到直线的距离、半径、半弦长之间的关系求解出的值，由此可求的方程. 【详解】（1）由条件可知，所以，化简可得， 所以. （2）表示圆心为，半径为的圆； 当直线的斜率不存在时，，因为恒成立， 即与圆没有交点，故不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到直线的距离为， 因为，所以，解得或， 所以的方程为或. 4．(24-25高二上·河南洛阳创新联盟发展·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 5．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知圆的方程为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解； （2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得； ②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点， 从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围． 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， 为圆上任意一点，， 又，，解得，常数. ②由①知，，，点，圆， 设，是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得. 6．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析， 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（3）设，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示直线的方程和直线的方程的方程，求出交点N的坐标即可证明. 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. （3），设， 联立消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以，所以点在定直线上. 7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知，，动点满足，点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，. （i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由. （ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）过定点为；（ii)证明见解析. 【分析】（1）先设点,然后利用化简求解即可. （2）先计算交点坐标，然后求出圆的方程，求出点，的坐标；再分别计算每一个小问， （i）利用切线与半径垂直，然后建立等式求出直线方程，计算定点即可； （ii）先分别计算出两个直线，然后计算两个焦点，表示出然后化简求解即可. 【详解】（1）设 因为 所以有 经整理得 （2）方程与方程联立 求解得或 所以圆的方程为 所以有 （i）设 易知圆的圆心为原点 所以有 由向量数量积的几何意义可知 所以有 故两点均满足直线 所以直线的方程为 过定点 （ii）设 则有, 所以得到 所以 所以 因为 不妨设 所以有 继续化简得 所以为定值4. 【点睛】关键点点睛：当两个数的平方和为定值时，我们可以三角换元，这样就只有一个变量了，然后求解即可. 8．已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 9．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据列式，再化简即可； （2）设的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列出直线，的方程，求得Q点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可. 【详解】（1）设动点坐标， 因为动点P满足，且，， 所以， 化简可得，，即， 所以点P的轨迹方程为. （2）曲线C：中，令，可得， 解得或，可知, 当直线为斜率为0时，即为直径，长度为8， 当直线为斜率不为0时， 设的直线方程为， 联立消去可得：， 化简可得； 由韦达定理可得，    因为， 所以，的斜率为， 又点在曲线C上，所以, 可得， 所以， 所以，的方程为，， 令可得， 化简可得；， 又在直线上，可得，， 所以， 化简可得；， 又， 代入可得， 化简可得， ， ，所以或， 当时为，必过，不合题意， 当时为，必过， 又即为圆的弦长， 所以当直径时弦长最小， 此时半径圆心到直线的距离为 综上，的最小值. 【点睛】方法点睛：求必过点可用联立方程，设而不求，算出参数关系. 地 城 考点05 圆中的最值问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 2．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    3．(24-25高二上·重庆名校联盟·)点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】结合点与圆的位置关系，把问题转化成两点之间直线段最短的问题解决. 【详解】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点， 取，则，∴， ∴， ∴. 故选：B 【点睛】方法点睛：几何问题中，线段和的最小值问题通常利用到两个结论：第一：两点之间直线段最短，第二：点到直线的距离，垂线段最短.该题求线段和的最小值，该思考如何转化，利用这两个结论. 4．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得出满足条件的过三点、、的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为和，并依据定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，舍弃，得到满足条件的，从而得出答案. 【详解】因为、，则线段的中点坐标为，易知， 则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时的坐标为， 代入圆的方程得，解得或， 即对应的切点分别为和， 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径， 所以，故点为所求，即点的横坐标为. 故选：A. 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，设，分析可知，，则恒成立，则恒成立，利用三角恒等变换求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】先证明，其中、， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，，与、无关， 当且仅当时，等号成立， 设，则 ，为锐角，且， 所以，恒成立，则恒成立， 因为， 为锐角，且， 所以，. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据原的参数方程所求代数式的几何意义. 6．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知点是曲线围成的图形内的一个动点（包含边界），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化简，作出其图形，设，可知当直线与曲线相切，且切点在第三象限时，取最小值，即直线与圆相切，且，利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】当，时，曲线方程可化为，即； 当，时，曲线方程可化为，即； 当，时，曲线方程可化为，即； 当，时，曲线方程可化为，即. 作出曲线的图象如下图所示：    设，可得， 由图可知，当直线与曲线相切，且切点在第三象限时，取最小值， 此时，直线与圆相切，且， 圆心为，半径为，则， 因为，解得，故的最小值为. 故选：B. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 7．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B 二、多选题 8．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用表达式的几何意义，结合图形求范围即可. 【详解】由题意，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为半圆，即圆位于轴上方（包括轴上两点）的部分； 选项A： 如图所示，的几何意义为半圆上的点与点的连线的斜率； 设过点的直线的方程为，即， 由，解得或（舍去）； 因此，的取值范围是，故A正确； 选项B： 设，则，故的几何意义为过半圆上的点的斜率为的直线系的纵截距； 当直线过点时，有最小值，最小值为； 由，解得或（舍去），此时有最大值，最大值为， 因此，的取值范围是，故B正确； 选项C： 如图所示，几何意义为半圆上的点到的距离的平方； 由图可知，半圆上点到的距离最大，最大距离为5；点到的距离最小，最小距离为1； 因此，的取值范围是，故C错误； 选项D： 如图所示，的几何意义为半圆上的点到直线的距离的倍； 由图可知，距离的最小值为，最大值为， 因此，的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 9．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 【答案】BCD 【分析】先根据圆的一般方程配方成标准方程确定圆心、半径，再逐项分析各个式子的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以， 表示圆心为半径为的圆，设， 对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则， 所以当直线与圆相切于第一象限时，最大，此时， 所以，所以的最大值为，A错误； 对于B，表示圆上点到坐标原点距离的平方， 所以有，B正确； 对于C，设，所以，当直线与圆相切时， 取得最大或最小值，此时，圆心到直线的距离为半径，则， 解得，故，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以圆上点到直线的最大距离为, 所以，D正确. 故选：BCD 10．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知实数，满足方程，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】求出给定方程表示的几何图形，再结合各选项中的目标函数的几何意义求解判断即得. 【详解】方程，即， 因此方程表示以原点为圆心，1为半径的圆在轴及右侧的部分，其中， 对于A，表示半圆上的点到点的距离的平方， 显然为所求最小值，最小值为1，或为所求最大值，最大值为， 因此的取值范围为，A错误； 对于B，表示半圆上的点与点确定直线的斜率， 设过点的直线为，由，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即，的取值范围是，B正确； 对于C，令，则为直线与轴的交点的纵坐标， 当与半圆相切于，取得最小值，取得最大值， 由，而，解得，当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，表示半圆上的点到直线距离的倍， 过点作垂直于直线于点，与半圆交于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最小值， 此时，， 过点作垂直于直线于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最大值，最大值， 因此的取值范围是， 所以的取值范围为，D错误. 故选：BC 11．(24-25高二上·重庆名校联盟·)点P在圆M：上，点，点，则下列结论正确的是（   ） A．直线AB关于点M的对称直线为 B．点P到直线AB距离的最大值为 C．圆M关于直线AB对称的圆的方程为 D．当最大时， 【答案】BD 【分析】对于A，分别求得点关于点的对称点坐标，即可判断；对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断；对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解；对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解. 【详解】对于A，因为点，点，点， 则点关于点的对称点， 点关于点的对称点， 则，则对称直线方程为， 化简可得，故A错误； 对于B，由题意可得，直线的方程为，即， 因为圆，所以，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为，故B正确； 对于C，设圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误； 对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图， 在中，，， 所以，故D正确. 故选：BD 12．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．的最小值为 D．若点在圆上，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】结合直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系相关知识点对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A，直线， 可得当时方程恒成立，即直线恒过定点， 故A正确； 对于选项B，因为直线恒过定点，根据圆M的标准方程可得， ，所以点在圆M内，所以直线与圆恒相交， 故B正确； 对于选项C，如图所示，设为点P，则， 当直线l于MP的连线垂直时，取得最小值， 此时由圆的弦长公式可得，， 故C错误； 对于选项D， 可将其看成点到点距离的平方再减1， 由于是圆上的点，如图所示， ，连结，则ME于圆的交点即为, 此时取得最小值， 故此时的最小值为， 故D正确. 故选：ABD. 13．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知圆，圆，则（    ） A．直线的方程为 B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为 C．与圆和圆都相切的直线共有四条 D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10 【答案】ABD 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得直线的方程，即可判断A；对于B：分析可知当为圆的直径时，该圆面积最小，即可得结果；对于C：分析可知圆与圆外切，即可得结果；对于D：分析可知当，，，共线时，取得最大值，即可得结果. 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为， 当为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为，所以B正确； 对于C，因为，可得，可知圆与圆外切， 所以两圆的公切线共有3条，所以C错误； 对于D，当，，，共线时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知圆上任意一点，的取值与的位置无关，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知直线，直线位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出的范围． 【详解】设直线，直线， 则到直线的距离为，到直线的距离为， 因为的取值与的位置无关，所以为常数， 所以圆在平行线之间，又直线在圆下方，所以直线在圆上方， 由，得到或， 故答案为：． 15．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【详解】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值. 四、解答题 16．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于、两点，求. (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线的距离，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长； （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积． 【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或． （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相交，． （3）圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为． 17．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 【答案】(1)圆过定点； (2)①直线的方程为. ②存在这样的点，使得为定值 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）①根据题意可得，进而由点到直线的距离公式可求最小值，求出此时的点的坐标，求得过的圆的方程，可求直线的方程. ②设，求得过的圆的方程，求得直线的方程，可得直线过定点，由条件可得点在以为直径的圆上，进而可求定值. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为： ， 令，即，则， 解得，即圆过定点； （2）①当时，圆，可得圆心，半径， 由平面几何知识可知， 所以， 所以最小时，最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即，此时直线， 所以直线的方程为，与直线联立，可求得， 此时以为直径的圆上任意一点， 则， 故圆的方程为，又圆， 两式作差可得直线的方程为. ②设，由平面几何知识为四点共圆， 设圆上任一点，则， 所以圆的方程为， 与圆作差可得直线的方程为， 所以，表示过与的交点的直线， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以在以为直径的圆上， 故圆心到点的距离为圆的半径（定值）， 所以存在点为线段的中点，此时坐标为， 所以存在这样的点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：重点在于利用两圆的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程，进而求得直线过的定点是解得第二问的定值的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $