第5章 一次函数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第5章 一次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求） 1．（本题2分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 2．（本题2分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 3．（本题2分）（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）星期天早上，丽丽帮妈妈去早市买菜，经过她与摊主的协商，摊主给出了多买优惠的销售方法，超过的部分打折销售，如图所示，丽丽准备用18元钱购买该种蔬菜，则她最多购买该种蔬菜（    ） A．15斤 B．20斤 C．22.5斤 D．23斤 5．（本题2分）（24-25八年级下·全国·假期作业）某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 6．（本题2分）（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（本题2分）（24-25八年级下·北京顺义·期末）近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②④ C．①③④ D．②③④ 9．（本题2分）（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 10．（本题2分）（2021·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB//x轴．直线m：沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是（  ） A． B． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26八年级上·全国·单元测试）客运站的收支差额（元）与客运量（人）的函数关系如图中直线所示（收支差额车票收入固定支出），为提高经济效益，客运部门提出方案，想达到直线和的预期结果．方案一：提高票价，固定支出不变，可以达到直线 ；方案二：票价不变，减少固定支出，可以达到直线 ． 12．（本题2分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、点B，P是上的一点，若将沿折叠，使点B恰好落在x轴上的点处，则直线的表达式是 ． 15．（本题2分）（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的面积是 ． 16．（本题2分）（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    17．（本题2分）（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．    18．（本题2分）（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点P是第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为 ．    三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元． (1)若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y； (2)若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 20．（本题6分）（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）． 21．（本题8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到经过的新华书店，买到书后继续去学校．下图所示的是他本次上学所用的时间t（单位：）与离家距离y（单位：）之间的关系．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是________． (2)小明在书店停留了________；本次上学途中，小明一共骑行了________． (3)我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度．问：在整个上学途中，哪个时间段小明的骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 22．（本题8分）（24-25八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 23．（本题8分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）（1）A、B两村之间的公路进行对接修筑，甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图（1）是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ①乙工程队每天修公路多少米？ ②分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； ③若乙工程队后来进入施工后，不提前离开，直到公路对接完工，那么施工过程共需几天？ （2）如图（2），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，在第一象限取点C，使成为等腰直角三角形；如果在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求a的值． 24．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C． (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 25．（本题10分）（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第5章 一次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求） 1．（本题2分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】解：、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以方程的解是，该选项说法正确，符合题意； 、由函数图象可知，当时，，所以不等式的解集是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 2．（本题2分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【规范解答】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 3．（本题2分）（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【规范解答】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 4．（本题2分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）星期天早上，丽丽帮妈妈去早市买菜，经过她与摊主的协商，摊主给出了多买优惠的销售方法，超过的部分打折销售，如图所示，丽丽准备用18元钱购买该种蔬菜，则她最多购买该种蔬菜（    ） A．15斤 B．20斤 C．22.5斤 D．23斤 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用；根据图象特征，求一次函数解析式是解题关键． 由题意当时，设函数为，用待定系数法求出解析式，再将代入即可． 【规范解答】解：由题意当时，设函数为， ∵图象经过点，， ∴， 解得：， ∴． ∵， ∴将代入，得， 解得，即最多购买该种蔬菜20斤． 故选：B． 5．（本题2分）（24-25八年级下·全国·假期作业）某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（   ） A．该植物在50天后停止长高 B．该植物的株高最高为15厘米 C．AC所在直线对应的函数表达式为 D．第40天该植物的株高为14厘米 【答案】B 【思路引导】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断C；把代入②的结论进行计算即可判断B；把代入②的结论进行计算可判断D． 【规范解答】解： 轴， ∴从第50天开始植物的高度不变，故A的说法正确，不符合题意； 设直线的解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，故C的结论正确，不符合题意； 当时，，即第50天，该植物的高度为16厘米，因此该植物的株高最高为16厘米，故B的说法错误，符合题意; 当时，，即第40天，该植物的高度为14厘米；故D的说法正确，不符合题意. 故选：B． 【考点剖析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 6．（本题2分）（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【规范解答】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 7．（本题2分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 【规范解答】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 8．（本题2分）（24-25八年级下·北京顺义·期末）近年来新能源汽车越来越受到人们的喜爱．为了解某新能源汽车的充电速度，某研究小组经调查研究发现：如图，用快速充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电桩充电时，汽车电池电量百分比与充电时间（单位：）的函数图象是线段．给出下面四个结论： ①用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要； ②与的函数表达式为； ③该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩和普通充电桩的充电速度相同； ④若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．② B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，观察图象即可判断①；求出普通充电桩的充电速度，从而即可得出与的函数表达式，即可判断②；求出用快速充电桩的充电速度，比较即可判断③；求出当时对应的的值即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由图象可得：用快速充电桩充电时，该汽车电池电量百分比从充至需要，故①错误，不符合题意； 普通充电桩的充电速度为， 则与的函数表达式为，故②正确，符合题意； 该汽车电池电量百分比达到后，用快速充电桩的充电速度为，普通充电桩的速度为，故③错误，不符合题意； 当时，， 解得， ， 故若该汽车电池电量百分比从充至，则快速充电桩比普通充电桩少用，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④， 故选：B． 9．（本题2分）（2023八年级上·安徽蚌埠·竞赛）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【思路引导】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【规范解答】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10．（本题2分）（2021·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB//x轴．直线m：沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先将直线m在平移的过程中让EF发生变化的关键位置找到，分析每一种情况下的EF随a的变化情况，逐步排除其它选项后得到正确选项． 【规范解答】解：如图，当直线m还没有运动到直线a的位置时，它与矩形没有交点，因此，线段EF=0，所以排除A选项； 当直线m运动到直线a和直线b之间的位置时，每向右平移1个单位，则EF就增加个单位长，此时，它们是一次函数的关系； 当直线m运动到直线b和直线c之间的位置时，此时EF的长度始终保持不变，所以排除C选项； 当直线m运动到直线c和直线d之间的位置时，每向右平移1各单位，则EF就减少个单位长，此时，它们是一次函数的关系，直到运动到直线d的位置时，EF的长变为0，因为从直线a的位置运动到直线b的位置和从直线c的位置运动到直线d的位置时，直线m平移的距离是相同的，因此排除D选项； 综上可得B选项正确； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图像与性质和图形的平移等内容，解题过程中渗透了数形结合的思想，要求学生注意分析两个变量之间的关系，抓住关键的点，此题为选择题，因此可以通过排除法去排除不正确的选项，最后得到正确的选项，同时考查了学生对图形运动的感知能力与对函数图像的理解力． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26八年级上·全国·单元测试）客运站的收支差额（元）与客运量（人）的函数关系如图中直线所示（收支差额车票收入固定支出），为提高经济效益，客运部门提出方案，想达到直线和的预期结果．方案一：提高票价，固定支出不变，可以达到直线 ；方案二：票价不变，减少固定支出，可以达到直线 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的应用，设票价是，固定支出是，则直线可表示为．根据k，b的变化情况找出对应的函数图象即可． 【规范解答】解：设票价是，固定支出是，则直线可表示为． ①当提高票价，固定支出不变时，即变大，不变，所以可以达到直线； ②当票价不变，减少固定支出时，即不变，减小，则变大，所以可以达到直线． 故答案为：，． 12．（本题2分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【规范解答】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法． 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标． 【规范解答】解：假设的解析式为，将代入得， ， 解得， ∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ， 解得， ∴， 联立， 解得， 所以，交点的坐标为， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、点B，P是上的一点，若将沿折叠，使点B恰好落在x轴上的点处，则直线的表达式是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 由解析可得、，根据勾股定理，中，构建方程求解得，于是，然后运用待定系数法建立方程组求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，；当时，, ∴ ∴，， ∴， 由折叠知，， ∴． 在中，， ∴，解得∶． ∴ 设直线的解析式为，得 ，解得， ∴． 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的面积是 ． 【答案】5 【思路引导】本题是两条直线相交问题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 将点B的坐标代入一次函数中即可求出b的值，然后由两解析式组成的方程组求得A的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【规范解答】解：一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数为， 由方程组， 解得：， ∴A的坐标是． ∴的面积：． 故答案为：5． 16．（本题2分）（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【规范解答】如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 17．（本题2分）（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图,在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P，直线过点A且与x轴垂直，若上有一动点C，使得，则点C的坐标为 ．    【答案】或 【思路引导】先求出A、B、P三点的坐标和的长度，作于点E，如图，根据角的代换得出，然后分点C在A点下方与点C在A点上方两种情况，利用等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：对于，当时，，解得， ∴， 对于，当时，，解得， ∴， 解方程组，得， ∴， ∴，    作于点E，如图， ∵直线过点A且与x轴垂直， ∴，即， ∵， ∴， 当点C在A点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点C在A点上方时，即为点，同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【考点剖析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、两条直线的交点、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，具有较强的综合性，熟练掌握一次函数的相关知识、明确求解的方法是解题的关键． 18．（本题2分）（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点P是第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为 ．    【答案】或或 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点、等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点并能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 依据题意，由直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，故，，然后再分当时、当时和当时， 分别进行分类讨论，利用全等三角形的判定与性质进行推理，进而计算可以得解． 【规范解答】存在点P．理由如下： 令，得，，， 令，得，解得，，， ①当时，过P作轴于D，如图1，   ，， ， 在和 中， ， ， ，， ， P的坐标为； ②当时，过P作轴于E，如图2，    同理可证， ，， ， P的坐标为； ③当时，如图3，过P作轴，过B作交延长线于H，   为等腰直角三角形， ，， ， 又， ． 在和中， ， ，， 设，， 由图易得，， ，， 解得，． P的坐标为． 综上，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元． (1)若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y； (2)若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据总费用=苹果的费用+梨的费用求解即可； （2）根据一次函数的性质求出总费用y的最大值和最小值，即可求解． 【规范解答】（1）解∶根据题意，得 ∴； （2）解∶∵， ∴随的增大而减小， 又， ∴当时，有最大值为4350；当时，有最小值为4050， ∴该水果批发站此次购入水果的总费用的范围． 20．（本题6分）（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵直线交y轴于点，交x轴于点， ∴，解得：， ∴； （2）∵平行于y轴的直线交于点D，， ∴当时，， ∴， ∵点是直线上一动点，且在点D的上方， ∴， ∴． 21．（本题8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到经过的新华书店，买到书后继续去学校．下图所示的是他本次上学所用的时间t（单位：）与离家距离y（单位：）之间的关系．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是________． (2)小明在书店停留了________；本次上学途中，小明一共骑行了________． (3)我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度．问：在整个上学途中，哪个时间段小明的骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1500 (2)4，2700 (3)在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【思路引导】本题主要考查的是实际问题的函数图象，有理数的加减，有理数的大小比较。 （1）根据函数图象的纵坐标，可直接得到答案； （2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； 根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据有理数的加法，可求出小明行驶的距离； （3）根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据函数图象的横坐标，可得每一段行驶的时间，根据路程与时间的关系，可得每一段行驶的速度，确定最大速度与300的大小关系，问题即可解答． 【规范解答】（1）解：根据图象的纵坐标，由出发点是小明的家，可知：小明家到学校的路程是； 故答案为：1500． （2）根据题意，小明在书店停留的时间为从第到第，故小明在书店停留了； 一共行驶的总路程为． 故答案为：4，2700． （3）当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为． 因为， 所以在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 22．（本题8分）（24-25八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 【答案】(1) (2)40名 (3)最大值为2800 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把，代入求解即可； （2）直接把代入求解即可； （3）根据一次函数的性质结合求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意，设 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得 把代入，得， 解得， 即该次比赛的费用为2400元，有名运动员参加了比赛； （3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）． ∴， ∵， ∴随之的增大而增大， ∵， ∴把代入，得， ∴W的最大值为． 23．（本题8分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）（1）A、B两村之间的公路进行对接修筑，甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图（1）是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ①乙工程队每天修公路多少米？ ②分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式； ③若乙工程队后来进入施工后，不提前离开，直到公路对接完工，那么施工过程共需几天？ （2）如图（2），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，在第一象限取点C，使成为等腰直角三角形；如果在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求a的值． 【答案】（1）①120米；②，；③施工过程共需11天；（2）或 【思路引导】本题考查了工程问题的数量关系，工作总量=工作效率×工作时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用及等腰直角三角形的性质的运用． （1）①运用乙工程队6天修的长度除以时间就可以求出乙工程队每天修的米数； ②由（1）就可以求出乙工程队3天修的米数，根据待定系数法就可以直接求出甲、乙的解析式； ③运用甲、乙合修的时间加上甲先修的时间就可以求出共需的时间； （2）先运用勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质分类讨论就可以求出结论． 【规范解答】解：（1）①∵乙工程队修了720米，用时天， （米/天）， ∴乙工程队每天修公路120米； ②设乙工程队y与x之间的函数关系式为，直线过点、， 代入得， 解得， ∴， 设甲工程队y与x之间的函数关系式为， 由求得过点， 代入得， 解得， ∴； ③∵乙工程队修了720米，甲工程队修了米， ∴公路总长1620米， 前3天甲单独修了180米， ∴甲、乙合作修了1440米， ∴， 解得， ∴这个施工过程共需（天）； （2）由题意得、， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ①以A或B为三角形的直角顶点时，， 连接、、， 则， 当， 解得； ②以C为直角顶点时，， 当， 解得：． 综上所述，a的值为或． 24．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C． (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②存在，或 【思路引导】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可；②分点，点 分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时， ， 综上：； （3）解：①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在，当点为直角顶点时，设，如图： ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作 ，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【考点剖析】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25．（本题10分）（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【思路引导】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 26．（本题10分）（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3)的坐标为或或或. 【思路引导】（1）先求出点A，B的坐标，可得，，然后设，则，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，则，求出直线的表达式，即可求解． （3）如图，为等腰三角形，设，求解，分情况如下：当时， 当时， 当时，再进一步利用勾股定理求解即可. 【规范解答】（1）解：把代入得：， ∴ 把代入得：， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：作点C关于x轴的对称点，则；连接交轴于，则，此时最短； 把代入得：， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入得， ∴点P的坐标为． （3）解：如图，为等腰三角形，设， ∵，， ∴， 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 当时，则， 解得：或， ∴，， 当时，则， 解得：， ∴， 综上：的坐标为或或或. 【考点剖析】本题主要考查了一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $