专题02 直线方程（人教版）（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题02 直线方程 5大高频考点概览 考点01 直线的斜率与倾斜角 考点02 直线方程 考点03 直线平行垂直及过定点问题 考点04 直线中的最值问题 考点05直线中的交点距离问题 地 城 考点01 直线的斜率与倾斜角 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)倾斜角为的直线的单位方向向量是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·重庆名校联盟·)已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·重庆渝高中学校·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)直线过两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D． 8．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)直线的倾斜角可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 地 城 考点02 直线方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)直线过点且在x轴、y轴上的截距相等，则该直线方程（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若，则直线与直线垂直 B．若直线经过第三象限，则 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过点的直线方程均可用表示 三、填空题 4．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知直线l的方向向量为，且直线l经过点，则直线l的方程为 . 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)过点且纵横截距相等的直线方程是 （直线方程一般式） 6．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)倾斜角为且经过点的直线方程是 . 7．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 四、解答题 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 9．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 10．(23-24高二上·重庆江津第二中学校·期中)已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 地 城 考点03 直线平行垂直及过定点问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．直线过定点 C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限 3．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 4．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知直线，直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线过定点 D．若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则 5．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)已知直线：与：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式为 三、填空题 6．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 地 城 考点04 直线中的最值问题 一、多选题 1．(24-25高二上·重庆南坪中学校·期中)古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 二、填空题 2．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)已知直线：，为坐标原点，若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当最小时， . 3．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知，则的最小值 . 4．(23-24高二上·重庆西藏中学校·期中)已知在直线上，则的最小值为 ． 三、解答题 5．(24-25高二上·重庆名校联盟·)直线的方程为（）. (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程. 6．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 7．(23-24高二上·重庆西藏中学校·期中)已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 9．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 地 城 考点05 直线中的交点距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)若直线：与直线：相互平行，则、之间的距离为（   ） A．3 B． C． D．或 2．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)若直线和直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)两条平行直线和间的距离为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 7．(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)直线与直线的交点坐标为 . 9．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值 . 10．(23-24高二上·广东清远四校联盟·期中)已知两条平行直线间的距离为，则 . 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 12．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； (2)求三角形ABC的面积． 13．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)（1）若直线和直线平行，求的值及到的距离. （2）已知直线经过点，，求点关于直线对称点的坐标. 14．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)直线：，直线的一个方向向量为，直线：与已知直线垂直. (1)求a，b的值； (2)已知点，求点P到直线的距离及点P关于直线对称的点的坐标. 15．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知直线l：，点． (1)若点P到直线l的距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程； (2)当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程． 16．(22-23高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； (2)若面积为24，求直线l的方程． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线方程 5大高频考点概览 考点01 直线的斜率与倾斜角 考点02 直线方程 考点03 直线平行垂直及过定点问题 考点04 直线中的最值问题 考点05直线中的交点距离问题 地 城 考点01 直线的斜率与倾斜角 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 2．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)倾斜角为的直线的单位方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方向向量与斜率的关系，再由单位向量模长计算可得结果. 【详解】易知倾斜角为的直线斜率为，所以其方向向量应为; 设单位方向向量为，可得，即， 解得； 故直线的单位方向向量可以为或. 故选：C 3．(24-25高二上·重庆第七中学校·期中)已知直线经过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为. 直线经过点，，所以， 所以,又，所以. 故选：A. 4．(24-25高二上·重庆名校联盟·)已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】已知点，，则， 斜率，又直线l的倾斜角， 则直线l的倾斜角. 故选：A. 5．(24-25高二上·重庆渝高中学校·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可求解. 【详解】将直线变形为，即斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故选：A. 6．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率， 所以该直线的倾斜角大小为. 故选：C 7．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)直线过两点，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可. 【详解】由题意可知，斜率， 故选：C. 8．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 9．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 二、多选题 10．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)直线的倾斜角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题易知,结合倾斜角与斜率的关系可得的倾斜角的范围. 【详解】直线变形得， 假设直线的倾斜角为，则， 则， 所以或，故ABD满足题意， 故选：ABD. 三、填空题 11．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】计算出斜率后，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 地 城 考点02 直线方程 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)下列直线中，倾斜角为钝角的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角为钝角，得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】由题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率不存在；直线的斜率； 由倾斜角为钝角，得直线的斜率， 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)直线过点且在x轴、y轴上的截距相等，则该直线方程（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件分直线过和不过两种情况，分类求解即可. 【详解】当直线过时，设直线方程,过点， ,得,所以直线方程为,即. 当直线不过时，设直线方程,过点， ∴,解得 所以直线方程为,即. 故选：AC 3．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)下列说法正确的是（    ） A．若，则直线与直线垂直 B．若直线经过第三象限，则 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过点的直线方程均可用表示 【答案】AD 【分析】根据选项结合直线方程知识点逐一判断正误即可. 【详解】对于选项A，当时，直线方程为和， 两直线垂直，故选项A正确； 对于选项B，直线与轴的交点分别为， 当直线经过一，二，三象限时，，可得， 可得，故B错误； 对于选项C，当直线在轴上的截距都为0时，有直线同样满足条件，故C错误； 对于选项D，根据直线方程的定义与表示法， 可表示任意过的直线，故D正确. 综上所述，答案选AD. 三、填空题 4．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)已知直线l的方向向量为，且直线l经过点，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线的方向向量可得斜率，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由直线l的方向向量为可得直线的斜率为2， 又过点可得直线l的方程为，即. 故答案为： 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)过点且纵横截距相等的直线方程是 （直线方程一般式） 【答案】或 【分析】分类讨论，当直线过原点时直接求斜率即可得，当直线不过原点时设出截距式方程计算. 【详解】当直线过原点时，直线的斜率为， 此时直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设所求直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为， 因此，所求直线方程为或． 故答案为：或． 6．(23-24高二上·重庆巴蜀中学·期中)倾斜角为且经过点的直线方程是 . 【答案】 【分析】求得直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案. 【详解】由题意知直线的倾斜角为，则直线斜率为， 又直线经过点， 故其方程为，即， 故答案为： 7．(23-24高二上·重庆育才中学校·期中)已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程． 【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得. 故答案为：． 四、解答题 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标，由题意可得出，利用斜率公式可求出实数的值； （2）求出线段的中点的坐标，可求出直线的方程，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即. 9．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. （2）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （3）由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 10．(23-24高二上·重庆江津第二中学校·期中)已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程； （2）分别讨论截距为和截距不为，两种情况分类讨论，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：由直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）解：当截距为0时，直线的方程为； 当截距不为0时，直线设为，代入,解得， 可得直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或 地 城 考点03 直线平行垂直及过定点问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解． 【详解】直线，即， 则直线过定点， ，，， ，， 直线与线段（含端点）有公共点， 或，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D． 二、多选题 2．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)已知直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．直线过定点 C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限 【答案】AC 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之可判断A选项；解方程组可求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用两直线垂直求出的值，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，由可得，即直线过定点，B错； 对于C选项，若，则，解得，C对； 对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错. 故选：AC. 3．(24-25高二上·重庆第十八中学·期中)已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【分析】求出直线过的定点判断A；取，确定的位置关系判断B；由垂直关系求出判断C；取判断D. 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误. 故选：AC 4．(24-25高二上·重庆第十一中学校·期中)已知直线，直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线过定点 D．若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则 【答案】BC 【分析】时，两直线重合，可判断A，利用两直线垂直的充要条件判断B，由求得直线过的定点即可判断C，求直线与坐标轴的交点，结合三角形的面积公式列出方程即可求解. 【详解】对于A，时，，即，，则两直线重合，故A错误； 对于B，若，则，解得 ，故B正确； 对于C，当时，，解得，与的值无关，因此可得直线过定点，故C正确； 对于D，对于，令，得，令，得 ， 若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则，解得，故D错误． 故选：BC. 5．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)已知直线：与：，下列选项正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式为 【答案】ACD 【分析】根据直线的平行与垂直判断AB，由直线系求出定点判断C，根据截距及直线方程的斜截式判断D. 【详解】因为，所以，解得或，代入直线方程检验，不重合，故A正确； 因为，则，解得，故B错误； 由可得，由解得, 所以直线恒过点，故C正确； 由：，令，可得，解得， 所以：，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 6．(24-25高二上·重庆巴蜀中学校·期中)当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 【答案】 【分析】根据动直线恒过定点知距离最大时直线，利用斜率的关系列方程，求解即可. 【详解】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 地 城 考点04 直线中的最值问题 一、多选题 1．(24-25高二上·重庆南坪中学校·期中)古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 二、填空题 2．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)已知直线：，为坐标原点，若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当最小时， . 【答案】 【分析】由直线系方程求出定点，再由截距式可得，根据均值不等式等号成立的条件求解即可. 【详解】由可得， 由，解得，即直线过定点， 假设直线的截距式方程为，则，， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时直线的方程为， 所以得. 故答案为： 3．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知，则的最小值 . 【答案】 【分析】设点为直线上的动点，已知式几何意义为与的距离和与的距离之和，设点，求出关于直线的对称点，计算出即得． 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：． 4．(23-24高二上·重庆西藏中学校·期中)已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高二上·重庆名校联盟·)直线的方程为（）. (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式 求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）直线的方程变形为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点 （2）由， 依题意，即， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，，， 所以当的面积最小时，的周长为. 6．(24-25高二上·重庆第八中学校·期中)已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标. （2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值. 【详解】（1）由，可得， 令，所以直线过定点. （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 7．(23-24高二上·重庆西藏中学校·期中)已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 【答案】(1) (2)的取值范围为；的取值范围为 (3)6 【分析】（1）根据定义直接运算求解即可； （2）设“新椭圆”上任意一点为，可得，分类讨论去绝对值，作出图象，即可得，的范围； （3）根据（2）中图象，代入，即可得面积. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为. （3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 若，，由（2）可知：， 所以“新椭圆”围成的面积为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ； （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况. 9．(24-25高二上·重庆青木关中学校·期中)已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)2. 【分析】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】（1）由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. （2）点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 地 城 考点05 直线中的交点距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)若直线：与直线：相互平行，则、之间的距离为（   ） A．3 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， ，解得或2， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 则与之间的距离. 故选：C. 2．(24-25高二上·重庆字水中学·期中)若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 3．(24-25高二上·重庆实验外国语学校·期中)若直线和直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 则与之间的距离. 故选：A. 4．(23-24高二上·重庆第十八中学·期中)已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令即可判断①；根据直线平行、垂直的判定即可判断②③；利用点线距离公式求原点到各直线距离判断④. 【详解】当时，，故，①对； 由，故不成立，②错； 由恒成立，即，③对； 由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对. 所以共有3个正确. 故选：C 5．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)两条平行直线和间的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两直线平行求，再求平行线间的距离. 【详解】因为两直线平行，则，解得：， 所以两平行线分别为和， . 故选：B 二、多选题 6．(23-24高二上·重庆第八中学校·期中)若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. 三、填空题 7．(24-25高二上·重庆巴渝学校·期中)已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】 【分析】首先将直线化为，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】直线即， 所以平行直线与直线的距离. 故答案为： 8．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)直线与直线的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立两直线的方程，可求出两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得， 因此，直线与直线的交点坐标为. 故答案为：. 9．(24-25高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值 . 【答案】或 【分析】求出直线与两坐标轴的交点，根据截距的关系，列方程求即可. 【详解】依题意可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或. 故答案为：或. 10．(23-24高二上·广东清远四校联盟·期中)已知两条平行直线间的距离为，则 . 【答案】5 【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得的值. 【详解】根据题意，两条直线平行， 必有，解可得 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有， 故，解之可得或， 则时；时. 故答案为：5. 四、解答题 11．(24-25高二上·重庆清华中学校·期中)已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，若， 则，解得. （2）若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 12．(24-25高二上·重庆巫溪县上磺中学校·期中)已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线的一般方程； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据直线平行得所求直线斜率，利用点斜式得直线方程，再转化为一般式即可. （2）先求，再求到（1）中所求直线的距离，利用三角形的面积公式可求解. 【详解】（1）如图： 因为，因为所求直线与平行， 所以所求直线为：，即. （2）因为. 点到直线的距离为：. 所以. 13．(24-25高二上·重庆求精中学·期中)（1）若直线和直线平行，求的值及到的距离. （2）已知直线经过点，，求点关于直线对称点的坐标. 【答案】（1），，（2） 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件求出，再利用两平行线间距离公式求解； （2）求出方程，设出根据对称性列式运算得解. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以，， 所以与的距离为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，则，解得， 所以点的坐标为. 14．(23-24高二上·重庆外国语学校·期中)直线：，直线的一个方向向量为，直线：与已知直线垂直. (1)求a，b的值； (2)已知点，求点P到直线的距离及点P关于直线对称的点的坐标. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）确定的斜率为，根据直线垂直得到斜率，计算得到答案. （2）利用公式计算距离，根据垂直得到直线方程，计算交点，再根据中点坐标公式计算得到答案. 【详解】（1）直线的一个方向向量为，所以的斜率为，所以，故. 直线：与已知直线垂直，则，故. （2）点P到直线的距离， 设过点与直线垂直的直线方程为：，故，解得， 故直线方程为， ，解得，故该直线与直线的交点坐标为， 设对称点的坐标为，故，解得， 故对称点为. 15．(23-24高二上·重庆西南大学附属中学校·期中)已知直线l：，点． (1)若点P到直线l的距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程； (2)当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出直线所过定点，当时最大，且，据此求直线方程； （2）求关于直线l的对称点，根据在反射直线上求解即可. 【详解】（1）因为直线l：可得， 所以由解得，即直线过定点， 所以到直线l的距离， 此时，即， 所以直线l的方程为，即. （2）时，直线l：， 设关于直线l：的对称点， 则，解得，， 即，又在反射直线上且反射直线过原点， 所以反射直线的斜率为， 故反射直线的方程为，即. 16．(22-23高二上·重庆荣昌中学校·期中)已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； (2)若面积为24，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解； （2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解. 【详解】（1）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，即， 则点O到直线l的距离，解得. 故直线l的方程为，即. （2）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，即， 令，可得， 令，可得， 所以，即， 解得， 故所求直线方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $