第二十二章二次函数同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 同步练 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 4．若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 5．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 6．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．若二次函数的图像与x轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 9．若关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 10．设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．将二次函数化为一般形式是 ． 12．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 13．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 14．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 15．如图，已知函数与函数的交点为函数的顶点，阴影部分的面积为2，则 ， ． 三、解答题 16．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度是时，求这时水面宽度． 17．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 18．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 5 2 1 2 5 … (1)求该二次函数的关系式； (2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ (3)若，，三点都在该函数的图象上，试比较与及的大小． 19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． (1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ (2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 20．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章 二次函数 同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B C C D D D 1．B 【分析】本题考查了二次函数性质，熟练掌握抛物线顶点式的特征是关键．根据抛物线顶点式解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移法则解答即可，掌握二次函数图象的平移法则是解题的关键． 【详解】解：将抛物线的图象向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，当时，函数值y随x值的增大而增大，则当当时，y随x的增大而减小或增大，此选项错误，符合题意； D、抛物线，，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，，所以当时，，因而当时，说法正确，此选项不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查分段函数. 将分别代入两段函数计算即可. 【详解】解：将代入得，， 解得x或， ∵， ∴； 将代入得，， 解得， 故自变量x的值为或． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键． 先根据一次函数图象确定出，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解． 【详解】解：观察四个选项，得出一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴抛物线开口方向向下， 则对称轴为直线，即对称轴在轴的正半轴， ∵， ∴抛物线不经过原点， ∴只有C选项图象符合． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查二次函数图像与的交点情况．利用判别式来确定图像与交点的个数问题，用进行求解即可． 【详解】解：∵是二次函数 ∴， 由题意得：，解得：且， 综上：且时，二次函数的图像与轴有交点． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据分式方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的图象和性质求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程解的情况求出的整数值，进而相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得， 解分式方程，得， ∵分式方程有整数解，且，， ∴的整数值可以为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：． 10．D 【分析】首先将代入得到，求出一次函数，然后表示出，然后根据题意得到，得到，设，求出，进而　即可． 【详解】解：∵点在一次函数上， ∴， ∴， ∴一次函数， ∴， ∵函数的图像与轴仅有一个交点， ∴， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数和x轴的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． 11． 【分析】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键． 根据多项式的乘法运算法则计算，结合二次函数的一般式的表示方法即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．/0.25 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 15． 2 4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接，由函数为，可得对称轴是直线，顶点为，又，结合抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形，故利用对称性可得阴影部分的面积，则，又顶点为在图象上，可得，进而求出的值，又，从而可得的值，最后得解． 【详解】解：由题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接． ∵函数为， ∴对称轴是直线，顶点为． ， 又 ∵抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形， ∴利用对称性可得，阴影部分的面积． ， 又 ∵顶点为在图象上， ， ， ， ， 故答案为：2；4． 16．20 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数解析式的求解是解决本题的关键． 先根据点是图象上的点，求解出二次函数解析式，再根据的长度是，可求解点A与点B的坐标，由此可求解水面宽度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， ∵高度是时， 当时，， 解得：， ∴点，点， . 即当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为20． 17．(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 18．(1) (2)当时，y有最小值，最小值为1 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值等知识，解题的关键是明确题意，找到所求问题所需要的条件． （1）根据表格中的数据列方程组，求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到二次函数的最值； （3）分别代入函数解析式求解比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，将分别代入中可得： ， 解得， 则二次函数的关系式为； （2）， 当时，y有最小值，最小值为1； （3）由（1）可知，， 点C坐标为， ，，三点都在该函数的图象上， ， ， ， ． 19．(1)36元 (2)20元；2880元 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识，正确建立一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元，每天可以售出 ，所以此时商场平均每天要盈利元 ，根据商场平均每天要盈利为1600元列出方程求解即可； （2）设商场平均每天盈利y元 ，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为 ： ，用“配方法”求出该函数的最大值 ，并求出降价多少即可． 【详解】（1）解 ：设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元 ，每天可以售出， 由题意 ，得： ， 即 ：， 解得： ， 为了扩大销售量 ，增加盈利 ，尽快减少库存 ，所以x的值应为36． 答：若商场平均每天要盈利1600元 ，每件衬衫应降价36元． （2）解 ：设商场平均每天盈利y元 ，每件衬衫应降价x元 ， 由题意 ，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元． 答：该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价20元，盈利最大是2880元． 20．(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $