专题02 一次函数与几何综合解答40题强化专练（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题02 一次函数与几何综合解答40题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破30题 题型、一次函数与几何综合解答题 1 B 综合攻坚・能力跃升10题 题型、一次函数与几何综合解答题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点P在直线上，若，求点P的坐标． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求出a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习） 【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)若点P在x轴上，若最小，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应的值． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点是直线上的一点，连接，使得，求出此时点的坐标； 16．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，，为垂足． (1)求两点的坐标； (2)直线，与直线相交点． ①若直线夹角为，求交点的坐标； ②若，求取值范围． 17．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求点C的坐标； (2)已知过点C的直线将的面积平分，求该直线的解析式． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 20．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值； (3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围． 21．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 22．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 24．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴轴分别交于点和点，与直线关于轴对称．直线与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)是线段上一动点．当的面积为6时，求点的坐标． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的图象与轴交于点，与轴交于点，且． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为直线上第一象限内一点，连接，设点运动横坐标为，的面积为，请写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）： (3)在（2）的条件下，当时，点为轴正半轴上一点，连接，直线与直线交于点，连接交轴于点，求点的坐标． 27．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，．点在直线上，过点C的另一条直线交x轴于点，点P是直线上一点． (1)求a的值； (2)设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式； (3)若直线交坐标轴于点M，交直线于点N，点，当时，请直接写出点N的坐标． 28．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴、轴、直线分别交于点、、，点H是直线CD上一点，当与的面积相等时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点为x轴上一动点，将沿直线翻折得到，使得N点落在直线上，请求出点F的坐标． 29．（23-24八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线 与直线相交于点E，与x轴，y轴分别交于点C，D．若点 E的坐标为． (1)求点E的坐标和m的值； (2)连接AD，求的面积． 30．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）如图，直线与直线交于点E． (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点，点是函数图象上的一个动点．点是轴上一点．连结． (1)求函数的关系式． (2)设的面积为，当点在第二象限时，求与的函数关系式． (3)当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． (4)结合作图的方式判断，能使是等腰三角形的点的位置共有几个？ 2．已知点，点为第一象限的动点，且．设的面积为S． (1)请直接写出S关于x的函数表达式并写出x的取值范围； (2)当时，求点P的坐标； (3)在平面直角坐标系中画出函数S的图象． 3．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)已知正比例函数经过点，请直接写出当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线，直线经过点． (1)求与的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． (1)求直线的函数解析式； (2)是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； (3)如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 9．如图，已知直线：与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)点F是线段的一个动点，连接，若线段将四边形的面积分成的两部分，请求出点F的坐标． 10．如图，直线交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足． (1)点坐标是_____，点的坐标___，_____． (2)我们容易知道：当点与点关于轴对称时，．那么当点在什么位置时，，说明理由． (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数与几何综合解答40题强化专练（解析版） 目录 A题型建模・专项突破30题 题型、一次函数与几何综合解答题 1 B 综合攻坚・能力跃升10题 题型、一次函数与几何综合解答题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键． （1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴, ∵ ∴， ． 把代入，得， 解得, 该一次函数的表达式为． （2）解：由（1）知：，， ， ， 解得， 点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，解得， 直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D． 由（2）知，． ， 即 ． 在和中， ， ． 设点N的坐标为，则点M的坐标为． 将点M的坐标代入，得，解得， 点N的坐标为． 把点N的坐标代入得：， ∴． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点P在直线上，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质以及解含绝对值的方程等知识点． （1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的横坐标为t，则，过点P作轴交直线于点M，由此可表示的长，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 将点E的坐标代入得：， 解得： ∴直线的表达式为； （2）由（1）知，直线：， 设点P的横坐标为t，则， 过点P作轴交直线于点M， 则， ∴， ∵直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B． ∴， ∴， 即|， 解得或， ∴或． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)直线与y轴交于点M，求的面积． (3)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法即可得直线l1的表达式为； （2）在中，令可得，即得有，故的面积； （3）根据图形即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，， ∴若，x的取值范围是． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①；②存在最小值，且最小值为；不存在最大值 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，三角形三边关系等知识，有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点D的横坐标及点D在直线上，可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①求出点B的坐标，则可得的长度；由题意得，，由此即可求得m的值； ②连接，则，分别求出的长，则由可求得的最小值，此时在延长线上；对于，由于点P不与点C重合，不存在最大值； （3）由点P在直线上，则有，代入中得，则直线过定点；求出当直线分别过点B与点Q时的m的取值，即可确定m的范围． 【详解】（1）解：∵直线与经过点直线相交于点D，且点D的横坐标为4， ∴， 即； 把C、D两点坐标代入中，得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，令，则， 即， ∴； ∵，面积等于面积的一半， ∴， 即， ∴； ②如图，连接，则； ∵， ∴； 对于，令，则， ∴， 由勾股定理得：； ∵， 即， ∴的最小值为，此时在延长线上； ∵，点P与点C重合时，取得最大值，如图， 由题意知，点P与点C不重合， ∴不存在最大值； （3）解：∵点P在直线上， ∴， 把上式代入中，得， 当时，， ∴直线始终过定点； ∵， ∴， 即； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点Q时，则， 解得：或（舍去）； ∴； 但点P在线段上，则， ∴m的范围为． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． (1)求出a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积求交点坐标，利用数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得a的值； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）由直线：求得点B的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：直线：过点， ； （2）把代入得， 解得：， 直线的解析式为； （3）令，则，解得， ， 点P在x轴上，的面积为6，， ，即， ，即， 解得或， 或． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)若点P在x轴上，若最小，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线上，若以为腰的是等腰直角三角形，请直接写出相应的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为4或6 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是一次函数综合题，熟练掌握一次函数性质是解题关键， （1）先求出点C坐标，再将点代入表达式求出直线解析式即可； （2）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，求出直线表达式，进而求出结论； （3）以为腰分以下两种情况：当时或当时，分别根据全等三角形的判定与性质求出结论即可； 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， ， 由点的坐标代入得，， 解得， 的解析式为：； （2）解：直线，当时，， 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，即最小， 设直线表达式为， 由题意得， 解得：， 直线表达式为， 当时，， ； （3）存在， 以为腰分以下两种情况： ①当时，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ； ②当时，过点作轴于，延长交直线于， 同理：， ， ， ； 故的值为4或6． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 【答案】(1) (2)点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度 【知识点】一次函数与几何综合、根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”及中点坐标计算公式计算即可； （2）设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度，用含t的代数式分别把点P、Q的坐标表示出来，利用待定系数法分别求出直线、的解析式，根据直线与坐标轴的交点可得点P、Q的坐标，再得到关于v和t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是线段的中点， ∵，， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （2）解：设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度， 根据题意，，， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 解得， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， ∴， ∴， 解得． 答：点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 【答案】(1)此一次函数的解析式为； (2)； (3)点的坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称—最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）把，代入，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式； （）根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据即可求解； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数得，令，得到， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴点的坐标为． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴可有，解得， ∴点的坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）存在，理由如下： 设点， ∵点P在一次函数的图象上 ∴ 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， ∴ 解得， 当时，，解得 当时，，解得 ∴点的坐标或． 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点Q的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质 【分析】（1）根据一次函数的解析式求得与坐标轴的交点即可； （2）根据面积求得点D的坐标，利用待定系数法求得解析式即可； （3）分为两种情况：①当；②当时，根据全等三角形的性质和等面积法，以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为，； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴或， 设直线的表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的表达式为或； （3）解：分为两种情况：①当时， 则， ∴， ∴Q； ②当时， ， ， ， 过点作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的结合，涉及利用待定系数法求解析式、一次函数或坐标轴的交点、全等三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉一次函数的性质和分类讨论思想． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，再结合图形写出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交轴于，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由图可得：； （2）解：的面积为； （3）解：连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故当点、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点是直线上的一点，连接，使得，求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题为一次函数综合题，涉及三角形全等和相似等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作直线交轴于点，取，过点作直线交直线于点，则点，取，过点作直线交于点，则此时，点为所求点，即可求解． 【详解】（1）解：直线分别交轴，轴于点，， 当时， 当时，， 点、的坐标分别为：、， ，则， 设直线的表达式为， 将点C的坐标代入上式得：，则， 直线的表达式为：； （2）设坐标为， 可看成为底，高为到距离的三角形， 过点作直线交轴于点，则解析式为， 代入得，解得， 故解析式为， 点， 取，则点， 过点作直线交直线于点， 则， 故此时到距离为点到距离2倍， 则此时’ 取， 过点作直线交于点， 同理此时， 点为所求点， 直线且点， 则直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：， 分别联立、和直线的表达式得：或， 解得：或， 当时，；当时， 即点的坐标为：或． 16．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，，为垂足． (1)求两点的坐标； (2)直线，与直线相交点． ①若直线夹角为，求交点的坐标； ②若，求取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；②或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把和把分别代入，即可求出答案； （2）①分两种情况求出答案即可；②分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； （2）①如图，直线过定点， 当在左上方，过点作交于点，则为等腰直角三角形， 设，则， 过点C作轴，过点P作交于点，过点Q作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此点代入中得：p＝， ∴； 此时点即为第二种情况下的点， ∴； 综上，或； ②连接，作于点D， 由题意可得，,， ∵， ∴， 解得, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， a．如图2，当点在上方时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； b．当点在下方时，如图3， 由面积关系得：点在第一象限， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的取值范围为或． 17．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①证明见解析，；②或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是分类讨论． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求点C的坐标； (2)已知过点C的直线将的面积平分，求该直线的解析式． 【答案】(1)C的坐标为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出的坐标，进而求出的解析式，联立两个解析式，求出点坐标即可； （2）根据三角形的中线平分面积，得到过点的直线经过的中点，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴C的坐标为； （2）设该直线过点C且与y轴交于点D， 由题意可知是的中线， 由条件可知点D的坐标为． 设直线的表达式为，代入点C，D的坐标， 得， 解得， ∴该直线的解析式为． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点C坐标，根据计算求解即可； （3）求出的面积，进而可得点M的横坐标，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点M的坐标为或． 20．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值； (3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，则一次函数为，故该函数随的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上，且，进而可以判断得解； （2）依据题意，由当时，有最小值，从而可分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解； （3）依据题意，由，可得一次函数必过，然后作出图象进行分析即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， 一次函数为，, 该函数随的增大而增大． 又，两点均在该函数的图象上，且， ． （2）解：由题意，当时，有最小值， ①当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． ②当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． 综上，或． （3）解：由题意，， ． 当时，． 一次函数必过． 作图如下． 由题意，当一次函数过时， 则， 可得； 当一次函数过时， 则， 可得， 该函数的图象与线段没有公共点， 结合图象可得，或． 21．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点或 (3)， 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求直线解析式； （2）由面积关系列出方程可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于，此时的周长有最小值，利用待定系数法可求直线的解析式，可求点坐标，联立方程组可求点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，． ，， ， 解得：，， 直线的解析式为； （2）设点， ， ， ， ， 或， 点或； （3）如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于， 此时，的周长，即的周长的最小值为， 点为线段的中点， ， 点， 点与点关于轴对称， ， 点， 点与点关于直线对称， ，， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点， 点是直线与直线的交点， ， 解得：， 点． 22．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）设的关系式为，将和两点坐标代入解析式解答即可； （2）设点的坐标为，，解答即可． （3）作点关于轴对称点，连接交轴于点，则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小，设直线的解析式为，将和坐标代入解答即可． 本题考查了待定系数法，轴对称的性质求最值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的横坐标是， 代入中得， ， 设的关系式为，将和两点坐标代入得， ， 解得， 一次函数的关系式为． （2）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得， 点的坐标为． （3）解：在中，令， 解得， ， 作点关于轴对称点，连接交轴于点，则， 则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小， 设直线的解析式为，将和坐标代入得， 解得 直线的解析式为， 是直线与轴交点， 令，得， ． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将一平面镜放置在平面直角坐标系中，其中点．点P，Q的坐标分别为，，从点处发出一道光线． (1)若光线恰好经过平面镜的中点B， ①求光线所在直线的解析式； ②判断点M是否可以落在线段上，说明理由； (2)若从点处发射光线经过点M后，恰好能照射到平面镜上，直接写出符合条件的m的整数值． 【答案】(1)①；②点M可以落在线段上，见解析 (2)，0 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）①根据中点坐标公式求出点的坐标，再利用待定系数法求出光线所在直线的解析式即可； ②将坐标代入光线所在直线的解析式得到关于的一元一次方程，若方程有解，则说明点可以落在线段上，求出点的坐标，否则，则说明点不能落在线段上； （2）利用待定系数法分别求出光线、所在直线的解析式并将点的坐标分别代入，求出对应的值，从而得到的取值范围，写出符合条件的的整数值即可． 【详解】（1）①， ∴， 设光线所在直线的解析式为为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得 ∴光线所在直线的解析式为； ②点可以落在线段上．理由如下： 将坐标代入，得， 解得， ， ∴点可以落在线段上，此时点的坐标为； （2）当光线经过点时， 设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 当光线经过点时，设光线所在直线的解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入，得， 解得， ∴光线所在直线的解析式为； 将代入，得, 解得， 将代入，得， 解得， ∴符合条件的的整数值为或 0 ． 24．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查待定系数法，两直线的交点，坐标与图形． （1）先运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组可得点M的坐标； （2）由，，得到，，因此．对于函数，令，得到，从而，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵直线相交于点 ∴解方程组，得， ∴． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴． 对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴，即， 解得， 当时，，即； 当时，，即； 综上，存在点或，使得． 25．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴轴分别交于点和点，与直线关于轴对称．直线与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)是线段上一动点．当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查了一次函数图象坐标点的特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）由求出点和点的坐标，由对称性得到点的坐标，把和的坐标分别代入运算即可； （2）结合三角形面积公式运算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，解得， ∴， ∵直线与直线关于轴对称， ∴由题可得点， 把点，代入得， 解得； ∴直线的解析式为， （2）设点的横坐标为，则， 由题可得，， ，， ∵是线段上一动点．则点在轴上方， ∴， ∴， ∴此时点． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的图象与轴交于点，与轴交于点，且． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为直线上第一象限内一点，连接，设点运动横坐标为，的面积为，请写出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）： (3)在（2）的条件下，当时，点为轴正半轴上一点，连接，直线与直线交于点，连接交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数 与几何的综合，掌握待定系数法，并把坐标转化为线段长度是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，用坐标求三角形的底和高，再用面积公计算； （3）在的延长线上截取，连接，连接，证，，得，用勾股定理建立方程求的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可． 【详解】（1）中，当时，           ．    将代入得，    （2）中，当时， 过点作轴，则 （3） 过点作轴于点轴于点 ， 在的延长线上截取，连接，连接 ， ， 设，， 由勾股定理得，    即 解得， ， 将直线与直线联立得， 解得    ． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 27．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，．点在直线上，过点C的另一条直线交x轴于点，点P是直线上一点． (1)求a的值； (2)设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式； (3)若直线交坐标轴于点M，交直线于点N，点，当时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)时，；当时，与之间的关系式为． (3)点N的坐标为：或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质与判定，平行线的性质，数形结合思想等相关内容，作出辅助线求出直线的解析式是解题关键． （1）已知两点，，用待定系数法求出直线解析式，并把点代入即可求解； （2）如图所示，当时，的面积；当，的面积；当，的面积，由此即可求解； （3）根据题意，过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，可求出直线的解析式为：及点在直线上，由此即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入直线， ∴，解得． ∴直线的解析式为：， 将代入解析式， ∴，解得． （2）解：由（1）知，， 设直线的解析式为：， ∴，解得，． ∴直线的解析式为， ∵点是直线上一点，点的横坐标为， ∴， 已知，，，则， 情况一：当时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴的面积， ∴，即当时，； 情况二：当时，如图，过点作轴于，过点作轴于，已知，，，， ∴的面积， ∴，即当时，； 情况三：当时，如图，过点作轴于，过点作轴于，已知，，，， ∴的面积， ∴，即当时，； 综上所述，当时，；当时，与之间的关系式为． （3）解：如图所示，当直线与轴交于，且有， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 过点作轴于，交直线于点，过点作于， 已知直线的解析式是，直线的解析式是，， ∴，，, ∴是等腰三角形， ∴，且， ∴是等腰三角形， 过点作于，则， ∴，，则点的纵坐标是，且点在直线上， ∴ ， ∴过点，的直线解析式为， ∵直线与直线：的关系是平行，， ∴点在直线上，且点是直线与坐标轴的交点， ∴当点在轴上时，直线的解析式为； 当点在轴上时，直线的解析式为， ∴点的坐标为 或， ∴解方程得，或， 即或． 28．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴、轴、直线分别交于点、、，点H是直线CD上一点，当与的面积相等时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点为x轴上一动点，将沿直线翻折得到，使得N点落在直线上，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点H的坐标或 (3)的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式； （2）先求出C，D点的坐标，通过求解，的长度得出，，从而得到，利用中点公式求出E点坐标，结合勾股定理求出，利用三角形面积相等求出的长，设，利用的长度求出最后结果即可； （3）分两种情况，分别作出与，由折叠性质得到平分线，从而得到，利用，结合勾股定理求出相对应的线段长度，从而得到，即可求出结果；由折叠性质可得推出，设，列式即可求出结果． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 则直线的解析式为； （2）直线， 当时，， 当时，， ，， 如图，连接， 则， 的解析式为， 当时，， ， ， ， 点D位于直线的垂直平分线上， ， ， ， 点C位于直线的垂直平分线上， ， 点E为直线的中点， 即， ， ， ， ，即 ， 设， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 点H的坐标或； （3）分两种情况：如下图：与， ①由翻折可知：，即平分线， 过点作，，垂足分别为M，N， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即； ②由翻折可知：， ， ， ， ， ， 设， ，，， ， 整理得：， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，折叠性质，角平分线性质，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，中点坐标分情况求解为解题关键的求解，两点间距离，熟练掌握相关性质定理，准确作出图形． 29．（23-24八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线 与直线相交于点E，与x轴，y轴分别交于点C，D．若点 E的坐标为． (1)求点E的坐标和m的值； (2)连接AD，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、面积的计算等知识点，求得各点的坐标是解题的关键． （1）先求得，再将代入求得m的值即可解答； （2）先求得，，即，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 即点； 将的坐标代入，得， 解得：． （2）解：由（1）知直线． 当时，，当时，． ∴， ∵直线 当时，， ∴， ∴． ∴的面积． 30．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)点M的坐标为或或或． 【知识点】一次函数与几何综合、三线合一、等腰三角形的定义 【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质． （1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可； （2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可； （3）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）解：由两直线解析式可得，， ， ①当P点在x轴下方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； ②当P点在x轴上方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； 综上，P的坐标为或．      （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或． 当时，可知点M的坐标为或； 当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为； 当时，设， 则， 解得：，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点，点是函数图象上的一个动点．点是轴上一点．连结． (1)求函数的关系式． (2)设的面积为，当点在第二象限时，求与的函数关系式． (3)当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． (4)结合作图的方式判断，能使是等腰三角形的点的位置共有几个？ 【答案】(1)函数关系式为； (2)与的函数关系式为； (3)点的坐标为； (4)能使是等腰三角形的点的位置共有个． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查一次函数，等腰三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）代入点的坐标，可得，即可得一次函数的解析式； （2）根据题意可知，点的纵坐标即为点到轴的距离，由，，可得线段的长度，代入三角形的面积公式，即可得与的函数关系式； （3）根据题意结合等腰三角形的性质可知，点的横坐标即为的中点横坐标，代入一次函数解析式，即可得点的纵坐标； （4）根据等腰三角形的定义，作图，即可得能使是等腰三角形的点的位置的个数． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 答：函数关系式为． （2）解：∵点是函数图象在第二象限的一个动点， ∴点的纵坐标为点到轴的距离， ∵点，， ∴， ∴的面积， 答：与的函数关系式为． （3）解：∵是以为底的等腰三角形， ∴取的中点，作，交一次函数的图象于点， ∵点，， ∴点， ∴点的横坐标为， 将代入， 得点的纵坐标为， ∴ 答：点的坐标为． （4）解：如图，，，，为等腰三角形， 答：能使是等腰三角形的点的位置共有个． 2．已知点，点为第一象限的动点，且．设的面积为S． (1)请直接写出S关于x的函数表达式并写出x的取值范围； (2)当时，求点P的坐标； (3)在平面直角坐标系中画出函数S的图象． 【答案】(1)，x的取值范围是：． (2) (3)见解析 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】此题主要考查了一次函数的图象、三角形的面积，解答此题的关键是理解直角坐标系中点的坐标的意义，难点是画函数的图象时，注意变量的取值范围是，这也是解答此题的易错点之一． （1）首先根据点的坐标确定，点P到x的距离为，再根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数解析式，然后根据点P在第一象限可得，，，据此可求出x的取值范围； （2）利用（1）中所求的函数解析式，令从而求出x，进而再求出y即可求出点P的坐标； （3）根据（1）中所求的函数表达式和自变量x的取值范围即可画出函数的图象． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵点P的坐标为， 则点P到x轴的距离为y，即：点P到的距离为y， 又∵，则， ∴点P到OA的距离为：， ∴， 整理得：， ∵点P在第一象限， ∴，， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围是：， 故得：S关于x的函数解析式为：，x的取值范围是：． （2）对于，当时，得：， 解得：， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）对于，当时，，当时，， 过点，作线段即为S关于x的函数图象（端点为空心点）． 3．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)已知正比例函数经过点，请直接写出当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握待定系数法是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点C的坐标为，根据的面积为得到，即可得到答案； （3）求出正比例函数解析式，根据题意列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x，y轴分别交于点． ∴ ∴ （2）设点C的坐标为， ∵，的面积为， ∴， 解得， 当时， ∴点C的坐标为 （3）∵正比例函数经过点， ∴ 解得， ∴正比例函数 由题意可得，， 解得． 即当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线，直线经过点． (1)求与的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的平移的性质，一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）先画图，再得出函数的图象经过定点，再把代入，得出，结合题意以及运用数形结合思想得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移2个单位得到的直线， ∴， 则， 依题意，把代入， 得， ∴， （2）解：由（1）可知，，， ∴平移后直线解析式为， 如图所示： 当时，则， 即函数的图象经过定点 把代入，得出， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于0，又小于一次函数的值， ∴且， 解得． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于，两点． (1)求直线的函数解析式； (2)是直线上一动点，且的面积是的面积的2倍，求点P坐标； (3)如图2，在直线l：上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)存在，Q的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）用待定系数法可得直线的函数解析式为； （2）设，当P在第一象限时，求出，，故，可得；当P在第四象限时，，，故，可得； （3）设，求出，，，①当时，，解得或，再根据勾股定理得符合条件，此时；②当时，，解得或，由勾股定理知符合条件，此时，，③当时，，解得，此时，故不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】（1）（1）设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）设， 当P在第一象限时，如图： ，， ， 解得， ； 当P在第四象限时，如图： ，， ， 解得， ； 综上所述，P的坐标为或； （3）设， ，， ，，， ①当时，， 解得或， 若，则，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若，则，， ，是等腰直角三角形，此时； ②当时，， 解得或， 当时，，， ，是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当时，，， ，是等腰直角三角形，此时； ③当时，， 解得， ， 而， ， 不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为或 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的二分之一时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积是； (3)点的坐标是或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）设直线的解析式为，将、代入即可得解； （2）由直线的解析式得出点坐标，由即可得解； （3）由题意求出，分情况考虑：当点在上时，当点在上时，分别将代入对应的直线解析式即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 则直线的解析式为． （2）解：直线的解析式为， 时，，即，， ． （3）解：依题得：， 动点沿路线运动， ， ， 当点在上时， 点， 直线的解析式为， 则时，， 即； 当点在上时， 直线的解析式为， 时，， 即； 综上，这时点的坐标是或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握一次函数． 7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)点的坐标是． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （）设直线的解析式为，把直线与点，点代入即可求解； （）设点的坐标为，由，则，所以，求出的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线上的点在第一象限， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，， ∴点的坐标是． 9．如图，已知直线：与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)点F是线段的一个动点，连接，若线段将四边形的面积分成的两部分，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）由直线与直线平行，得到直线为，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式； （2）根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求解即可． （3）由题意得或，设，再由三角形面积公式求解，即可求出坐标． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ， 直线为， 点在直线上， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，则， 解得：， ， 在直线中，令，则， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ． 故四边形的面积是． （3）解：如图， ∵线段将四边形的面积分成的两部分， ∴或， ∴或； 设， ∴或， ∴或， ∴或． 10．如图，直线交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足． (1)点坐标是_____，点的坐标___，_____． (2)我们容易知道：当点与点关于轴对称时，．那么当点在什么位置时，，说明理由． (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查一次函数与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质，等腰三角形定义等知识的综合，掌握以上知识的综合，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点的计算方法得到点的坐标，根据点关于坐标轴的对称的性质得到点的坐标，由勾股定理得到的值； （2）根据全等的性质得到当时，，由此即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：直线交、轴分别为、两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点在的位置，理由如下： 已知， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，即， ∴，则， 当时，是等腰三角形， ∴， ∴当时，，此时是等腰三角形， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，这与题设矛盾， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得，， ∴当为等腰三角形时，点的坐标为或． 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$