湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学（一）暨第一次月考数学试题

永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（一） 时间：120分钟：满分：150分（考试范围：必修一：第1~4章） 一、多择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.下列五个写法：①{0}∈{1,2,3}；②0c{0:③{0,1,2}≤{1,2,0}：④0∈0：⑤0n0=0,其中错误写 法的个数为0 A.1 B.2 C.3 D.4 2.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A股票的人 中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票.则只持有A股票的 股民人数是0 A.7 B.6 c.5 D.4 3.设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1<1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.集合A=(1,2,3},BUA={1,2,3,4,5,6},则满足条件的集合B的个数() A.4 B.7 C.8 D.16 5.已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水 、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛 ，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比 赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有0 A.8人 B.7人 C.6人 D.5人 6.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0,的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是0 A[-2,-1)U(3,4] B.[-2,-1]u[3,4] C.(-1,0u2,3) D.[-1,0]U[2,3] 7.若a>b,则() A.In(a-b)>0 B.3a <3b C.a3-b3>0 D.a>b 8.已知正数a,b满足a+2b-2,则a2+4b2++号的最小值为0 A.10 B.12 C.14 D.16 数学试卷（一）·第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若3x-3y<4-x-4y,则下列结论正确的是(0 A.Vx<vy B.x<y C.2-y<2-x D.y-3>x-3 10.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是0 A.y=x2-2 By=子 Cy=+司 Dy=苦 11.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是O Ab有最大值} B.√a+Vb有最大值V2 C品+有最小值2 D.a2+b2有最大值2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知5x2y2+y4=1(wy∈R),则x2+y2的最小值是 13.若实数a,b满足a≥0，b≥0，且ab-0,则称a与D互补.记(ab)=√a2+b2-a-b,那 么“中(a,b)=0”是“a与b互补”的条件. 14.若函数f(x)=xx-a(0≤x≤2)的最大值是1，则实数a的值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题共13分)已知f(x)是二次函数，且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)在区间[0，t]上的最大值 数学试卷（一）·第2页，共4页 16.(本小题共17分)己知集合A为非空数集，定义：S={xx=a+b,a,b∈A},T={xx=a-b,a,b∈A}{实数 a,b可以相同) (1)若集合A={2,5},直接写出集合S、T: (2)若集合A={x1'x2x3x4}x1<X2<x3<x4,且T=A,求证：x1+x4=x2+x3; (3)若集合As{x0≤x≤2021x∈N),SnT=0,记A为集合A中元素的个数，求A的最大值. 17.(本小题共15分)己知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上 所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移，个单位长度。 (1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程： (2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解a,B (i)求实数m的取值范围： (间证明：c0s(a-)=答-1 18.(本小题共17分)已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，满足f(-2)=-4,且当m,n∈[-2,2]，m≠n时 ，有-mf-m<0 m-n (1)判断函数f(x)的单调性： (2)解不等式：f(5x-1)>f(x+1): 数学试卷（一）·第3页，共4页 (3)若f(x)≤2at3-t+4对所有x∈[-2,2]，a∈[-22]恒成立，求实数t的取值范围. 19.(本小题共17分)已知A={a≤x≤-a+3},B={x<-1或x>5. (1)若AnB=0,求a的取值范围： (2)若AUB=R,求a的取值范围. 数学试卷（一）·第4页，共4页 数学（一）参考答案与解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素． 根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对． 【解答】 解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错； 对于，是任意集合的子集，故对； 对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对； 对于，因为是不含任何元素的集合，故错； 对于，因为“”用于集合与集合，故错． 故错误的有，共个， 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用图解决实际问题，属难题． 【解答】 解：设只持有股票的人数为如图所示， 则持有股票同时还持有其它股票的人数为图中的和， 因为只持有一支股票的人中，有一半没持有或股票， 则只持有或股票的人数和为，即 假设只同时持有或股票的人数为， 那么， 即， 则的取值可能是，，，，，，，，， 与之对应的值为，，，，，，，，． 因为不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍， 得， 即，故时满足题意， 故，故只持股票的股民人数是． 故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了充分条件、必要条件的判断，考查解不等式问题，属于基础题． 解出关于的不等式，结合充分条件、必要条件的定义，从而求出答案． 【解答】 解：，， 推不出， ， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的并集运算，按照并集的定义求解．在求集合的并集时相同元素只算一个． 根据集合的并集运算，求出必有，，，即可求出的个数．  【解答】 解：集合，且，必有，，  ，或或或或或或或；共个．  故选C  5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的实际应用，图，属于较难题． 根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即得． 【解答】 解：如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人，   由图可知，解得， 所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了含参的一元二次不等式，属中档题． 根据的取值情况进行分类，进一步确定的取值范围． 【解答】 解：可得 若，则不等式无解 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有个整数，则这两个整数为、，则 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有个整数，则这两个整数为，所以 综上或 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式的性质，属于基础题型，利用构造函数和特殊值法即可求解． 【解答】 解：，，但不一定大于，故不一定成立，故A错误； B.是上的增函数，当时，，故B错误； C.在上是增函数，且，，故C正确； 由不一定得到，如，故D错误． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的性质，属于较难题． 运用两次基本不等式，注意等号成立的条件是否一致． 【解答】 解：因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立． 故选C 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用函数的单调性比较大小，属于中档题． 令，利用其单调性逐项分析可判断． 【解答】 解：令， 因为，都是上的单调增函数， 故也是上的单调增函数， 则， 即，即，所以． 对于当时，没有意义，故A错误； 对于由以上分析知：，故B正确； 对于由，又是上的单调减函数，故，C正确． 对于：当时，满足 ，但没有意义，故D错误． 故选BC． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题． 依据奇偶性和单调性的定义，对选项中函数逐个分析判断即可． 【解答】 解：中是对称轴为，开口向上的抛物线，是偶函数， 在上单调递增，故在上也单调递增，A正确 中反比例函数是奇函数，不是偶函数，B错误 中函数是偶函数，且在时，， 它在上单调递减，在单调递增，故 C错误 中函数是偶函数，在时化简后即为，在上单调递增，故D正确． 故选AD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式求最值，属于中档题． 运用基本不等式，对各选项逐一分析，即可得到答案． 【解答】 解：正实数，满足， A.，则， 当且仅当时等号成立， 则有最大值，故A正确； B.， 当且仅当时等号成立， 所以有最大值，故B正确； C.， 当且仅当时等号成立， 则有最小值  ，故C错误； D.， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，故D错误； 故选AB． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想和化简运算能力． 方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值． 【解答】 解：方法一、由，可得， 由，可得， 则 ，当且仅当，时，等号成立， 可得的最小值为； 方法二、， 故， 当且仅当，即，时取得等号， 可得的最小值为． 故答案为：． 13.【答案】充要  【解析】【分析】 本题考查充分必要条件的判断，属于拔高题． 判断与互补是否成立，再判断与互补是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论． 【解答】 解：若，则， 两边平方解得，故，至少有一个为， 不妨令则可得，故，即与互补； 若与互补时，易得，故，至少有一为，且，， 若，，此时， 同理若，，此时， 即， 故是与互补的充要条件． 故答案为充要． 14.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查已知函数最值求参，属于难题． 函数的最大值是等价于在上恒成立，且或上有解，进而计算得出的值． 【解答】 解：时，恒成立，且有解， 又时，， 因此在上恒成立，且在上有解， 因此在上恒成立，且在上有解， 因此在上恒成立，且或在上有解， 因此在上恒成立，且或在上有解， 因此或，因此或． 15.【答案】解：根据题意，设  ， 因为  ，可得  ，即  ， 又由  ， 且  ， 又因为  ，即  ， 所以  ， 可得  ，解得  ，所以  ． 由知  ， 可得函数  的图象开口向上，且对称轴为  ，所以  ， 当  时，函数  在区间  上的最大值为  ； 当  时，可得  ，所以函数  在区间  上的最大值为  ， 综上可得，当  时，  的最大值为  ；当  时，  的最大值为  ．   【解析】本题考查函数解析式，二次函数最值，属于中档题． 设  ，由  ，求得  ，再由  ，列出方程组，求得  ，即可求得函数  的解析式； 由知  ，结合二次函数的性质，即可求解． 16.【答案】解：由已知，则， 证明：由于集合，， 则集合的元素在，，，，，，中， 且，，而，故A中最大元素必在中， 而为个数中的最大者，故即，故A， 故中的个元素为，，，，且，，与，，重复， 而，故即，而，故或，若，则，，与题设矛盾 故，即 设满足题意，其中， 则， 所以， 因为，， 因为， 所以，中最小的元素为，最大的元素为，， 所以， ，实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，解得，的最小值为， 于是当时，中元素最多，即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为．  【解析】本题考查集合中的新定义，集合中元素的个数，属于较难题． 根据新定义，直接计算集合及； 根据两集合相等即可找到，，，的关系； 设满足题意，其，分析可得，， 通过，可得的取值范围，从而可得集合中元素的个数的最大值． 17.【答案】解：将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变得到的图象， 再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 故， 从而函数图象的对称轴方程为． 其中，， 依题意，在区间内有两个不同的解，， 当且仅当，故实数的取值范围是 因为，是方程在区间内的两个不同的解， 所以，． 当时，，即； 当时，，即； 所以 ．  【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想． 由函数的图象变换规律可得：，从而可求对称轴方程． 由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得其中，，从而可求，即可得解． 由题意可得，当时，可求，当时，可求，由，从而得证． 18.【答案】解： 为奇函数，所以， 则由，得，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 综上，函数在上单调递增 由知函数为上的增函数， 则 解得，故不等式的解集为． 因为，所以． 若对所有恒成立， 则成立，且， 所以对恒成立，即对恒成立． 令， 则即得 即，解得， 故实数的取值范围是．   【解析】本题考查了函数的单调性，不等式的解集，不等式恒成立，属于较难题． 根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性． 根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集． 先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围． 利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号来判断单调性单调性的定义还可以表现为或，或或 19.【答案】解：当时，，需满足，解得， 故的取值范围为． 当时，要使，需满足，解得． 综上所述，的取值范围是． ，，或， ，解得， 故所求的取值范围为．  【解析】本题考查集合的关系，含参数的交集运算问题，属于中档题． 分和两种情况讨论求解即可； 由题意得，从而可求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（一） 时间：120分钟；满分：150分（考试范围：必修一：第1~4章） 一、多择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列五个写法：；；；；，其中错误写法的个数为(    ) A. B. C. D. 2.有三支股票，，，位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的倍．在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多在只持有一支股票的人中，有一半持有股票．则只持有股票的股民人数是(    ) A. B. C. D. 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.集合，则满足条件的集合的个数(    ) A. B. C. D. 5.已知某班有名同学，据统计发现同学们喜爱的第届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目名同学只喜欢乒乓球比赛，名同学只喜欢跳水比赛，名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有名，喜欢跳水与射击比赛的同学有名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有(    ) A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 6.关于的不等式，的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若，则(    ) A. B. C. D. 8.已知正数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 11.多选若正实数，满足，则下列说法正确的是  (    ) A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知，则的最小值是          ． 13.若实数，满足，，且，则称与互补．记，那么“”是“与互补”的          条件． 14.若函数的最大值是，则实数的值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题共13分）已知是二次函数，且，． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最大值． 16.（本小题共17分）已知集合为非空数集，定义：，实数，可以相同 （1）若集合，直接写出集合、 （2）若集合，，且，求证： （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 17.（本小题共15分）已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度． （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）已知关于的方程在内有两个不同的解， 求实数的取值范围； 证明：． 18.（本小题共17分）已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有 （1）判断函数的单调性； （2）解不等式：； （3）若对所有恒成立，求实数的取值范围． 19.（本小题共17分）已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 数学试卷（一）·第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $