专题5.2 一次函数的概念（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

本讲义聚焦一次函数的概念及其应用，系统梳理正比例函数与一次函数的定义、结构特征及待定系数法求解析式的方法，前后衔接清晰，从概念辨析到实际建模层层递进，构建完整的知识支架。 资料设计亮点突出，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养。例如通过中考真题演练引导学生用数学眼光观察现实问题，如氢气质量与水的质量关系，抽象出正比例函数模型；在考点5中借助商品利润问题培养逻辑推理能力，强化数学思维；课后分层练习覆盖基础巩固与拔高拓展，帮助学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。整体结构科学，适合作为课堂教学辅助材料和课后复习资源。

专题5.2 一次函数的概念 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数的概念 1 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 2 知识点梳理03：用待定系数法求正比例函数的表达式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：正比例函数的定义 2 考点2：识别一次函数 3 考点3：根据一次函数的定义求参数 3 考点4：列一次函数解析式并求值 4 考点5：求一次函数解析式 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 10 知识点梳理01：一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点梳理03：用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 考点1：正比例函数的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的正比例函数，则 ． 【变式训练1】（21-22八年级下·黑龙江七台河·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（由定义对字母的值进行取舍）若函数是正比例函数，则m的值为 ． 考点2：识别一次函数 【典例精讲】24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练1】24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 考点4：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【变式训练1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 考点5：求一次函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【变式训练1】（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【变式训练2】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 4．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 5．（2022·陕西·中考真题） 设点A(a，b)是正比例函数图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（  ） A．2a+3b=0 B．2a−3b=0 C．3a−2b=0 D．3a+2b=0 基础夯实 1．（21-22八年级上·四川成都·期末）在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当满足时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若与成正比例，与成正比例，且当1时，；当时，，则与的函数关系式为 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点．已知点的横坐标为1，则的值分别为 ． 7．（22-23八年级上·全国·期中）H市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下： 车厢节数n 4 7 10 往返次数m 16 10 4 请你根据上表数据，在三个函数模型：①（k、b为常数，）；②（k为常数，）；③（a、b、c为常数，）中，选取一个适合的函数模型，求m关于n的函数关系式．则 ． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 9．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线l上有一点，将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到像点，点恰好在直线l上．完成下列问题： (1)直接写出点的坐标； (2)求直线l所表示的一次函数的表达式； (3)若将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到像点Q．请判断点Q是否在直线l上，并说明理由． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的表达式． 培优拔高 11．（2024八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，先将直线关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在平面内，反射光线与入射光线关于法线左右对称．如图，若一束光线从点射入，经x轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 13．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某一次函数的图像与直线平行，且过点，那么该一次函数的表达式是 ． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，表示某产品一天的销售收入（万元）与销售量x（件）的关系，表示该产品一天的销售成本（万元）与销售量x（件）的关系，则： （1）销售收入与销售量x之间的函数关系式为 ； （2）销售成本与销售量x之间的函数关系式为 ； （3）当一天的销售量超过 件时，生产该产品才能获利．（利润收入成本） 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 17．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）已知 是关于 的一次函数， 当 时， 时， ， (1)求 关于 的函数解析式； (2)当 时， 求 的取值范围． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【了解概念】在平面直角坐标系中，过某一定点且不与轴垂直的直线，叫该定点的“伴随直线”．如点，则点的“伴随直线”可记为；再如点，则点的“伴随直线”可记为． 【理解运用】（1）若点的“伴随直线”恰好经过点，求该“伴随直线”的表达式． 【拓展提升】（2）已知点的“伴随直线”记为，直线记为．若直线与直线的交点在第一象限，请确定的取值范围． 19．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，． (1)已知与关于x轴对称，画出（请用2B铅笔将描深）； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，试求点P的坐标． 20．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点，且的面积为的面积的倍． (1)求点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)①点为线段上的一点，连接，当平分时，求点的坐标． ②直线上是否存在点，使和的面积相等，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 一次函数的概念 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数的概念 1 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 2 知识点梳理03：用待定系数法求正比例函数的表达式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：正比例函数的定义 2 考点2：识别一次函数 4 考点3：根据一次函数的定义求参数 5 考点4：列一次函数解析式并求值 6 考点5：求一次函数解析式 10 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 20 知识点梳理01：一次函数的概念 ◆一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ◆正比例函数的概念： 特别地，当b=0时， y＝k x (k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数. （1）正比例函数是一种特殊的一次函数． （2）正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系. 【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝k x的等式，自变量的指数只能是1. （2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数. 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 ◆1、定义：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. ◆2、待定系数法求一次函数表达式一般步骤： （1） 设：设一次函数的表达式为y＝k x+b； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的表达式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b ； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的表达式． 【注意】求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点梳理03：用待定系数法求正比例函数的表达式 ◆1、确定正比例函数的表达式就是确定正比例函数表达式y＝k x（k≠0）中的常数k ． ◆2、求正比例函数表达式一般步骤是： （1）设：设出正比例函数表达式y＝k x； （2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的表达式，得到关于待定系数k的方程； （3）解：解方程求出待定系数k的值； （4）还原：写出函数表达式． 考点1：正比例函数的定义 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的正比例函数，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解． 【规范解答】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（21-22八年级下·黑龙江七台河·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此逐个选项分析． 【规范解答】解：A、是一次函数，也是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，但不是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选C． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（由定义对字母的值进行取舍）若函数是正比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义及其性质、绝对值方程的解法，解题的关键在于理解正比例函数的形式为（其中）．先解方程确定m的可能值，然后判断系数的条件，从而得出正确答案． 【规范解答】解：由|得，或 ， 当时，，不符合条件，舍去； 当时，，符合条件， 综上，． 故答案为：． 考点2：识别一次函数 【典例精讲】24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的识别，根据一次函数的定义，形如，这样的函数叫做一次函数，进行判断即可． 【规范解答】解：由一次函数的定义可知：和是一次函数，和都不是一次函数； 故选C． 【变式训练1】24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【思路引导】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【规范解答】解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【规范解答】当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 考点4：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)，5 (2)见详解 (3)点不在函数图象上,点在函数图象上 【思路引导】本题考查的是函数图象，判断点是否在图象上，解题的关键是通过描点画出函数图象，从表格中读取相关的信息． （1）利用函数解析式进行求的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）将点的横坐标代入解析式，得到的函数值和纵坐标进行比较即可． 【规范解答】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； 故答案为：，5； （2）解：如图所示； （3）解： 当时，，， ∴点不在函数图象上； 当时，，， ∴点在函数图象上； 【变式训练1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． （2）由（1）知 ，，点 的坐标为 ， 当时， ， ∴点不在一次函数的图像上． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【思路引导】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【规范解答】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 考点5：求一次函数解析式 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【思路引导】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【规范解答】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【变式训练1】（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 【变式训练2】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【思路引导】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【规范解答】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【规范解答】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 4．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 【答案】79 【思路引导】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解． 【规范解答】解：∵铁的质量与体积成正比例， ∴m关于V的函数解析式为， 当时，， 故答案为：79． 5．（2022·陕西·中考真题） 设点A(a，b)是正比例函数图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（  ） A．2a+3b=0 B．2a−3b=0 C．3a−2b=0 D．3a+2b=0 【答案】D 【规范解答】试题分析：把点A（a，b）代入正比例函数，可得：﹣3a=2b，可得：3a+2b=0，故选D． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 基础夯实 1．（21-22八年级上·四川成都·期末）在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正比例函数的应用，当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为，弹簧伸长的长度为，再结合正比例函数的相关知识点计算即可得解，熟练掌握正比例函数的相关知识点是解此题的关键． 【规范解答】解：当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为， 弹簧伸长的长度为， ∵在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系， ∴该弹簧的劲度系数为， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当满足时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质．把点的坐标代入一次函数解析式得到是解题的关键．把点和的坐标代入得到，然后将其代入不等式组，通过不等式的性质来求的取值范围． 【规范解答】解：把点代入， 得， 把代入， 则． ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键． 根据题意得出一次函数经过点，进而求出即可求解． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位， ∴一次函数的图象经过点，即点， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴此函数表达式是． 故选：B 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若与成正比例，与成正比例，且当1时，；当时，，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握利用待定系数法求解析式． 根据题意设，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式． 【规范解答】解：设，则， ∴． 将和代入，得： ， 解得：， 所以． 故答案为： 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点．已知点的横坐标为1，则的值分别为 ． 【答案】，4 【思路引导】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值． 【规范解答】解：由题意，当时，， ∴点C的坐标为． 将、代入， 得， 解得． 故答案为：；4． 7．（22-23八年级上·全国·期中）H市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下： 车厢节数n 4 7 10 往返次数m 16 10 4 请你根据上表数据，在三个函数模型：①（k、b为常数，）；②（k为常数，）；③（a、b、c为常数，）中，选取一个适合的函数模型，求m关于n的函数关系式．则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了求函数解析式，通过表中数据判断为一次函数，用待定系数法求出函数解析式即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：根据表格数据可得此函数为一次函数， 设函数关系式为， ∵时，时，， ∴， 解得： ∴关于n的函数关系式为：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【思路引导】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 9．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线l上有一点，将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到像点，点恰好在直线l上．完成下列问题： (1)直接写出点的坐标； (2)求直线l所表示的一次函数的表达式； (3)若将点先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到像点Q．请判断点Q是否在直线l上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q在直线l上，理由见详解 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律以及一次函数表达式的求解与应用，综合考查了点的平移与一次函数的相关知识，正确使用待定系数法求解出一次函数表达式是解决本题的关键． （1）根据点的平移规则求解即可； （2）根据待定系数法，将点和点的坐标代入求解即可； （3）先求解出点Q的坐标，再将点Q的坐标代入直线方程中验证即可． 【规范解答】（1）解：∵将点先向左平移2个单位， 此时坐标为， 再向下平移4个单位得到像点， 点的坐标为； （2）解：设直线l的解析表达式为, 将、代入得， 解得， ∴直线l的解析表达式为； （3）解：将点先向左平移1个单位， 此时坐标为， 再向下平移2个单位得到点， 把代入中，得， ∴点Q在直线l上. 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式，把两已知点的坐标代入得关于k、b的方程组，然后解方程组即可； 【规范解答】解：把、分别代入中， 得， 解得， 所以这个一次函数的表达式为． 培优拔高 11．（2024八年级上·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，先将直线关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与性质及轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键；先得出直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，然后根据坐标关于坐标轴对称的特点得出变换后的函数解析式即可． 【规范解答】解：令时，则，解得：； 令时，则； ∴直线与x轴、y轴的交点坐标分别为， 当直线关于轴作轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为；当变换后的直线再作关于轴的轴对称变换，则变换后的直线与x轴、y轴的交点坐标分别为； 设此时直线的解析式为，则有：， 解得：， ∴此时直线的解析式为； 故选：D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在平面内，反射光线与入射光线关于法线左右对称．如图，若一束光线从点射入，经x轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数解析式的应用．设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F，先求直线的解析式，然后求直线与y轴的交点E的坐标，根据镜面知：E和直线与y轴的交点F关于x轴对称，则可求F的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 【规范解答】解：设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与y轴的交点E的坐标为， 根据镜面知：E和F关于x轴对称， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 故选A 13．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】根据一次函数的定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，逐一所给函数是否符合该定义．本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握“一次函数的形式为（，、为常数）”是解题的关键． 【规范解答】解：函数①，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数②，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数③，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，不是一次函数． 函数④，可写成，自变量的次数是，不符合一次函数定义，不是一次函数． 综上，①②是一次函数，共个． 故选： ． 14．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某一次函数的图像与直线平行，且过点，那么该一次函数的表达式是 ． 【答案】 【思路引导】利用两直线平行则k相等设出解析式，再代入点即可． 【规范解答】解：设该一次函数的表达式为 因为函数的图像与直线平行 所以 把点代入 得：，解得：． 所以该一次函数的表达式为：． 【考点剖析】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，表示某产品一天的销售收入（万元）与销售量x（件）的关系，表示该产品一天的销售成本（万元）与销售量x（件）的关系，则： （1）销售收入与销售量x之间的函数关系式为 ； （2）销售成本与销售量x之间的函数关系式为 ； （3）当一天的销售量超过 件时，生产该产品才能获利．（利润收入成本） 【答案】 4 【思路引导】本题考查一次函数的应用． （1）根据函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据图象得出结论． 【规范解答】解：（1）设， ∵过点， ∴， ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）设， ∵过点，， ∴有， 解得， ∴销售成本与销售量x之间的函数关系式为． 故答案为：； （3）由图象知当一天的销售量超过4件时，生产该产品才能获利， 故答案为：4． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“奇妙点”．已知一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是，则一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入，求出b值，进而可得出一次函数的解析式，结合“奇妙点”的定义可求出另一“奇妙点”的横坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出结论． 【规范解答】解：∵一次函数（b为常数）图象上有一个“奇妙点”的坐标是， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． ∵， ∴， 解得：或． 当时，， ∴一次函数图象上另一“奇妙点”的坐标是． 故答案为：． 17．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）已知 是关于 的一次函数， 当 时， 时， ， (1)求 关于 的函数解析式； (2)当 时， 求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，正确进行计算是本题解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）将代入得到不等式，从而求得的范围． 【规范解答】（1）解：设与的函数解析式是， 根据题意得：， 解得：， 函数解析式是：； （2）解：函数解析式是：， 当时，， ， 的范围是：． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【了解概念】在平面直角坐标系中，过某一定点且不与轴垂直的直线，叫该定点的“伴随直线”．如点，则点的“伴随直线”可记为；再如点，则点的“伴随直线”可记为． 【理解运用】（1）若点的“伴随直线”恰好经过点，求该“伴随直线”的表达式． 【拓展提升】（2）已知点的“伴随直线”记为，直线记为．若直线与直线的交点在第一象限，请确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【思路引导】本题考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解． （1）将代入求解即可． （2）由题意可得，由直线的解析式求得直线与坐标轴的交点，再将交点坐标代入计算，求出k，结合图象求出取值范围． 【规范解答】解：（1）由题意可得，点所在直线的表达式为+2． 将代入，得， 解得， 所以该“伴随直线”的表达式为． （2）因为点的“伴随直线”为，所以． 在中，令，则； 令，则，解得． 如图所示，当经过点时，；当经过点时，． 结合图象可得，的取值范围是或． 19．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，． (1)已知与关于x轴对称，画出（请用2B铅笔将描深）； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，试求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)P点坐标为 【思路引导】本题主要考查了作图—轴对称变换，轴对称最短路径问题，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴对称的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）作点C关于y轴的对称点，再利用待定系数法求出所在直线解析式，再令，求出y，即可求出P点坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：如图所示P点即为所求， 由对称可知，点C关于y轴的对称点的坐标为， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即周长最小， 设所在直线解析式为， 则 ， 解得， ∴所在直线解析式为． 当时，， ∴P点坐标为． 20．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点，且的面积为的面积的倍． (1)求点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)①点为线段上的一点，连接，当平分时，求点的坐标． ②直线上是否存在点，使和的面积相等，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点； (2)直线表达式为； (3) ； 存在，或． 【思路引导】（）把点代入即可求解； （）先求出点坐标，然后利用待定系数法即可求解； （）过作轴于点，交延长线于点，证明，求出交点坐标即可； 设，利用和的面积相等得出，求解即可； 此题考查了一次函数的性质和全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质． 【规范解答】（1）∵过点， ∴，解得：， ∴点； （2）∵的面积为的面积的倍， ∴， ∴， ∴点， ∵直线过，， ∴，解得：， ∴直线表达式为； （3）过作轴于点，交延长线于点，如图， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立，解得：， ∴点 存在，理由： 由在直线上，则设， 当时，，解得：， ∴， ∴， 由， ∵和的面积相等， ∴， 解得：或， ∴点或． 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $