专题5.3 一次函数的图像与性质（知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题5.3 一次函数的图像与性质 （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一次函数的图象 2 知识点梳理02：一次函数的性质 2 知识点梳理03：确定一次函数表达式 3 知识点梳理04：图象的平移 3 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正比例函数的图象 4 考点2：正比例函数的性质 5 考点3：判断一次函数的图象 7 考点4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 8 考点5：已知函数经过的象限求参数范围 9 考点6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 10 考点7：求一次函数自变量或函数值画一次函数图象 12 考点8：一次函数图象平移问题 15 考点9：一次函数图象与对称问题 17 考点10：判断一次函数的增减性 21 考点11：根据一次函数增减性求参数 25 考点12：根据一次函数的增减性 26 考点13：判断自变量的变化情况 27 考点14：比较一次函数值的大小 29 考点15：一次函数的规律探究问题 30 考点16：已知直线与坐标轴交点求方程的解 32 考点17：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 33 考点18：利用图象法解—元一次方程 37 考点19：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 39 考点20：根据两条直线的交点求不等式的解集 40 中考真题 实战演练 41 难度分层 拔尖冲刺 45 基础夯实 45 培优拔高 52 知识点梳理01：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 知识点梳理02：一次函数的性质 (1)一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (2)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理03：确定一次函数表达式 (1)待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． (2)常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理04：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 考点1：正比例函数的图象 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【思路引导】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【规范解答】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 【变式训练】（21-22八年级上·四川成都·期中）下图中，能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据m、n同正，同负，一正一负时进行讨论，然后根据正比例函数和一次函数的图象与性质，进行判断即可． 【规范解答】解：①当mn＞0时，m、n同号，y=mnx过一三象限， 同正时，y=mx+n经过一、二、三象限； 同负时，y=mx+n过二、三、四象限； ②当mn＜0时，m、n异号，y=mnx过二四象限， m＞0，n＜0时，y=mx+n经过一、三、四象限； m＜0，n＞0时，y=mx+n过一、二、四象限；故A正确． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图象与性质，解的关键是熟练掌握，一次函数y=kx+b的图象的四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 考点2：正比例函数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． (1)求点A的坐标； (2)求所在直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求解正比例函数解析式． （1）过点A作轴于点D，求解，，进一步可得． （2）设直线的表达式是，把点A的坐标代入，进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点A作轴于点D， ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， 在中，， ∴． （2）解：设直线的表达式是， 把点A的坐标代入，得， 解得， ∴直线的表达式是． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【规范解答】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 考点3：判断一次函数的图象 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数图像，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式求得该函数的性质，然后结合选项即可求解； 【规范解答】解：∵函数， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 结合选项，只有D符合， 故选：D； 【变式训练】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系． 根据据一次函数的特征，判断函数图象的特点，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【规范解答】A．将代入函数，得，无论取何值，函数图象必过点，故该选项说法正确，符合题意； B．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意； C．当时，，此时直线经过第二，三、四象限，故该选项说法错误，不符合题意； D．当，，此时图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 考点4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐项判断即可． 【规范解答】一次函数的图象与轴的交点坐标是，故本选项不符合题意； ②一次函数的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意； ③若两点在该函数图象上， ∵，y随x的增大而减小， ∴时，，不正确， 故本选项不符合题意； ④一次函数的图象向上平移1个单位长度得的图象，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图像求解即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键． 【规范解答】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是， 故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是， 故③正确． 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 考点5：已知函数经过的象限求参数范围 【典例精讲】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提，列不等式（组）是解题的关键． 由一次函数的图象不经过第二象限，可得，，列不等式组求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【规范解答】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 考点6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）已知一次函数，其中a为常数，且． (1)若点在该一次函数的图象上，求a的值； (2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 【答案】(1) (2)随着的增大而减小 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出a的值即可； （2）求出直线与y轴的交点，进而求出的取值范围，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：把点代入，得： ， 解得：； （2）∵， ∴ 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵该函数的图象与y轴的交点位于原点上方， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而减小． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象分别交轴和轴于点和，另一个一次函数的图象分别交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点． (1)当为何值时，和的图象重合？ (2)当且时，成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，和的图象重合； (2)． 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正解题意是解题的关键． （1）把代入求得，得到，于是得到结论； （2）根据题意列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴． ∵和的图象重合， ∴， ∴． ∴时，和的图象重合； （2）解：∴， ∴， ∴， 如图： ∵，即且时，成立， ∴由图象，得， ∴． 考点7：求一次函数自变量或函数值画一次函数图象 【典例精讲】（23-24八年级上·河南郑州·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． (4)结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 【答案】(1)①3；②2； (2)见解析； (3)①1；②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (4)或 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）①将代入函数解析式即可求解；②由函数的对称性，从表格观察可得； （2）根据表格数据描点画出图象； （3）根据函数图象即可写出该函数图象的性质及函数的最小值； （4）结合函数图象，观察可得方程的解． 【规范解答】（1）①由表可知，当时，， ，解得； ②由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x值的和为2， 若点和点是该函数图象上的两点，则； （2）通过描点画出图象： （3）①从图象看，函数的最小值为1； ②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （4）从图象看，和的交点的横坐标为或， 即方程的解为或． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【规范解答】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 考点8：一次函数图象平移问题 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与方程． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据一次函数与x轴的交点作答即可． 【规范解答】（1）解：令，则， 令，则， ∴一次函数的图像过点、，画出图像如下： （2）解：根据函数图象可知，当时，， 即方程的解为． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）学习了列表、描点、连线三步画函数图象的方法，小明发现可以应用它探究各种函数的性质，于是构造出函数，并应用以上三步做探究：列表：描点、连线： 0 1 2 3 4 (1)帮助小明完成上面表格； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)在图中画出函数的图象，并利用函数图象求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)图见解析， 或 【思路引导】（1）将对应值代入函数计算值来填表； （2）依据（1）中表格的坐标点，进行描点、连线画出函数图象； （3）先画出图象，再通过找两函数图象交点的横坐标，得到方程的解，利用函数图象交点与方程解的关系求解 ． 本题主要考查函数的图象与性质（包括绝对值函数、一次函数）以及函数图象与方程的关系，熟练掌握函数图象的绘制方法（描点法）以及利用函数图象求解方程（方程的解对应两函数图象交点的横坐标 ）是解题的关键． 【规范解答】（1）解：补充表格如下： 0 1 2 3 4 3 1 1 3 （2）解：画出函数的图象如图． （3）解：画出函数的图象如图所示． 根据图可得，方程的解为 或． 考点9：一次函数图象与对称问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： x … 0 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象． (2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质； (3)写出函数与图象的平移关系． 【答案】(1)①3，2，1，0，1，2，3；②见解析 (2)见解析 (3)把向左平移2个单位长度得到的图象． 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质，描点法画函数图象，一次函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）①将表格中的值分别代入求出值，即可填写表格；②描点，连线即可作出函数图象； （2）根据图象可从函数的增减性，对称性，最值问题进行分析即可； （3）出函数，的图象，由图象即可判断平移方式． 【规范解答】（1）解：①列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … ②的图象如图所示： （2）解：①增减性：时，y随x的增大面减小；时，y随x的增大而增大 ②对称性：图像关于y轴对称（答案不唯一）； （3）解：作出函数，的图象，由图象可得把向左平移2个单位长度得到的图象（写法不唯一）． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标，再求得平移后直线的解析式为，根据题意，结合图形即可求解； （3）根据轴对称的特点求得点，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合图形求解即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵将直线向上平移个单位长度，则平移后直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：∵点与点关于对称，点， ∴点， ∴， 当时，此时是等腰直角三角形， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 当时， 作轴于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象的平移，数形结合是解题的关键． 考点10：判断一次函数的增减性 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【思路引导】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【规范解答】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【考点剖析】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆丰都·期末）小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 【答案】（2）（3）①见详解②见详解（4）或 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，画一次函数，两直线的交点确定不等式的取值范围，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （2）理解题意，把和分别代入进行计算，即可作答． （3）先先描点，再连线，得出函数的图象，分别根据函数图象的最值以及性质进行作答①和②； （4）理解题意，进行分类讨论，分别算出当和时的值，结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【规范解答】解：（2）依题意，把代入，得， 即， 把代入，得， 即， 故答案为： （3）依题意， 如图所示： ①在时，有最大值，且为3； ②函数关于轴对称； （4）依题意， 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 当时，则， 依题意，当时，则， 即 ∴； 即如图所示： 结合函数图象，得当时，自变量x的取值范围是或． 考点11：根据一次函数增减性求参数 【典例精讲】（22-23八年级上·全国·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象是解决本题的关键． 先根据正比例函数的性质确定的取值范围，再根据一次函数的性质判断一次函数的图象特征． 【规范解答】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， 对于一次函数，其中一次项系数， ∴一次函数随的增大而增大， 即函数图象从左到右上升， ∵， ∴一次函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综合以上分析，一次函数的图象过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【规范解答】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 考点12：根据一次函数的增减性 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据函数经过的点求出的值，再依据随增大而增大确定的取值范围，从而筛选出符合条件的函数表达式．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（，为常数，）中决定函数的增减性，是函数与轴交点的纵坐标是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把，代入，得，即． ∵随的增大而增大， ∴． 在选项中，且的函数只有． 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）根据此一次函数的图象经过第一、二、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：由题意，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． （2）解：此一次函数的图象经过第一、二、四象限， 解得， 即的取值范围为． 考点13：判断自变量的变化情况 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①，；②，；③， 【思路引导】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）令，分别求出的值，即可A、B两点坐标； （2）当时，代入求值即可； （3）当时，分情况代入求值即可； （4）利用一次函数的增减性，确定图像G的最高点和最低点的纵坐标即可，注意分类讨论． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，； （3）解：当，解得， 当，解得， 综上所述：的值为； （4）解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为， ∴； 综上所述：①，；②，；③，． 【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)求m的值． (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数的定义以及一次函数的性质，需准确理解一次函数定义，由一次函数增减性求解函数值是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义来确定m的值，一次函数的一般式为，在给定的函数中，x的次数应为1，且x的系数不为0，据此求解即可． （2）先根据第一小问求出的m值得到具体的一次函数表达式，然后将x的取值范围代入函数，求出y的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：因为是关于x的一次函数， 所以x的次数，即，解得， 又因为一次函数中x的系数，即， 所以． （2）解：由第一小问可知， 则函数表达式为， 当时，， 当时，， 因为一次函数中，， y随x的增大而增大，且， 所以． 考点14：比较一次函数值的大小 【典例精讲】（20-21八年级上·江西萍乡·期中）点和点都在直线上，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数解析式中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键 ． 由一次函数中，可判断该函数中y随x的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小 ． 【规范解答】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随x的增大而减小， ∵该函数图像上有三个点， 且， ∴． 故答案为： ． 考点15：一次函数的规律探究问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【规范解答】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【规范解答】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 考点16：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【规范解答】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【规范解答】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 考点17：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后，所得的直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线交于点．直线交轴于点，是的中点，连接． (1)求，的值； (2)是线段上的一动点，是关于轴的对称点，当在内部时（不含边界），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数的平移、一次函数解析式的确定、对称点的性质、中点坐标公式以及直线交点的求解．解题的关键是熟练运用一次函数的相关知识，结合对称点和三角形内部点的特征，通过联立直线方程求出交点，进而确定变量的取值范围． （1）利用点C在直线上，代入求出a的值；根据直线平移规律得到解析式，再将点C代入，求出b的值． （2）确定与坐标轴交点的坐标，得到M的坐标范围；求出M关于y轴的对称点的坐标；确定中点E的坐标，求出直线和直线的解析式，联立求出交点F；根据在内部的条件，得出m的取值范围． 【规范解答】（1）解析：∵点在直线上， ∴，即． ∵直线向上平移3个单位长度后得到直线， 根据平移规律“上加下减”，的解析式为． 又因为过点， 将其代入的解析式，得， 解得； （2）由（1）知，所以的解析式为． 令，则，解得 ∴； 令，则， ∴； ∵是M关于y轴的对称点， ∴． 已知，E是的中点，，根据中点坐标公式，E的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 代入上式得， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，作点A关于y轴的对称点，则，连接，并与交于点F． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得，， ∴，则直线的方程为， 联立直线与直线的方程得到方程组：， 解得，则点F的坐标为， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ∵点，， ∴得到点横坐标的范围是， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【思路引导】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 考点18：利用图象法解—元一次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 考点19：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线经过点．请写出关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数与不等式的关系，先求出时对应的y值，结合图象可得答案． 【规范解答】解：当时，， 观察图形可得，当时，， 故答案为：． 【变式训练】（2024九年级下·山西·专题练习）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．不等式的解集为 D．函数图象与轴的交点位于轴下方 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数解析式，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴一次函数的图象经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴， ∴y随x的增大而减小，故A错误，不合题意； 又∵函数图象经过点， ∴， ∵ ∴不一定成立，故B错误，不合题意； ∵函数图象经过点， ∴函数图象与y轴的交点位于x轴上方，即的解集为，故C选项正确，符合题意；D错误，不符合题意． 故选：C． 考点20：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（21-22八年级下·广西南宁·期中）对于一次函数，我们称函数为它的m分函数（其中m为常数），例如，的4分函数为：当时，；当时，．如果的分函数为，则直线与的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式．掌握“m分函数（其中m为常数）”的定义是解题的关键． 根据“m分函数的定义”得到的分函数为，然后联立求解即可． 【规范解答】解：当的分函数为，， ∴当时，， 当时，， 直线y=2x与的图象的交点为或 解得：（不合题意，舍弃）或， ∴交点坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于题中出现了一次函数和不等式，可以考虑用一次函数和不等式的相关知识解决问题； 根据题意，不等式的解集即为直线在上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断，即可选出正确答案，此题便得到解决． 【规范解答】解：根据题意得， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【规范解答】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【规范解答】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 3．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 4．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【规范解答】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 5．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【规范解答】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答． 【规范解答】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线， 则只有选项C符合题意． 故选：C． 2．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）一次函数（a、b为常数，且）与（c、d为常数，且）的图象如图所示，那么一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【思路引导】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据已知两直线经过象限，确定字母的参数的范围，再判断一次函数的图象经过的象限，从而可确定一次函数的图象不经过的象限． 【规范解答】解：∵一次函数（a、b为常数，且）经过第一、二、四象限， ∴，， ∵一次函数（c、d为常数，且）的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第一象限， 故选：A． 3．（21-22八年级上·四川成都·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．随着的增大而增大 C．图象与轴交于点 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数点的坐标和图象的问题，根据一次函数点的坐标特征和图象性质来分析判断． 【规范解答】解：A、把横坐标1代入中，得到，所以经过点，不经过点，故A选项不符合题意； B、因为，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意； C、把横坐标0代入中，得到，所以经过点，故C选项符合题意； D、因为函数的图象经过一、二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系以及数形结合思想的应用，仔细观察图形，利用好交点是解题关键．由直线的图象落在直线图象上方的部分对应的x的取值即为所求解集． 【规范解答】解：由直线与直线交于A点， 不等式的解集为： 故答案为： 5．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）一次函数，当时，，则的值是 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题．分两种情况：若，若，结合一次函数的增减性，利用待定系数法解答即可求解． 【规范解答】解：若，此时y随x的增大而增大，则 当时，，当时，， ∴，解得：， 此时； 若，此时y随x的增大而减小，则 当时，，当时，， ∴，解得：， 此时； 综上所述，的值是或． 故答案为：或 6．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查一次函数的性质，根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【规范解答】解：把，代入中，可得：， 因为过点的直线（）不经过第一象限； 所以可得：，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 7．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 【规范解答】解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 8．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象过与两点． (1)求一次函数的表达式； (2)把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，写出新函数图象对应的函数表达式． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及函数图象的平移规则，掌握这些是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据一次函数的平移解答即可． 【规范解答】（1）解：一次函数（k，b是常数，且）的图象过与， ，解得 即该一次函数的表达式是 （2）把向下平移3个单位后可得： 9．（2023八年级上·浙江嘉兴·竞赛）已知一次函数（k，b为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求该一次函数的表达式； (2)若，点在该一次函数图象上，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）将，代入之中可求出、b的值，即可得出一次函数解析式； （2）将点代入之中得，根据得，再结合得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：此一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为； （2）证明：一次函数，为常数，且的图象经过点， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】(1) (2) (3)>；> 【思路引导】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握“和谐函数”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐函数”的定义求出表达式，再求出，即可求出的面积； （2）根据“和谐函数”的定义得到，，即可求出答案； （3）根据“和谐函数”的定义得到，再根据经过的象限得到，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，与的“和谐函数”的表达式为，即 当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）∵一次函数的“和谐函数”为， ∴，， 解得，， 故答案为：； （3）由题意可得，一次函数与的“和谐函数”为， ∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得且， 故答案为：>；>． 培优拔高 11．（20-21八年级上·山东枣庄·期末）已知： 一次函数的图像经过点和点 且， 则它的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，结合一次函数的性质即可得出与y轴交于负半轴，再根据，，可得，此题得解． 【规范解答】解：∵一次函数， 当时，， ∴与y轴交于负半轴， ∵，， ∴，过二四象限， 可知B正确， 故选：B． 12．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的性质．根据题意得到当时，一次函数最大值满足，然后根据和分情况讨论分别求出最大值即可． 【规范解答】解：∵当时，一次函数满足， ∴当时，一次函数最大值满足， 当时，一次函数随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值 解得：， 故此时：； 当时，一次函数随的增大而增大， 当，有最大值， 解得； 故此时：， 综上所述，且． 故选：C． 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【规范解答】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图像与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图像在一、二、三象限；当的图像在一、三、四象限；当的图像在一、二、四象限；当的图像在二、三、四象限． 故此得到不等式组求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图像经过一、三、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数中x和y的部分对应值如表所示： x 0 2 y 6 4 2 那么关于x的方程的解是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，通过解析式求自变量的取值，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 利用待定系数法求出函数解析式，然后通过解析式求自变量的取值即可． 【规范解答】解：由表格可知，当；时，代入得， ， 解得， ， ∴时，， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【思路引导】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 17．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义及性质，正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的定义和性质，即可求解． 【规范解答】解：由题意得， 且， 解得， 故答案为：3． 18．（2023八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与正比例函数图象的一个交点为． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】（1）将代入即可求出； （2）过作轴于，求出坐标，长度，再求出的坐标，将和坐标代入即可求出的值． 本题考查一次函数图象性质和含的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：将代入求得； 故m的值为4； （2）解：过P作轴于M，则， ∴， 为， 将代入得， ，解得， 的值为． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标是． 【思路引导】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【规范解答】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ∴点的坐标是． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【思路引导】（1）把代入直线中，可直接求出的值；再把点的坐标代入中，即可求出的值； （2）先根据得，，进而可求出，的面积，设，由，则，代入数据求解即可； （3）分两种情况：当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点，得到，即点到直线的距离等于4，证得，得到点的坐标，再由待定系数法求得直线解析式即可求解；当在轴上方时，同理即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入直线得，， ∴， ∵直线过点， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上，且， ∴点在轴下方， 如图，设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴到直线的距离等于4， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 如图，当在轴上方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， 同理：，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 综上可知：或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 一次函数的图像与性质 （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一次函数的图象 2 知识点梳理02：一次函数的性质 2 知识点梳理03：确定一次函数表达式 3 知识点梳理04：图象的平移 3 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：正比例函数的图象 4 考点2：正比例函数的性质 4 考点3：判断一次函数的图象 5 考点4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 5 考点5：已知函数经过的象限求参数范围 6 考点6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 6 考点7：求一次函数自变量或函数值画一次函数图象 7 考点8：一次函数图象平移问题 8 考点9：一次函数图象与对称问题 9 考点10：判断一次函数的增减性 11 考点11：根据一次函数增减性求参数 13 考点12：根据一次函数的增减性 13 考点13：判断自变量的变化情况 14 考点14：比较一次函数值的大小 14 考点15：一次函数的规律探究问题 15 考点16：已知直线与坐标轴交点求方程的解 15 考点17：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 16 考点18：利用图象法解—元一次方程 17 考点19：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 18 考点20：根据两条直线的交点求不等式的解集 19 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 23 知识点梳理01：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 知识点梳理02：一次函数的性质 (1)一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (2)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理03：确定一次函数表达式 (1)待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． (2)常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理04：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 考点1：正比例函数的图象 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【变式训练】（21-22八年级上·四川成都·期中）下图中，能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 考点2：正比例函数的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． (1)求点A的坐标； (2)求所在直线的表达式． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 考点3：判断一次函数的图象 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定不经过第二象限 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 考点4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 考点5：已知函数经过的象限求参数范围 【典例精讲】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 考点6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例精讲】（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）已知一次函数，其中a为常数，且． (1)若点在该一次函数的图象上，求a的值； (2)当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象分别交轴和轴于点和，另一个一次函数的图象分别交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点． (1)当为何值时，和的图象重合？ (2)当且时，成立，求的取值范围． 考点7：求一次函数自变量或函数值画一次函数图象 【典例精讲】（23-24八年级上·河南郑州·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． (4)结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 考点8：一次函数图象平移问题 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）学习了列表、描点、连线三步画函数图象的方法，小明发现可以应用它探究各种函数的性质，于是构造出函数，并应用以上三步做探究：列表：描点、连线： 0 1 2 3 4 (1)帮助小明完成上面表格； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)在图中画出函数的图象，并利用函数图象求方程的解． 考点9：一次函数图象与对称问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象： ①列表填空： x … 0 1 2 3 … y … … ②描点、连线，画出的图象． (2)结合所画图象，写出两条不同类型的性质； (3)写出函数与图象的平移关系． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 考点10：判断一次函数的增减性 【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆丰都·期末）小丰同学根据学习函数的经验，知道一次函数的图象是一条直线，如一次函数的图象如图所示，他对加绝对值的函数的图象和性质进行了探究．下面是小丰的探究过程，请你一起解决相关问题； x … 0 1 2 3 … y … a 1.5 3 b 0 … （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）填写表格中y与x的几组对应值：计算可得：______，______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；观察图象，写出该图象的两条性质（最值或对称性或增减性）： ①______； ②______； （4）当时，自变量x的取值范围是______． 考点11：根据一次函数增减性求参数 【典例精讲】（22-23八年级上·全国·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 考点12：根据一次函数的增减性 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）若一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）已知关于的一次函数． (1)若函数值随着的增大而增大，则m的取值范围是 ． (2)若此一次函数的图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 考点13：判断自变量的变化情况 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 【变式训练】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的一次函数． (1)求m的值． (2)当时，求函数值y的取值范围． 考点14：比较一次函数值的大小 【典例精讲】（20-21八年级上·江西萍乡·期中）点和点都在直线上，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 考点15：一次函数的规律探究问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 考点16：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 考点17：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后，所得的直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线交于点．直线交轴于点，是的中点，连接． (1)求，的值； (2)是线段上的一动点，是关于轴的对称点，当在内部时（不含边界），求的取值范围． 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 考点18：利用图象法解—元一次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 考点19：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，直线经过点．请写出关于的不等式的解集为 ． 【变式训练】（2024九年级下·山西·专题练习）对于一次函数，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（    ） A．随的增大而增大 B． C．不等式的解集为 D．函数图象与轴的交点位于轴下方 考点20：根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（21-22八年级下·广西南宁·期中）对于一次函数，我们称函数为它的m分函数（其中m为常数），例如，的4分函数为：当时，；当时，．如果的分函数为，则直线与的图象的交点坐标为 ． 【变式训练】（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 4．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）一次函数（a、b为常数，且）与（c、d为常数，且）的图象如图所示，那么一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（21-22八年级上·四川成都·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．随着的增大而增大 C．图象与轴交于点 D．图象经过第一、二、三象限 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，若直线与直线交于A点，则不等式的解集为 ． 5．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）一次函数，当时，，则的值是 ． 6．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是 ． 7．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 8．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象过与两点． (1)求一次函数的表达式； (2)把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，写出新函数图象对应的函数表达式． 9．（2023八年级上·浙江嘉兴·竞赛）已知一次函数（k，b为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求该一次函数的表达式； (2)若，点在该一次函数图象上，求证： 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）若两个一次函数，则称函数为这两个函数的“和谐函数”． (1)求一次函数与的“和谐函数”的表达式，若此“和谐函数”与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积； (2)若一次函数的“和谐函数”为，则________，________； (3)已知一次函数与的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限，则常数、满足的条件为：________1且________0（用“＞”或“＜”填空）． 培优拔高 11．（20-21八年级上·山东枣庄·期末）已知： 一次函数的图像经过点和点 且， 则它的图像大致是（    ） A． B． C． D． 12．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）当时，一次函数满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 15．（20-21八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数中x和y的部分对应值如表所示： x 0 2 y 6 4 2 那么关于x的方程的解是 ． 16．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 17．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是 ． 18．（2023八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与正比例函数图象的一个交点为． (1)求的值； (2)若，求的值． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $